I. — Des perctjssiojns

Considérons un point matériel de masse m^ soumis à l'action de différentes forces. Soient x^ y^ z les coordonnées de ce point à l'instant f, v^, t'j, '^z les composantes de la vitesse au même instant, X,, Y;, Zj celles de l'une quelconque des forces qui agissent sur le point. On aura les équations

dv^

= Xi+.

dv,

m —~ dt

dv.

= ZH--

et, par conséquent, si l'on désigne par Vq^i ^'o>-5 '^oz les composantes D. i

de la vitesse du mobile à l'instant o, on aura

it>. — /"i'o3 = / Zidt -\- . . . + j Z/^dt.

Ces équations peuvent s'interpréter de la manière suivante. Appelons, avee différents auteurs, impulsion de la forée X, Y, Z la quantité géométrique dont les composantes sont

/ Xr/^ / Xdt, 1 Zdt;

les équations (2) donneront lieu au théorème suivant :

L' accroissement géométricjue de la quantité de mouvement du point matériel dans un intervalle de temps fini quelconque est égal à la somme géométrique des impulsions des forces qui agissent sur ce point pendant l'intervalle de temps considéré.

Il résulte de ce théorème que si des forces agissent sur un point matériel, et si l'on connait seulement leurs impulsions dans un intervalle de temps donné, on pourra déterminer l'accroissement géométrique de la quantité de mouvement du point sur lequel elles agissent, et par conséquent, si l'on connait la masse et la vitesse initiale du point, on obtiendra en grandeur et en direction la vitesse finale. Mais il importe de remarquer que l'on n'aura aucune notion sur la position de ce mobile à l'instant final.

Imaginons maintenant que l'intervalle de temps pendant lequel les forces agissent devienne de plus en plus petit, mais que les impulsions de quelques-unes des forces conservent une valeur linie , ce qui exige que ces forces deviennent de plus en plus grandes : le cliangement de vitesse se produira dans un intervalle de temps déplus en plus court, mais il sera toujours fini. D'ailleurs, si l'on suppose que les impulsions des forces relatives à tout intervalle de temps compris dans celui que nous considérons demeurent inférieures à des grandeurs fixes, les changements de vitesse du

point matériel demeureront finis et le déplaeement du point matériel deviendra de plus en plus pelit quand l'intervalle de temps diminuera.

En eifet, réduisons toutes les forces à une seule dont les composantes à l'instant 9 soient Xq, Y^, Zo, et considérons la projection du mouvement sur l'axe des x par exemple. On a

Nous supposons que l'impulsion / Xoc/0 demeure, Cjuel que

soit 9, inférieure h un nombre fixe IM. On aura donc en valeur absolue

X — .r^ — Pq ^ ' <C / ^^ ^^ ou

et, par conséquent, x — Xo diminuera quand rintervalle de temps deviendra de plus en plus court (' ).

(') Nous introduisons, on le voit, une condition qui, d'habitude, n'est pas énoncée explicitement : c'est que l'impulsion de la force dans une partie quelconque de l'intervalle de temps considéré demeure inlerieurc à une grandeur fixe quand l'intervalle de temps diminue. Cette condition est toujours satisfaite dans les applications, car on n'y considère que des percussions dont la direction ne vai-ie pas sensiblement pendant toute la durée de l'intervalle pendant lequel elles agissent. Par exemi^le, dans le choc de deux corps, la force qui s'exerce au point de contact sur l'un des corps ne peut agir que dans un sens déterminé, de manière à écarter les deux corps.

Alors l'intégrale | Xqc/O conserve son signe et ne cesse de croître; elle demeure

donc inférieure à sa valeur finale, qui, par hypothèse, est finie.

Mais, si l'on se place à un point de vue exclusivement théorique, il est aisé de trouver des forces qui, dans un temps très court, imprimeront des changements linis on même nuls de vitesse, tout en déplaçant le mobile d'une quantité finie. Considérons, par exemple, un p int qui se meut en ligne droite et qui est soumis à l'action de la force dont l'expression à l'instant 9 est

c et T étant des constantes. On aura

On se rapprocliL' donc de plus en plus d'un état limite dans lequel le mobile, sans changer de position, éprouverait une modification brusque de sa vitesse. C'est cet état limite que l'on étudie dans la théorie des percussions, et il résulte immédiateuient de ce cjui précède que, pour déterminer le changement de vitesse du mobile, il sutTit de connaître les impulsions des dilïérentes forces auxquelles il est soumis. Ce sont ces impulsions auxquelles on donne le nom de percussions. Il est clair c|ue les percussions provenant de forces finies, telles que la pesanteur, peuvent être considérées comme nulles.

