B2 — 4AC = K

K désignant un polynôme du sixième degré, et l'on aura pour m les deux valeurs

m tp., = —

Les deux cônes correspondants à ces deux valeurs de m admettent tous les deux le plan tangent de (S) au moins pour plan tangent double, car nous avons déjà vu sur l'équation (34) que c^o iie saurait disparaître comme facteur commun à A, B, C. Donc, dans tous les cas, l'enveloppe des plans déterminant dans (S) des sections coniques ne peut être que la surface (S) elle-même, ou du moins elle comprend cette surface.

Les deux cônes précédents ne peuvent d'ailleurs être admis si-

ni ul Lan é oient, leur ensemble conslitiianl un eône qui admet le plafi tangent k (S) au moins coniiue plan quadruple. Chacun d'eux, d'ailleurs, devra être rejeté tant que le nuaiérateur de l'expressiaîr correspondante de JîK^n ne sera pas exactement divisible par le dénominateur C, car il admettrait alors le plan tangent à (S) au moins comme plan tangent triple, ce qui est généralement impossible. Si le numérateur est exactement divisible par le dénominateur, et seulement dans ce cas, le cône peut être aduiis -, mais alors il est de la troisième classe. On voit donc que, dans tous les cas, le cône de sommet O circonscrit cà la surface (S) sera de troisième classe. On déduit facilement de cette proposition la solution complète de la question proposée.

La polaire réciproque (S') de (S) sera en effet du troisième ordre et, comme la surface (S) est coupée par chacun de ses plans tangents suivant une conique au moins, il faudra que le cône du quatrième ordre circonscrit à (S') et ayant son sommet en un point de (S') se décompose et contienne un cône du second degré. Il devra donc se réduire à deux cônes du second degré, et, par conséqueut, la section complète de (S) par son plan tangent devra se composer de deux coniques : on reconnaît la surface de Steiner.

Dans la discussion précédente, nous avons omis le cas où la surface est réglée. Si l'on se sert alors delà forme réduite (9) donnée plus haut, on trouvera que l'équation du cône (34) devient

n"^ m- -H 3/i/n + 2-1- a/i'^ -4- a//'^ -4- c/i''=: o. Pour qu'il se déconipose, il iaudra que

soit un carré parfait,

(ï — ■2an')\

et alois on aura les deux cônes paitiels

2 nin = — 3 dr ( I — naii-).

(^uel que soit celui de ces cônes que l'on prenne (et l'on ne peut prendre les deux à la fois), ou voit qu'il est du second degré. Donc

la surface réciproque delà surface clicrcliéc devra être coupée par son plan tangent suivant une droite et une conique : ce sera la surface réglée du troisième degré.

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

^71 dehors des surfaces du second ordre^ il ny a que la surface de Steiner, la surface réglée du troisième ordre ei leurs variétés qui contiennent une infinité de coniques passant par chaque point delà surface.

Après avoir considéré les coniques qui coupent la surface en six points confondus, et qui sont en nombre illimité, clierclions combien il y a de coniques coupant la surface (S) en sept points consécutifs. Pour cela il faudra ajouter aux équations déjà données la suivante :

En y remplaçant a, (3, y par leurs valeurs, on trouve l'équation suivante,

(36) A'-f-B'w(j)2H- G'w-<p'^+ li' nv'o\=:o,

où l'on a

B' = 2 çp^ T'ô -+- 2 'Û ?3 n — 6 Cpi »| ./3 — 4 ^2 y| (5>3 + 2 <p^pg y'j

Cl 3" 1^2 " ^ 1 " 2 "i/2'' , n ' '

— I O ^2 ^4 cp7 + 20 çp| y 2^ — 2 ©2 y 3^ ,

Au lieu de l'équation (36) nous prendrons celle cjue l'on obtient en en retranchant l'équation (34) multipliée par jm^^^cf)'^ , et nous aurons ainsi

( 37 ) A" + B" m (p, + C" m'-cfl + D" m^ n= o,

— 2i — où k", W"^ C, \y' ont les valeurs suivantes --

B" := 1 a;;, aig — 5 ip^ », yj; H- 1 (flf-^f , — 6014 y.^ ij/^j + 5 '1^2 'J'sÇi î*.,, — 4?3?3?3 + 6a);^c/,,

' 'ÎQ\ y /^" ■) " *> " r / "> O =) ' ' I -5 "

= iî'2Ï3— 2 ?2?2?3— ?2?3?2-+- ?2?âÏ2

i)u peut encore indiquei- ces expressions abrégées,

, d cl tp^tpi — (f

/î^^^^i^/îi^

^'=^-?^;^^ii:;-^^'^^^^^

qui montrent presque imniédiatenient, parla décomposition en fractions rationnelles, que C", D'' sont respectiveuaent du sixième et du troisième degré. Ou verra facilement que B'' est du neuvième dciiré.

