I -t- a vr -i- b[i

-5up

posons cjuc les axes des .r et des y aient été choisis d une manière quelconque et que la surface soit définie par le développement

Coupons-la par le plan dont l'équation est

(20) mz-\-nx — yz=o.

On aura une courbe plane dont la projection sur le plan des xj aura pour équation

(21) y — Jix ■= m '^^[x, y) -\- m '^^-\- . . . .

La formule de Lagrange permet d'obtenir très rapidement le développement de j suivant les puissances de x. Posons pour un instant j^ = Xx. La fonction ^2(0:,^'^) se changera en .c'c&,(X), et l'équation précédente deviendra

)» = « + rnx'j^ ( )i ) H- m.r^ ©3 ( ), ] -f- . . . . Elle est, comme on voit, de la forme

et elle donne, par conséquent.

X = „ + F(„)+l^FM«;

Remplaçons F(/î) par sa valeur et ordonnons par rapport à x \ nous aurons le développement de A d'où l'on pourra conclure celui de j et aussi celui de z. On obtient ainsi les formules

Ses valeurs de a^-, ci^^ . . . étant données par les formules suivantes,

/ «2=çp2,

(?ir»

«fi = ?6 ■+•'«( ?2 ^5 + ?3 ?4 )

+ 6 ('■'^•'^Ti^l'''

>?2n+ 3yly;

où (^i désigne la fonction (fti^x^j)^ dans laquelle on a remplacé x par i,j'"par;z, et où les accents supérieurs indiquent des dérivations à effectuer. Au moyen de ces formules, auxquelles, on le voit, nous sommes conduits presque sans calcul, nous allons résoudre les questions c[ue nous avons en vue.

Commençons par étudier les coniques osculatrices, c'est-à-dire les coniques ayant cinq points d'intersection avec la surface confondus au point O. Soit

l'équation de l'une des surfaces du second degré qui sont osculatrices à (S) et qui contiennent cette conique. Le développement de la coordonnée z d'un point de cette surface nous donnera, en posant

cp, zzz ax-f- (3j-,

+ ?î?2 + 67? î ^2 + 27^ çp-^,

les termes négligés étant du septième ordre au moins. La conique section de cette surface par le plan (P),

mz -f- nx — ) = o,

aura pour projcclion suilc plan des o^j la conique dont l'équalion est

y — n.T z=z mb^x^ -\- mb.^x^ + . . . ,

et Z'o, Z»3, . . . seront définis par les formules ( 24 ), où l'on remplacera çpo, (jpa, ... par les .valeurs qui conviennent à la surface du second degré, valeurs définies par le développement (26). Posons, pour abréger

on aura

^3 Z= Uy ^2 -f- 1)1 ffl, y', ,

b,, = (il fi H- 7?2 + /« ( «1 fl )' H • (f 2 )"'

b,- = n -^ 'f.2 -\- 3ytii'j>l-h m i~ u^ fl -h yfl J

?ï"ij -t-7ri?2J »

^g = /;J (^2-1-67 w^ç, + 27^^^ -+- m[iu\'f\ -\~ 3 7 «1^1 )'

Écrivons que la conique est osculatrice à la section plane de (S). Nous aurons les équations

(28) n.2=.b.2, a^= b^, a,^z=ib,^,

dont la première est identiquement satisfaite. Les deux dernières nous donnent

Supposons que le plan sécant (P) soit donné, c'est-à-dire que l'on connaisse m et n. Les équations précédentes contiennent les arbitraires a, (3, Wq 5 elles ne suffisent donc pas à déterminer ces trois arbitraires. Il y a, en effet, une infinité de surfaces du second degré contenant la conique osculatrice de la section et données par une

- ÎG équation de la forme (ao). Elles ont pour équation

z = fii-^-: ,)') -h z[v.a: -h py + yz) -f- /iz[i)iz -\- n x — r),

où h est arbitraire.

Mais nous pouvons achever de déterminer la surface du second degré cherchée en ajoutant une équation nouvelle aux deux équations ( 29), par exemple en exigeant que dans la seconde de ces équations les coefficients de m soient égaux dans les deux membres. Alors on est conduit au système

^3 r= |3y. H- ( a H- pn)'J,,

qui donne, nous allons le voir, des valeurs parfaitement déterminées pour a, (3, y.