Je ne m'arrêterai pas à discuter une objection que l'on adresse quelquefois à la théorie des percussions. Quelques auteurs, en s'appuyant sur ce qu'il n'existe pas de force rigoureusement instantanée, préfèrent ne pas employer la notion des percussions et les théories qui déterminent leurs effets. Jl n'existe pas de point géo* métrique ni de ligne droite dans la nature, et cependant nous

et par suite, si l'on appelle c,, la vitesse initiale.

'cO c . 'iO-

X X,. ('„ 0 =^ S! Il — ;-- •

On a donc, pour 6 =: T,

X =zx^,-+- Cj T -i- c.

Si l'on suppose que le temps T devienne de plus en plus petit, c demeurant constant, on aura une force très grande agissant pendant un temps très court, ne produisant aucun changement de 'vitesse et déplaçant le point d'une quantité quelconque c.

Mais il est facile de reconnaître que la condition énoncée dans le teste ne se trouve plus remplie, puisque l'impulsion partielle

2 6- OtX

ne demeure pas finie, pour 'J — — par exemple, quand T tend vers zéro. D ailleurs,

il est aisé de reconnaître que la force change de sens au milieu de son action.

C'est une force de ce genre qu'une locomotive doit déployer pour exécuter une de ces opérations qui sont si fréquentes dans les gares et amener rapidement un ou plusieurs wagons, sans vitesse, d'une position dans une autre.

trouvons utilité et intérêt à étudier ces abstractions. ]1 y a sans doute, quand on passe aux applications, à examiner les erreurs que l'on peut commettre en applicjuant les tliéorèmes de la Science pure, mais celte question ne nous parait pas devoir être mêlée au développement de la Science elle-même.

Ou sait comment se mesurent et se représentent les percussions. Au fond, ce sont des quantités de mouvement qu'il suffit de composer avec celles des points sur lesquels elles agissent. Je rappellerai rapidement les règles lelatives à leur efTet sur le corps solide et je présenterai en même temps quelques remarques nouvelles sur leur application.

Si le corps solide a un axe fixe, le produit du moment d'inertie relatif k cet axe par l'accroissement de la vitesse de rotation est égal à la somme des moments des percussions par rapport à cet axe.

Si le corps a un point fixe, désignons par p^ y, i' les composantes de la rotation suivant les trois axes principaux de ce point, et par A, B, C les moments d'inertie relatifs à ces trois axes 5 les vitesses prendront des accroissements A/;, A^, A/' déiinis par les formules

{ CAr=:N,

où L, M, N désignent les sommes des moments des percussions pai' rapport aux trois axes.

Les formules précédentes peuvent être remplacées par une construction géométric|ue très élégante dont Poinsot a souvent fait usage. Soit O le point fixe. Supposons qu'on y transporte les quantités de mouvement de tous les points du système et que l'on compose les coiq:>les qui naissent de ces translations : le couple résultant sera le couple des qucuitités de mouvement transportées en O. 11 est lié, comme on sait, d'une manière très simple à la rotation, i*' L'axe de rotation est le diamètre conjugué du ])lan de ce couple par rapport à l'ellipsoïde central du point O, et il est du même côté de ce plan c[ue l'axe du couple. 2° Si G désigne le moment du couple, / la longueur du demi-diamètre intercepté dans l'ellipsoïde par l'axe de rotation, et ^ la distance du centre au plan tangent à l'ellipsoïde à l'extrémité de l'axe de rotation, la vitesse angulaire de

rotation a pour valeur

On voit donc que, si l'on connaît le couple des quantités de mouvement, on aura immédiatement le mouvement du corps solide.

Or, les formules précédentes peuvent se traduire comme il suit. Transportons toutes les percussions au point iixe et composons tous les couples qui naissent de cette translation : on obtiendra un couple résultant. // suffira de composer ce couple avec celui des (juanlités de mouvenient antérieurement acquises pour avoir le nouveau couple des quantités de mouvement.