Si donc l'on pose

on aura à éliminei" u, entre les deux équations

( A-ï-Bu -+-Cu-=o,

où les degrés des coefficients par rapport à /z sont en progression aritlimétique dans les deux équations : g, 6, 3 pour la première, 12, 9, 6, 3 pour la seconde. Donc, d'après les règles connues, on sera conduit à une équation finale en Ji qui sera du trente-troisième degré. Mais je vais montrer que cette équation admet le facteur étranger c^'t et qu'elle se réduit, par conséquent, à une équation du vingt-septième degré après la suppression de ce facteur.

Considérons en effet, dans les équations (38), u etœo comme les seules variables, et traitons pour un instant toutes les autres fonctions ©3, 9',, . . . comme des constantes. 11 est aisé de reconnaître

que pour c^^=o les c(|ualious ont uno raciuc conirnuiic. lin cri'cl, pour (j)2 = o, elles se réduisent aux suivantes,

2 (f ;) H- 3 ip^ ç', H + 93 (f''.2^ u^ = o,

6cp'j H- 6^3 Cp'g U — (fl (f"^ U^ f-i'^i M* = o,

qui admettent la racine commune

La résultante des équations (38) admettra donc cpo en facteur, Mais, si l'on forme la combinaison

on reconnaîtra aisément que cette équation, si l'on y considère u et ©2 comme les coordonnées d'un point, représente une courbe ayant un point triple déterminé par les valeurs

Il suit de là que, dans la résultante, cp^ doit se trouver en facteur, 11 est aisé de démontrer que la résultante n'est pas divisible par une plus haute puissance de cdo (^). Donc, elle se réduira exactement au vingt- septième degré. Ainsi :

Il y a, en général, 'vingt-sept coniques qui coupent une surface (fuelconque en sept points confondus en un point simple de cette surface.

(') On peut suivre pour cela deux voies différentes : soit montrer qu'aucune combinaison linéaire des deux équations (38) ne peut conduire à une équation qui représente une courbe ayant un point quadruple correspondant aux valeurs

fi—o, ?»?' = — ?3.

soit montrer que les tangentes au point triple de la courbe considérée dans le texte sont distinctes de la tangente à l'une des courbes représentées par l'équation (38) au même point.

J'ai encore calculé un exemple numérique dans lequel l'équation ne contient pas- 9; à une puissance supérieure à la troisième.

Dans le cas des surfaces du troisième degré, ces vingt-sept coniques sont celles qui sont tout entières sur la surface et qui passent par le point considéré. On peut donc déduire du théorème qui précède la démonstration de l'existence de vingt-sept séries de coniques ou de vingt-sept droites sur la surface du troisième ordre. Mais de ce résultat particulier on n'aurait pu conclure le théorème précédent, car nous avons employé les termes des six premiers ordres du développement de ^, et il n'existe pas de surface cubique ayant en un point avec une surface donnée un contact du sixième ordre.

Après avoir traité le cas des coniques quelconques, nous allons examiner en particulier les cercles et étudier les questions relatives au contact des cercles et de la surface (S).

Soient

(Sg) ms + «jc=jr, .r^ + j^+s^ — 2.Rz = o

les équations d'un cercle tangent à la surface. En combinant la première de ces équations avec celle de la surface, on a les développements déjà donnés

( j = nx H- ma^x^ -h ma^.x^ -i- . . , , ( z = a^x-^ -t- «:5 .r-* + . . . .

Pour avoir l'équation qui définit les points d'intersection du cercle et de la surface, il faut porter ces valeurs dejy et z dans la seconde des équations (89 ), qui peut s'écrire

^^(l H-w^) -t- imn.xz -\- z^ [i -\- rn^] — Q.'Kz =z o.