On en déduit en elfet

(3.) L:=?!,M^lii,

et l'équation de la surface du second degré correspondante est

Mais alors nous sommes conduits aune importante conséquence : l'équation précédente ne contient pas m-^ elle représente donc le lieu des coniques osculatrices des sections par les plans sécants

mz -h n.v — j' = 0,

OÙ m est variable, c'est-à-dire des sections dont les plans passent par une même tangente. JNous avons donc le théorème suivant :

Si dans une surface on considère toutes les sections planes passant par une même tangente, le lieu des coniques osculatrices de

ces sections à leur point, de contact com/n.iin avec ta tdni^ente est une surface du second degré ayant un contact du second ordre, avec la surface proposée.

Ce lliéorème est tout à fait analogue à celui de Mcusnier sur les cercles osculateurs des sections planes passant par une môme tangente.

Pour étudier plus complètement les surfaces du second ordre représentées par l'équation (Sa), prenons pour le développement de z la forme réduite

:; = .vy -+- .r^ -h .> ^ -4- -^r ( re.ir -+- hy~ ) ; l'équation (Sa) deviendra

\ [z — xj)n'' = zx[inr-—n-)-hzr{^n'*—n)

On voit qu'il passe six surfaces de ce système par un point quelconque de l'espace. Il passe donc par chaque point de l'espace six coniques osculatrices en un point déterminé d'une surface quelconque ( S ) .

Dans son Mémoire de 1841, M. Transon a établi que le lieu des axes de déviation des sections planes passant par une même tangente est un plan. Cette proposition est une conséquence du tliéorème fondamental établi plus liaut, car on sait cpie les axes de déviation sont les diamètres des coniques osculatrices passant au point de contact. Ces coniques se trouvant sur une surface du second ordre, le lieu de leurs diamètres sera le plan diamétral de cette surface conjugué à la direction de la tangente. Ce plan diamétral est représenté par l'équation

IL + nfy = o ou

Il y H- rr.r -h ( i -t- /^^ ) r- r= o.

On voit donc qu'il y a trois de ces plans passant en un point de l'espace. En d'autres termes, il y a trois sections planes dont l'axe de déviation coïncide avec une droite donnée passant par le point de contact.

Il est intéressant de reclierclier quelle est la nature du contact D. :>.

(les surfaces du second degré contenant les coniques osculalrices avec la surface (S). Le développement de la valeur de z tirée de l'équation (33) est

z = xy + ,r

et, par suite, la projection de la courbe d'intersection de la surface du second degré et de la surface (S) sur le plan des xj aura pour équation

, . r , ax jlin^- -h xylr — nx]\ bj 1 ^^ ;--

On voit c[ue deux tangentes au point triple de la courbe d'intersection seront confondues, et, en outre;, la tangente double coupera la courbe d'intersection en cinq points confondus.

Pour les trois valeurs de /z correspondantes aux tangentes d'osculation, on aura les trois surfaces du second degré que nous considérons comme ayant le contact le plus intime avec la surface.

Après avoir étudié les coniques osculatrices, c'est-à-dire les coniques coupant la surface (S) en cinq points confondus en O, clierchons les coniques surosculatrices, c'est-à-dire les coniques coupant la surface en six points confondus. Pour cela, il faudra joindre aux écjuations (28) la suivante,

ou, en tenant compte des valeurs déjà données pour «5, ^5,

ii\ f.2 H- 3 «1 7fl H- m f - ul fl -h yf'' j + — (yS «^ y

Si l'on considère la valeur àc n ronimc connno, ;/, et y seront donnés par les équations (3i), et l'équation précédente fera connaître in. Comme elle est du second degré, on voit que chacune des siu'faces du secojid ordi'e qui contiennent les cojiit/ues osculairices des sections menées par une même tangente contiendia deux coniques suTosculatrices . Rcmplaçous dans l'équation précédente //,, y par leurs valeurs; nous serons conduits à la relation suivante entre m et /z,

( 34 ) A + B m '^2 + Cm"- 'f\ = o,

où A, B, C ont pour valeurs

(35) '^=^^l-;i;,\^^^^i-)='nf.~-^?.^'>^. + nu--^?.^^f.^ I r .. < ' I „ , ' , „ I 3 ^^' /C'A

Cette équation (34) donne la condition pour que le plan

détermine dans la surface une section surosculée en O par une conique.