Dans le cas où le corps solide est entièrement libre, désignons par m. la masse du corps, par V^., V^, V^ les composantes de la vitesse du centre de gravité, par X, Y, Z celles de la résultante générale des percussions transportées au centre de gravité. Ou aura

m ùt.Y.2 = Z,

et ces équations s'interprètent comme il suit : La nouvelle vitesse du centre de gravité sera la même cjue si la masse entière y était concentrée et toutes les percussions transportées parallèlement à ellesmêmes.

Quant au changement que subit la rotation autour du centre de gravité, on le déterminera en considérant ce centre comme un point fixe et en appliquant soit les formules (3), soit la construction géométrique de Poinsot qui leur est équivalente.

La forme linéaire de toutes ces équations nous montre tout de suite : i^ que l'on obtiendra la nouvelle vitesse d'un point quelconque en composant la vitesse antérieure avec celle que détermineraient les percussions si elles agissaient sur le corps au repos-, 2° que l'on obtiendra le même résultat, soit en faisant agir simultanément les percussions, soit en les faisant agir successivement dans un intervalle de temps suffisamment court; 3° enfin que, si l'on multiplie les percussions par un nombre quelconque p^ les vitesses qu'elles déterminent sur le corps au repos sont toutes multipliées par p. Tous ces résultats s'étendent d'ailleurs, sans difficulté, au cas où le corps solide est soumis à des liaisons d'une nature

quelconque, cL les eoniposantes de ]a vitesse que prend un point quelconque sont toujours des fonctions linéaires des composantes des percussions qui agissent sur le corps solide.

Nous remarquerons, en terminant, que les constructions géométriques données précédemment permettent de résoudre d'une manière simple certaines questions. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver les percussions qui, appliquées à un corps solide libre, lui impriment au début une rotation. On reconnaîtra aisément que les lignes d'action de ces percussions doivent être perpendiculaires à leur polaire par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité; elles forment donc un complexe bien connu et qui a été étudié par divers géomètres.

Considérons, en elFet, une percussion P appliquée à un corps solide. Elle imprimera au centre de gravité une vitesse de translation qui lui sera parallèle. Quant à la rotation autour du centre de gravité, nous avons vu qu'elle commence autour de la droite qui est le diamètre conjugué du plan passant par la percussion P et le centre de gravité. Pour que le mouvement initial soit une rotation, il faut que la translation imprimée au centre de gravité soit normale à l'axe de rotation; c'est-à-dire que la ligne d'action de la percussion P soit une droite perpendiculaire au diamètre conjugué, par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité, du plan passant par cette droite et par le centre de gravité; ou, ce qui est la même chose, il faut que cette ligne d'action soit une droite perpendiculaire à sa polaire par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité.

IL — Des forces vives daws la théorie des peucussioks.

Reprenons les équations relatives à l'eifet des percussions sur un point matériel :

"••(<'x— «'ox) = > / Xr/^,

(5) / m{.,-.,,)=\ f Ydt,

f*' Zdt.

Multiplions-les par v^-h t^ox, ^7+ ^\y, »^sH- ^os et ajoutons-les. Nous aurons, en désignant par ^^07 ^ le^ vitesses initiale (;t finale,

Le second membre de cette formule a une signification géométrique très simple. Si la force X, Y, Z agissait, pendant toute la durée de son action, sur un mobile animé de la vitesse constante dont les composantes sont

i'^-h Cn-r., t\- -+- ('aa-, f' H- (',

son travail élémentaire serait

X ( (^x + "ox ) f^^ -^ Y { "y + ''oj ) ^^ + z ( (^. -i- .'0 . ) df,

et son travail total dans l'intervalle de o à ? serait précisément l'intégrale qui figure dans le second membre de la formule (6). INous avons donc la proposition suivante :

ThéouIïme I. — Quand des percussions agissent sw^ un point matéï'iel, la 'variation de force 'vive est égale à la somme des travaux que produiraient les forces d'où proviennent ces percussions si, pendant toute la durée de leur action, le point matériel conservait une vitesse constante égale à la somme géométriq ue de ses 'vitesses initiale et finale.

