III. Du CHOC DES CORPS

Lecliocdes corps a été l'objet de nombreuses recherches. Poisson, dans le Tome II de sa Mécanique, commence par traiter le choc des corps mous et il obtient la solution complète du problème en ajoutant aux douze équations fournies par les principes du centre de gravité et des moments une équation nouvelle qui exprime qu'à la fin du choc les vitesses normales au point de contact des deux solides sont égales. Puis il passe de là au cas des corps élastiques, en remarquant que le choc peut alors se décomposer en deux parties séparées par l'instant de la plus grande compression. Dans la première, le phénomène est le même que si les deux corps étaient dépourvus d'élasticité. Dans la seconde les corps reviennent à leur forme primitive, et il admet Cju'ils reçoivent une percussion égale à celle qui s'est développée à leur contact pendant la première partie du choc. Il est aisé d'établir que la force vive totale reprend sa valeur à la fin du choc, ce qui fournit une espèce de vérification de l'hypothèse de Poisson.

En i838, dans le Résumé des Leçons doniiées à l'Ecole des Ponts et Chaussées, Navier a remarcjué que, si l'on fait abstraction des vibrations communiquées par le choc aux molécules des deux corps, la force vive totale doit reprendre la même valeur. Cette remarque lui a permis d'obtenir la percussion totale qui se produit au contact des corps, et par conséquent de donner la solution complète de la cjuestion.

En 1874, M. Resal a adopté la marche proposée par Navier, dans une Note importante qui figure aux Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences (t. LXXVIII).

Toutes ces dilïérentes solutions sont analytiques; elles reposent sur la considération de treize équations du premier degré et ne

laissent pas voir la sigiiilication groinétriquo trôs simples dos résultats. Je me suis proposé, en 18745 ^^ donner une solution purement géométrique de cette question, et je vais indiquer ici les résultats que j'ai obtenus.

Soient (M), (M') deux corps solides se choquant en un point A. L'effet du clioe peut se représenter par deux percussions égales et contraires, dirigées suivant la normale en A aux deux surfaces en contact, l'une fJSdt appliquée au corps (M), l'autre — fiSdt appliquée au corps (M'). Soient Wq, iv les composantes suivant la normale au point de choc de la vitesse initiale et de la vitesse finale du point de (M) qui se trouve en A, et soient -îv'q, w' les mêmes quantités relatives au corps (M')-

Si nous appliquons successivement le théorème VI aux deux corps (M), (M'), nous aurons

i 2m ( mi>^ — mul ) = ( iv -f- w, ) / N^^ i 2jr ( >m>^ - nwl ] = -{ »'' + <v', ) / ^dt,

2ji, 2ji, désignant les forces vives des corps (M), (M') respectivement. 11 est à remarquer que ces équations, qui ont évidemment iieu pour des corps libres, sont encore vraies si les corps ont des points fixes ou sont assujettis à d'autres liaisons, car nous avons vu que les percussions de liaison ne peuvent introduire aucun terme dans les seconds membres des équations générales (i4) ^t (i5), et les formules (17) ne sont que l'application particulière de l'équation (i4)-

En ajoutant les deux équations précédentes, on aura, pour la variation totale de la force vive, la formule

(18) 1 me'- — 1 m^l = ( w — «>' + „'„ — »■; )/ N dt,

qui va nous donner la solution complète de la question.

Supposons d'abord que les corps soient parfaitement élastiques et que la perte de force vive doive être nulle ^ il faudra que l'on ait

(19) „. cv'=— (n'o— «/J.

Donc, l'elYct du choc dans le cas des corps parfaitement élastiques est de changer de signe la composante normale de la vitesse relative des deux points de choc sans changer la grandeur de cette D. 2

composante. Tel est le résultat très simple auquel conduit immédiatement notre tliéorie.