On a donc

^^ ( I -h rî^ — 2 R «1 ) + ( 2 mna^ — iKa^)x^

-\- x'*\[\ -{- m-] a\ + imna.^ — aR^y^] + . , . =0.

Poui' que le cercle soit osculateur, il faut que l'on ait

I 4- «-= 2Rrt,>

(;L ccLlc ccjuaLioîi, don liai) L luii; valeur de II iudépeiidaiiLe de ///, ctahlit le lliëoiènie de Meusuier.

Pour que le cercle ait un contact du troisième ordre, il faut que Ton ait

Eliminons R., et reaiplaçons «o, «3 par leurs valeurs 5 nous obtiendrons l'equalion

( 4 1 ) 2 mil y ^ = l^ (^3 + /« (p, »', ) ( I + «- ) .

Celte équation, établissant une relation entre vi et /z, déiinit tous les plans coupant la surface suivant des courbes ayant an soinniet à l'origine. On peut l'écrire

{/p) /?zç2[2«?2— (i + /«^j/jl ~ ?3(ï + /z^)= o;

Sous cette forme on voit facilement que le coefficient de /zzçpo est du second degré seulement. L'équation représente donc un cône de cinquième classe ayant le plan tangent pour plan quadruple. Ainsi :

Les plans qui coupent la surface suwant des sections surosculées par des cercles au point O envelovpent un cône de cinquième classe admettant le plan tangent pour plan quadruple. En d'autres termes^ il en passe cinq par un point quelconque de l'espace et un seul par wie des tangejites de la surface.

On peut écrire l'équation du cône en rétablissant l'homogénéité. Remplaçons n par --, m par -; l'équation du plan sécant deviendra

(43) zZ-+-jX~.rY=o, et l'équation (42) prendra la forme

Sous cette forme on voit que les quatre génératrices de contact du cône et du plan tangent sont les deux tangentes asymploLi(|ncs cl les deux tangentes principales. ' ,

Dans le cas des surfaces enveloppes de sphères, (f^^x^j) admet en facteur une des directions principales et le cône se réduit à la quatrième classe. Pour la cyclide de Dupin, le cône se réduit ;V la troisième classe, les deux directions principales étant eu facteur dans ^33 (jc, j). 11 en est de même dans le cas des surfaces du second degré, mais pour une raison différente, ^3 étant divisible par Ço,

jl est aisé de voir que le lieu des normales aux cercles situés dans leurs plans sera en général un cône du quatrième ordre, dont l'équation sera

L'ordre de ce cône s'abaissera dans les mêmes cas et de la même quantité que la classe du cône précédent.

Enfin cherchons le lieu de tous les cercles surosculateurs, et pour cela nous supposerons qu'on ait pris pour axes des x et desj' les directions principales-, alors

^3 ( 7^ ) = rt H- bn + cn^ -+- dn^, et les équations du cercle seront

, -TT Z H- n.r — J = o.

Entre ces équations il faudra éliminer «, ce qui se fait sans difficulté.

Posons, pour abréger.

Les équations

représenteront les sphères principales, et l'on aura

La seconde des équations (45) peut s'écrire

( a + cAî- ) p- + ?, ( « — ^ ) «2 ,r = /2 [ 2 J ( a = p ) — h — c/« - ] .

Si l'on y remplace n par sa valeur, on aura

^ '/ +U[rZU— /--V— o,jV(p — a)]^=0,

équation du dixième degré qui représente une surface ayant pour ligne triple la courbe

U = G, V = o ou

et pour ligne double la courbe (K) du sixième ordre représentée par les équatious

\ (r^V — cU)p2+2(p — a),rU=:0, ^ ^^ \ (f/U- /;V)p2+ 2{« — p)rV = o,

la solution U=: o, V = o étant exclue.

Cette surface est évidemment unicursale, et elle est la transformée par rayons vecteurs réciproques, par rapport au point O, d'une surface réglée du cinquième ordre.

Mais c'est surtout la ligne double qu'il est intéressant d'étudier; elle est définie par les équations (47)5 ^'^^ montrent sans difficulté qu'elle est la réciproque d'une cubique gauche par rapport au point O.

En ellet, si l'on emploie les formules

ces équations deviennent

«(|3 /.-'j.c(a — /cz')-i-2(S — «)(« — /• 2'). r'=o, (l{y.— /,-z') — b [8— kz')-h 2{oi— 8]{Pj — A-z')y =0.