Multiplions maintenant les équations (5) par t^^, Vy., i^z respectivement et ajoutons-les. JNous obtiendrons une écjuation que l'on mettra aisément sous la forme suivante :

SX'

[Xu^-^Yi>y-^Zu,)dt.

Cette équation, interprétée comme la précédente, conduit à cette nouvelle proposition :

Théorème II. — La perte de force vive est égale à la force vive due à la vitesse perdue moins le double de la somme des

travaux que produiraient les forces si le point matériel conservait, pendant toute la durée de leur action, une ^vitesse constaJite et égale à la ^vitesse finale.

Enfin, si l'on employait comme multiplicateurs v^x-, ^oy-j Vqz-, on aurait de même l'équation

ii:

qui s'interprète comme il suit :

Théorème IIl. — Le gain de force "vive est égal à la force vive due à la ^vitesse gagyiée [ou perdue), augmentée du double des travaux que produiraient les forces si, pendajit toute la durée de leur action, le point matériel conservait une ^vitesse constante et égale à la 'vitesse initiale.

Il est aisé de reconnaître que cette dernière proposition est un simple corollaire des deux précédentes, mais il peut y avoiiquelque intérêt à en faire usage.

Considérons maintenant un système composé d'un nombre quelconque de points matériels. Ecrivons les équations analogues à l'équation (6) pour cliacun des points et ajoutons toutes ces équations. Nous aurons

IVa

les sommes qui figurent dans le premier membre s'étendant à tous les points matériels, et celle qui figure dans le second à toutes les forces. Cette équation conduit au théorème suivant :

Théorème IV. — La variation de la force vive totale d'un système est égale à la somme des travaux que produiraient les percussions tant intérieures qu extérieures si chacun des points d' application de ces percussions conservait, pendant toute la durée de leur action, wie vitesse constante égale à la somme géométrique de ses vitesses initiale et finale.

De même, l'équation (y) nous conduira à Ja suivante,

1 nw- — 1 im>l — 1 m {[o^ — v^^^ Y -V- ( i>y — "oj )' + ( »'2 — "o= )" ]

yy,

ce qui donne le tliéorème suivant :

'XC^+ YVy-\- ZC^Jf//,

Théorème V. — La perte de force vive du système est égale à la force vive due aux vitesses perdues, diminuée du double de la somme des travaux que produiraient les percussions tant intérieures qu'extérieures si chacun de leurs points d' application conservait, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à sa vitesse finale.

Toutes les propositions précédentes s'appliquent aux forces agissant pendant un temps quelconque. Mais, si le système matériel est un corps solide et si les forces agissent pendant un temps très court, c'est-à-dire sont de véritables percussions, il est aisé de démontrer que les termes correspondants aux percussions intérieures se détruisent deux à deux et disparaissent des équations (9) et (10). Soient, en elïet, m, ni deux points du corps solide entre lesquels s'exerce une force (X, Y, Z). Appelons Vqx-, Vxi ••• les vitesses du point 7;z, et j^'^^, ç"'^., . . . celles du point m' . Les termes qui proviennent de la force (X, Y, Z) dans les équations (9) et (10) sont composés des deux expressions

i (<'. -.4 )f^dt+[Vy-V^ )/Y./^ +(.,-.', ]fZdt,

\ {%.-^'o.]f^dt^-[v,y-v',^)fYdt+[v,-v'^,)fZdt.

Les deux points 77z, m' étant maintenus, par liypotlièse, à une distance invariable, les vitesses initiale et finale satisfont aux conditions

X, 7, s, x\ y', z' désignant les coordonnées des deux points. D'ailleurs, la percussion étant dirigée suivant la droite qui joint les deux points, on a

f^dt = l[.v-x'), fYdt=^l{y-y), fZdt=l[z-z'),

et, par conséquonl, les deux expressions (i i) sont nulles, e]i \eilu des formules (la). Ainsi les percussions intérieures disparaissent dans les formules (9) et (10).