Cela posé, décomposons leclioc en deux parties par la condition que les intégrales f^dt relatives à ces deux parties soient égales. Les percussions imprimées aux corps solides dans les deux parties du choc ainsi divisé ont par hypothèse même grandeur, et elles agissent suivant la même droite. Donc, d'après les règles connues de l'effet des percussions, les vitesses gagnées par les points de l'un quelconque des solides sont les mêmes en grandeur et en direction pour ces deux parties du choc. Cette remarque permet de déterminer les composantes normales des vitesses des points des deux corps placés en A à la lin de la première partie du choc, car soit H la composante normale de la vitesse du point de choc de (M);

on devra avoir

équation qui exprime que la composante normale de la vitesse varie de la même quantité dans les deux parties du choc. Donc

Si u' désigne la quantité analogue à u pour le corps (M'), on aura de même

Si l'on tient compte de l'équation (19), on aura

Ainsi, quand l'intégrale J'N dt a acquis la moitié de sa valeur définitive, les vitesses normales des deux points de choc sont égales. Si le choc cessait à cet instant, on serait dans le cas des corps mous. Donc, si, dans le cas des corps parfaitement élastiques, on sépare le choc en deux parties par l'instant oit les vitesses normales des deux points de choc sont égales, les percussions relatives à ces deux parties du choc sont égales. En d'autres termes, la percussion dans le cas des corps élastiques est double de celle qui se produit quand les corps sont mous. C'est le point que l'on admettait dans la théorie de Poisson.

Dans le cas des corps mous, Je tliéorèmc VJI trouve son application immédiate 5 les points en contact ayant la même vitesse normale dans les deux corps après le choc, les travaux des deux percussions, tels qu'ils doivent être évalués dans cette proposition, sont égaux et de signes contraires. On voit donc que, dans ce cas, la force vive perdue est égale à la force vive due aux vitesses j)erdues. C'est le théorème bien connu de Carnot, théorème qui n'a d'ailleurs d autre avantage que de montrer qu'il y a perte de force vive, sans apprendre à en mesurer la grandeur.

Pour étudier le choc d'une manière plus complète et comprendre tous les cas, nous allons chercher les formules qui relient les vitesses çv, -îv', à un instant quelconque du choc, à la percussion qui s'est produite jusqu'à cet instant, et, en faisant ensuite les hypothèses particulières, nous retrouverons tous les cas.

Désignons par /t., [j! les paramètres de la normale au point de choc par rapport aux corps (M), (M') respectivement. La percussion f^dt appliquée au corps (M) donnera au point de choc la vitesse normale

(■20) Wz=iVf^-^- f^dty

résultante de la vitesse initiale -Wq et de celle qu'imprimerait la percussion au corps partant du repos. De même la percussion — fNdt appliquée au corps (M') donnera au point de choc de ce corps la vitesse normale

(-21) w'=w'^ -, f^dt.

Les équations précédentes nous conduisent aux deux suivantes :

(22) pi «' H- p' ( V ' = fA (ï'(, + p.' M''q

et

Litroduisons les vitesses relatives

W = (f — cv' , Wy = w^ — a'\ .

— >0 L'équalion précédente s'écrira

Si nous substituons la valeur de flSdt dans la formule (i8), nous aurons

W' — ^Nl

24) }iinv^ — ^mvl

Quant à la variation de force vive pour cliaque corps, elle sera donnée par les formules (17), qui deviennent

Ces formules ne diffèj^ent en rien de celles qui seraienl relatives au choc de deux sphères de masses [j.^ u'. Il est donc inutile de les discuter en détail. On obtiendra le choc des corps mous en faisant W = o et celui des corps élastiques en posant W= — Wq.

Cela nous conduit à dire un mot d'une liypotlièse bien connue de Newton, relative aux corps imparfaitement élastiques. Newton admet que pour ces corps le clioc sera terminé quand on aura

W = — eWo,

e étant une fraction positive qui dépend de la nature des deux corps. On voit cjue cette hypothèse comprend comme cas extrêmes celles qui répondent au choc des corps mous (e= o) et au choc des corps parfaitement élastiques (e = i). Il est aisé de reconnaître {[uelle sera la perte de force vive. Si nous nous reportons h la formule (24), nous trouvons pour l'expression de cette perte

On peut donc caractériser l'iiypotlièse de Newton en disant qu'e//e conduit à une perte de force viue qui est une fraction déterminée, (i — e-), et toujours la même, de celle qui se produit dans le choc des corps mous ( ^ ).