Voici quelle est l'origine de cette courbe. Prenons une sphère quelconque tangente en O à la surface. Cette sphère coupera la surface (S) suivant une courbe ayant en O deux tangentes symétriques par rapport aux directions principales. Les sections déterminées par les

plans passant par ces deux tangentes auront leurs cercJes oscuîateurs sur la splaère considérée. Il y en aura deux, une pour cliaquc tangente, qui seront surosculées par leurs cercles osculateurs •, ces deux cercles se coupent au point O et en un autre point qui décrit la ligne double précédente.

Il résulte de là une propriété remarquable de cette ligue double (K) : par cliaque point de cette courbe il passe deux cercles coupant la surface en quatre points confondus. Si donc on transforme la surface par rayons vecteurs réciproques en prenant, pour pôle un point de la courbe double, ces deux cercles se transformeront en droites tangentes qui couperont la surface en quatre points confondus. En d'autres ternies, les tangentes asymptotiques de la surface transformée la couperont en quatre points confondus^ ou, ce qui est la même chose, il y aura des surfaces du second degré ayant avec la transformée un contact complet du troisième ordre. Ainsi :

Le lieu des pôles des inversions qui transforment une surface (S) en une autre ayant au point homologue d'un point déterminé O <ie (S) un contact du troisième ordre auec une surface du second degré est une courbe du sixième ordre qui est l'inverse, par rapport au point O, d' une cubique gauche.

C'est là un résultat intéressant et dont nous aurons à faire usage. Dans le cas où le point O est un ombilic, l'équation du cône (42) se réduit à

Alors, tous les plans passant par une des droites représentées par l 'équation

couperont effectivement l'unique splière principale ayant avec la surface un contact du second ordre, suivant des cercles coupant la surface en quatre points consécutifs.

Quant aux plans passant par les droites de coefficient angulaire d=i, ils ne peuvent donner de véritable cercle et ils doivent être écartés.

Clicrclions niaiiitciiant les cercles qui coupent la surface au poiut O, en cinq points consécutifs. Pour cela, il faudra joindre aux deux équations déjà obtenues la suivante :

Eliminant R et réduisant, nous avons

P2 ?4 — ?3 + "« 92 ( Ta ?3 — <F3 ?2 ) + "T '^2 ^2

Si l'on élimine m entre cette équation et l'équation (42), on arrive à un résultat qu'on peut mettre sous la forme suivante :

i[a)^ — (l + «-)^4][2/2y2— (i H- «-)y',]^ + [ 3 /z y. — ( I H- «'^ ) y 3 ] [ 2 7Z çp2 — ( I + n- ) y', ] ?3 ( 1 + «^ )

Il est aisé de voir que cette équation est du dixième degré. En

introduisant l'homogénéité et remplaçant n par -? elle devient

Ainsi, il y a dix cercles surosculateurs passant en un point simple de la surface. Leurs traces sur le plan tangent sont déterminées par l'équation précédente.

Sv. dis qu'il ne saurait v eu avoir davantage si le point n'est pas

un ombilic. En effet, pour que i'équaliou prccécleule soit vérifiée identiquement, il faut que le seul ternie de cette équation qui ne contienne pas le facteur x--l- 7-,

^ 1 If* -vif 'y* — ^ y IJI

dj dx

'2V=^» Jjl -^^T— J

soit exactement divisible par x--\- y-. Le second facteur, égalé à zéro, donne les directions principales, nécessairement rectangulaires ; il ne peut admettre le diviseur x- -f- y-. Il faut donc que cpi' ou CDo soit divisible par a:--|- j-, c'est-à-dire que l'on ait

ce c[ui exprime que le point est un ombilic.

Mais alors, nous l'avons vu, l'équation du cône (42) se réduit à

ou, en supprimant le facteur (i-f-77-)=: o, qui ne donne aucune véritable solution, à

L'équation (48) se réduit alors à la suivante,

(f 4 — là [\ + n^ Y = mk ( i + «^ ) « ^ , qui, jointe à l'équation

détermine les véritables cercles coupant la surface en cinq points confondus 5 ces cercles sont, en général, au nombre de trois, excepté dans les cas suivants :

Si une racine de Çg est double et si la valeur correspondante de ni est indéterminée, il y aura une infinité de cercles correspondants à cette racine, c'est-à-dire ayant la même trace sur le plan tangent.