Il est aisé de reconnaître que les fonctions A, B, C sont respectivement des degrés 9, 6, 3. L'équation (34) représente donc un cône de neuviènae classe; mais, comme elle est du second degré en m, on voit que le plan tangent est un plan septuple de ce cône. Ainsi ;

Par une droite quelconque passant au point de contact on peut mener 7ieuf sections surosculées par une conique au point de contact; mais, si la droite est une tangente de la surface, on ne peut plus en mener que deux.

Je ferai remarcper en outre que les génératrices de contact du cône et du plan tangent sont les tangentes asymptotiques, qu'il faut compter chacune deux fois, et les droites C[ue nous avons appelées tangentes d' osculation quadrique.

On peut se servir de l'équation de ce cône poui' résoudre une

question intercssaiite. On connaît, en dehors des surfaces du second degré, d'autres surfaces par cliacun des points desquelles passent une infinité de coniques : c'est ce qui alieu pourla surface de Steiner, par exemple. Proposons-nous de rechercher toutes les surfaces jouissant de cette propriété. Ce problème, qui paraît au premier abord très difticile, peut être résolu d'une manière très simple à l'aide de la méthode suivante.

Je remarque d'abord qu'il n'y a pas de surface autre que les surfaces du second degré dont la section par un plan cjuelconque se décompose et contienne une conique. M est aisé, en elfet, de démontrer la proposition suivante :

Si une droite D coupe une surface algébrique en des points qui sont tous distincts, et si les plans passant par cette droite coupent la surface suivajit une section comprenant toujours au moins une conique, la surface se décompose et contient au moins une surface du second degré.

Par suite, il est impossible que des plans quelconques déterminent dans une surface indécomposable, d'un degré supérieur au second, des sections conaprenant chacune une conique. D'autre part si, comme nous le supposons ici, il y a une infinité de tels plans, passant par chaque point de la surface, il faut qu'ils enveloppent une surface non développable : je dis que cette surface est la surface proposée.

En effet, il y a, par hypothèse, une infinité de plans tangents du cône (34) coupant la surface suivant une conique. Si donc le cône (34) est indécomposable, tous les plans de ce cône devront jouir de la même propriété. Il suit de là que le cône (34) devrait être le cône de sommet O circonscrit à la surface enveloppe des plans coupant la surface (S) suivant une section conique. Or un des plans tangents de ce cône coïncide avec le plan tangent en O. On voit donc que la surface enveloppe des plans déterminant dans (S) des sections coniques nepeutêtre que la surface (S) elle-même, et, par conséquent, le cône (34) ne serait autre chose que le cône de sommet O circonscrit à la surface ( S).

Or, je dis que cela ne peut être. De même que la section par un plan tangent en un point simple a seulement un point double au point de contact, les tangentes en ce point double étant les tan-

gentcs asymploliqucs, de; ntrinc Je lùne circonscrit à une surface ayant son soininct en un point sim])I<; admet seulement le plan tangent pour plan tangent double, les génératrices tle contact de ce plan tangent double étant les tangentes asymptotiques. Or le cône (34) admet le plan tangent pour plan tangent septuple. Donc, tant qu'il sera indécomposable, les sections par ses plans tangents ne pourront être des coniques.

11 faut donc que le cône se décompose. Cela ne peut arriver que de deux manières différentes : ou bien il y aura un facteur, fonction de 7î, qui sera commun à A, Boo, Cçî;; ou bien l'équation du second degré en m admettra deux racines rationnelles.

La première supposition est impossible. Pour cjue la suppression d'un facteur commun réduisit le cône à admettre le plan tangent au plus comme plan tangent double, les génératrices de contact étant les tangentes asymptotiques, il faudrait que C fut nul ou que Cço divisât A, c'est-à-dire, si l'on se reporte à l'expression de C et de A, que çp2 divisât ^3. Mais, si C est nul, il résulte de la dernière des formules (35) que 033 est encore divisible par (s^^- Cette condition devant avoir lieu pour tous les points de la surface (S), celle-ci serait du second degré, car ses tangentes asymptotiques la couperaient constamment en quatre points confondus.

Il reste donc à examiner le cas où les deux valeurs de ni données par la formule (34) sont rationnelles. On aura alors