La démonstration précédente n'est pas absolument irréprocliable, parce cju'elle suppose cjue les distances des dilïérents points soient demeurées les mêmes pendant toute la durée des percussions. Il est aisé de reconnaître a priori que cette condition n'est pas nécessaire et qu'il suffit, pour c[ue les théorèmes aient lieu, que les distances mutuelles des dilïérents points redeviennent les mêmes après les percussions. En effet, dans ce cas, les théorèmes du mouvement du centre de gravité et des moments permettent de trouver le nouveau mouvement du corps solide, et par suite la variation de force vive. Or l'application de ces théorèmes est indépendante des déformations passagères cjui peuvent se produire pendant l'action des percussions. On voit donc qu'il en sera de même de la variation de la force vive, et, par suite, les expressions que nous avons trouvées en supposant les distances invariables doivent subsister dans tous les cas, pourvu que lesdistances reprennent leurs valeurs initiales quand les percussions ont cessé leur action. Nous allons, du reste, en nous servant seulement des équations ordinaires, obtenir une vérification des propositions précédentes.

Pour cela reprenons les équations (3) et (4), que nous écrirons

^{P-Po) =2(j/Z,-z,Y,) =L, J^ÎQ-^o] =2 {^i^i — -^/Z,) = M,

Xi, ji, zi désignant les coordonnées du point d'application de la percussion (X/, Y/, Z/) par rapport aux trois axes principaux du centre de gravité.

En multipliant ces équations par V^-t- Vo:r: . ' . , p -{- po-, • - ■ respectivement et en les ajoutant, on a

!/«V-+ A/>--f- B<7-H- Cr-— mV^ A;:'^ — B</5 — Cr'l = X(V,+ V,,) + Y(V,-^Vo,)+Z(V,-^V„,)

Le premier nienibre représente la variation de force vive. D'autre part, si l'on appelle <'°^,, . . . , Uix-, ... les composantes des vitesses initiale et finale du point d'application {^Xi,ji^ zi) de la percussion

(X,-, Y,-, Z,-), on a

«'/; = Vo , -h PoXi — qo .ri, c/-

et l'on obtient, par un calcul facile,

I X, (.,,+ .?,) + Y, ( .,y + ul ) + Z, ( .,, + P?, )

= X(V,+ Vo:r) + Y(V,-l-Vo,.)-f-Z(V,-4-' En comparant à l 'équation ( 1 3 ) , on a

^ix= V^-t- qzi

— rj„

•''•y = V^ -J- rx;

«'/^ = V- + pji

- q.rc

mV2+ A/;2+ B<72+ C?-^— mV^ — A/j^ — Bg^ — Cr^,

et cette équation ne dilïère de l'équation (9) cju'en ce c[ue les termes provenant des actions intérieures ont disparu. Nous avons donc la proposition suivante :

Théobîîme VI. — Quajid des percussions agissent sur un corps solide, la 'variation de force viue est égale à la somme des travaux qu elles produiraient si leurs points d' application conservaient, pendanttoute la durée de leur action, une ^vitesse constante égale à la somme géométrique de leur idtesse initiale et de leur ^vitesse finale.

On vérifiera de la même manière récjuation suivante,

/ A;:'^ H- Bç^ + Cri + m^l — Ap- — Bq-— Cr- — mV-

(l5) =A{p—p,Y-hB[q-q,Y-i-C{r-~roy^-^m{Y-V,Y

{ —2.1 [Xi (>ix + Yi ('ly + Zi vi^ ) ,

qui ne diffère de l'équation (10) qu'en ce que les termes provenant des percussions intérieures ont disparu et qui conduit autliéorème suivant :

Théorème VII. — La pe/'te de force tùve éprouvée par le corps

solide est égale à la force vive due aux vitesses perdues moins le double de la somme des travaux que produiraient les percussiojis si les points sur lesquels elles agissent conservaient, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à leur ^vitesse finale.

Il est bon de remarquer que si le corps solide est soumis à des liaisons, s'il a, par exemple, des points fixes, ou des points assujettis à demeurer sur une surface fixe, ou des surfaces assujetties a passer par des points fixes, etc., les termes provenant dans les équations précédentes des percussions de liaison seront tous nuls, pourvu que l'on néglige le frottement. Par exemple, s'il y a un point fixe, la percussion que le corps reçoit de l'obstacle fixe, s'exerçant sur un point dont la vitesse est et demeure nulle, ne donnera de terme dans aucune des équations ( 1 4 ) ou ( 1 5 ) .