En second lieu, si ^3 est identiquement nul, c'est-à-dire si la surface a un contact du troisième ordre ou d'un ordre plus élevé avec une splière, il pourra évidemment y avoir une infinité de cercles, tous situés sur cette splière et coupant la surface en cinq ou plus de cinq points consécutifs.

iVous pouvons énoncer les propositions suivantes :

Si en un point simple d' une surface il passe plus de dix cercles coupant la surface en cinq points consécutifs réunis en ce point ^ ce point est un ombilic.

Il n'existe pas de surface admettant plus de dix séries de sections circulaires .

Car tous les points d'une telle surface devraient être des ombilies.

On peut ajouter que, si une surface contient dix séries distinctes de sections circulaires, elle ne saurait être une surface enveloppe

de sphères, car alors 93 et x -^ y -~- auraient un iacteur coni-

^ ' ' fjy -- Ox

mun, et l'équation (49) aurait une racine double correspondante à

ce facteur. Par la même raison, on voit qu'aucun des cercles ne

sera tangent à une section principale.

Nous pouvons maintenant démontrer que toute surface qui admet dix séries de sections circulaires est nécessairement une cyclide. En eiFet, si les dix cercles définis par l'équation (48 bis^ appartiennent à la surface, ils pourront être considérés comme la coupant au moins en six points confondus en O, et, par conséquent, la valeur de m qui leur correspond, et qui est définie par l'équation (42), devra satisfaire aussi à l'équation ( 34 )î qui exprime que la conique de section par le plan

mz -\- nx — y ■= o,

conique qui, ici, est un cercle, coupe en six points confondus au point O. On est ainsi conduit à l'équation

Cette équation du treizième ordre devra admettre toutes les racines de l'équation du dixième ordre ( 48 bis\ Au lieu d'effectuer le calcul auquel on serait ainsi conduit, je vais employer l'artifice suivant. D. 3

Considérons la sphère contenant l'un des cercles (C) et tangeute en O à la surface. La section de la surface par cette sphère aura un point double en O. L'une des tangentes en ce point double sera la tangente au cercle (C). L'autre tangente, symétrique de la première par rapport aux directions principales, en sera nécessairement distincte, et par cette tangente il passera un cercle (C) coupant la surface en cincj points confondus. Ce cercle sera évidemment situé sur la même sphère que le cercle (C), et il coupera ce cercle (C) en un point M différent du point O, et qui appartiendra à la courbe (K), considérée au § V. Si donc on transforme la surface proposée (S) par inversion, en prenant ce point M pour pôle de l'inversion, elle se transformera en une surface (S') qui contiendra maintenant une de ses tangentes asymptotiques, et pour laquelle Çs sera divisible par Ço-

Nous allons introduire cette double hypothèse dans les équations à considérer.

Supposons cjue l'on prenne pour axe desj" cette tangente asymptotique, qui fait partie de la surface; on aura

1^2 = A ( /« .r^ -!- xj ) ,

Quant à c{»4, cf5,ilsseront divisibles par x. Donc, quan([ on n-mplacera x par i, y par n, la fonction cp^ sera de degré / • — r en ji. On aura

ij)2 ( /2 ) ^ A ( « -f- /i ) .

On peut même, en prenant une surface semblable à Ja proposée, remplacer A par l'unité et poser

(^^[n]=zn -\- h.

On aura

et il résulte de l'expression (35) de C que C sera nul.

Mais alors l'équation [J\^bis) se réduira à une équation du neuvième degré, la racine qui devient infinie correspondant au cercle changé en tangente asymptotique 5 quant à l'équation (00), où l'on peut supprimer le facteur

qui déliiiit les dircclions jjriiicipalcs, clic se rctlnira ;i la suivaulc,

(5l ) A [ 2 rt ip. — ( I H- //- ; '/J -!- B'^:j ( I 4- n- ] =:; o,

qui n'est plus que du huitième degré et qui, devant admettre toutes les racines d(i l'écjuation (48 bis), devra auoir lien idejitif/uetneni . Par suite, le facteur 2?ï^o — (i -+- n')'<J., devra diviser

Comme il ne peut, nous l'avons vu, diviser (i + ir) ni c^3 tant que la surface n'est pas une enveloppe de splières, il faudra qu'il divise B.

Or on a

' " cln <i/'\

ou^ en remplaçant cj/;, par sa valeur,

an (})-

D'ailleurs,

2 // y, — ( 1 H- n^ ) '/, = /■^' -H 2 «^ — I = ^"^ — I — h~ , On devra donc avoir identiquement

ou encore

Le premier membre contiendra en dénominateur au plus la troisième puissance de 90- H f^ut donc que l'cm ait

D'ailleurs, le second membre étant la dérivée d'une l'onction algébrique de c^oi i^^ ^^^^t aussi que /'soit nul. Il restera donc

d 1 ?:— 'l'rfÀ __ j /;i-4-A^) dfo ■• fi

- ïfi —

et en intégrant on voit tout de suite que 94 doit être divisible par (pg. Si maintenant nous nous reportons à l'équation (5 i), nous voyons que tous les terznes de cette équation, sauf ÇoÇs^ ^^^^'' divisibles par cfl. Il faut donc également que cçs soit divisible par (fo-

On voit donc que la seconde tangente asymptotique, comme la première, coupera la surface en six points confondus en O, et, par conséquent, elle sera l'un des dix cercles qui coupent la surface en six points confondus : c'est d'ailleurs ce que montre bien aussi l'équation (48 bis)^ dont le premier membre devient divisible par la première puissance de cpo.

En nous reportant à la surface (S) nous voyons que tout cercle passant au point O sera coupé en deux points par un des neuf autres cercles qui passent au môme point ^ nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Quand une surjace admet dix séries de sections circulaires, chacun des cercles passant en un point O est coupé en deux points par un autre cercle de la surface passant au même point.

Cette proposition va nous dispenser de toutes les intégrations qu'il y aurait à faire pour trouver la surface (S), ou du moins elle va nous permettre de les faire sous une forme géométrique.

Considérons, en effet, un cercle (C) de la surface et tous les cercles (F), (F'), ... qui le rencontrent en deux points. Il est clair que, lorsque le cercle (C) se déplacera d'une manière continue sur la surface, il ne cessera pas de rencontrer (F), (F'), .... En effet, considérons l'un quelconque des cercles (F). Il est coupé par le cercle (C) en deux points M, M'. Le cercle qui le coupera en deux points, dont l'un sera très voisin de M, ne pourra être que très voisin du cercle (C), et, par conséquent, il constituera une position nouvelle du cercle (C), qui se déplace et se déforme en restant sur la surface.

La surface contient donc deux séries de cercles (C), (C), ... et (F), (F'), ... telles que tout cercle de la première série coupe en deux points tout cercle de la seconde.

Or, quand un cercle rencontre deux autres cercles (F), (F'), par exemple en deux points, il est nécessairement orthogonal à la sphère unique qui coupe ces deux cercles à angle droit. Les cercles (C)..

(C), . . . seront donc tous orthogonaux à une même sphère (0), et il en sera de même des cercles de l'autre série. Les sphères qui contiendront l'un des cercles (C) et l'un des cercles (F) seront orthogonales à (0).

Il suit de là que la surface cherchée est l'enveloppe d'une série de sphères (V) qui coupent à angle droit une sphère fixe (ô), et, comme elle contient deux séries de cercles orthogonaux à (6), il faut que la surface lieu des centres des sphères (V) admette un double système de génératrices rectilignes correspondantes à toutes les sphères qui passent soit par un cercle (C), soit par un cercle (T)- Le lieu des centres des sphères (V), devant être doublement réglé, sera donc du second degré, et la surface cherchée sera l'enveloppe des sphères coupant orthogonalement une sphère fixe et ayant leurs centres sur une surface du second degré 5 en d'autres termes, ce sera une cyclide générale.

Dans les raisonnements qui précèdent, nous n'avons considéré que les termes des cinq premiers ordres. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si une surface admet en un point simple dix cercles la coupant en six points confondus , elle a avec une cjclide un contact du cinquième ordre.

(Exli-ait ilu Bulletin des Sciences mathématiques, :>.' série, t. IV; 1880.)

6S83 Paris. — Imprimerie de Gaituier-Villars, quai des Augustins, 55,