D'après cela, si une seule percussion agit sur un corps solide au repos, la force vive imprimée au corps sera, en vertu du théorème Vï, égaie au produit de cette percussion par la projection, sur sa direction, de la vitesse que prend son point d'application. Il faut donc que cette projection soit positive et, par conséquent, que le point d'application cède sous l'action de la percussion qui lui est appliquée. C'est là un résultat conforme à notre expérience de tous les jours 5 mais le théorème précédent, qui le met en évidence, nous conduit, en outre, à la considération d'un élément nouveau qui se rapporte aux droites d'un corps solide et que nous allons définir.

Concevons une droite D et supposons qu'une percussion égale à l'unité ait cette droite pour ligne d'action. Soit A le point de D où elle est appliquée. Elle communique à ce point A une vitesse dont la projection sur la percussion et, par conséquent, sur la droite est

positive; nous désignerons cette projection par -5 et il est clair

qu'elle demeurerait la même si l'on faisait glisser la percussion sur la droite D, car on sait qu'alors le mouvement imprimé au corps demeure le même, et d'autre part, dans ce mouvement, les projections sur la droite des vitesses de tous les points de cette droite sont égales. Nous appellerons cette quantité^, essentiellement positive, le paramètre de la droite. Quand on l'aura déterminée, on saura que toute percussion égale à P et dirigée suivant la droite déterminera en son point d'application une vitesse dont la

projection siw la percussion sera positive et égale à -• Cherchons

quelle est la valeur du paramètre dans les cas principaux que l'on a à considérer.

1° Supposons d'abord le corps libre, et soit une percussion agissant suivant une droite XX' {fig. i). Désignons par M la masse du

corps. La percussion P imprimera d'abord à tous les points une vi-

p tesse de translation égale à — ; elle produira, en outre, une rotation

autour du diamètre GL, conjuguéauplanGXX'dansl'ellipsoïde central du centre de gravité G. Appelons p la distance GH du centre

de gravité à la droite XX'. Le moment G du couple qui résulte de la translation de la percussion en G sera Pp, et, par conséquent, la vitesse de rotation autour de GL sera donnée par la formule

où / désigne la longueur du demi-diamètre GL de l'ellipsoïde central autour duquel s'effectue la rotation, et à la dislance GK du centre au plan tangent à l'extrémité de ce diamètre. Nous pouvons d'ailleurs décomposer cette rotation en deux autres, l'une w' dirigée

suivant GK et égale à wx j ou Vpd'-^ l'autre w" dirigée dans le

plan XX' et dont nous n'avons pas besoin de connaître la valeur. D'après cela, la vitesse d'un point quelconque de XX', par exemple du pied H de la perpendiculaire abaissée de G, se compose de trois vitesses : i° la vitesse de translation dont la projec-

P tion sur la droite XX', prise dans le sens de la percussion, est •— ;

2° la vitesse due à la rotation o/, vitesse qui est dirigée suivant XX' et qui a pour valeur w'p ou V p- ^- ; 3° la vitesse due à la rotation w", qui, étant normale à XX', donne une projection nulle. On voit donc

que la projection sur la direcliou de la percussion de la vitesse imprimée au point H, projection c[ui conserve la même valeur pour un point quelconque de XX', est

[wi^ "'-'')■

On a donc dans ce cas, pour le paramètre de la droite XX', l'expression très simple

(.6). '^ = ii^P''''-

Le paramètre, généralement inférieur à la masse, lui devient égal quand la droite passe au centre de gravité.

Si le corps a un point fixe, les raisonnements sont les mêmes; seulement il n'y a pas à tenir compte de la vitesse de translation, et l'on a

le centre de gravité étant remplacé par le point fixe.

Enfin, si le corps a un axe fixe, soient XX' {Jig. 2) la ligne d'ac-

tion delà percussion, Q l'angle qu'elle fait avec l'axe aa', et d sa plus courte distance à l'axe. Désignons par w la vitesse angulaire imprimée et par MA- le moment d'inertie par rapport à aa'. On aura

La vitesse du pied Jd de la pfus courte distance sera — ——-; — ? et sa

projection sur XX' sera

P^^sin^ô

On aura donc ici

, „, i cP' sin-6

Nous nous bornerons à ces trois cas principaux. Pour les autres, nous nous contenterons de rappeler que le paramètre y. est essentiellement positif.