EL
dxi
àf dx„,^
do .
Si nous calculons de même les dérivées d'une autre fonction c;, , de degré pi.| par rapport aux variables y?/, et que Ton substitue toutes ces dérivées dans le symbole ('^cp, ), on aura
[//<] désignant l'expression
f àf
EL
dx
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de fonctions liojuogènes de degré zéro ; on aura [ji. = [Xj = o,
Pm
Si maintenant on opère de même avec les variables Z, Q/, X/i, et si l'on applique la seconde équation (i;;), on aura
les lettres :r, Z placées en indice indiquant le système de variables avec lequel on forme le crochet. Nous pouvons donc écrire
Si nous appliquons cette équation à toutes les fonctions Z, X,-, Q/, nous en conclurons
On a donc, en changeant les notations, la proposition suivante :
Considérons im + i fonctions Z, X/, V^, satisfaisant à U identité différen tielle
(:?7) dZ — Pic/Xi— . . . — P„, c/X,„r=p(r/^— /?i(^6ri — . . .— p,„dx,n):,
ces fonctions sont nécessairement indépendantes. Elles satisfont en outre aux relations
i [ZX,]=:o, [X,X,]=o,
( [ZP;,]+pP,.=-0.
Réciprocjuenient, toutes les fois que l'on aura k fonctions indépendantes Z, X, , . . . , X/f„, , donf. les crochets seront tous nuls, on pourra leur adjoindre cV autres fonctions telles cjue l'identité [l'-j) soit satisfaite.
Il est essentiel d'ajouter aux équcitions ('-^-8) les relations suivantes, que l'on obtient en appliquant la formule de M. Mayer à trois des fonctions Z, X,, P/f
Ces formules, qu'on pourrait démontrer directement, doivent être
jointes aux équations (aH), si l'on veut avoir l'équivalent des relations (18) relatives aux fonctions satisfaisant à l'identité (lO).
Signalons encore un cas particulier de la proposition précédente: On peut satisfaire à l'équation (2^) en prenant arbitrairement Z, et alors p devra satisfaire uniquement à la première des équations (29).
Supposons maintenant /? impair et égal à 2m + i. Le déterminant A = Sa), ... a„n sera nul; mais, si nous nous bornons au cas général, tous ses mineurs du premier ordre ne seront pas nuls. Tant que l'invariant R, défini par la formule
«Il
a ni
^^nti
ne sera pas nul, 0,/ appartiendra au type iadéterminé, et sa forme réduite pourra s'écrire
ClZ — pi ClJC^ — . , . p m W>37„j.
Nous considérons les deux invariants suivants. Le symbole (co) sera défini par la formule
dj-'i
- 6?cp )
a\ti
O-iui
djp,,
ÔJCi
dx,.
et le symbole [^«l»] par la relation
dAj
D'après les propriétés des déterminants symétriques gauches, tous ces invariants sont rationnels.
— 3S - Si on les calcule sur la forme réduite, on trouvei-a
dp y
N^ous prendrons
Il suffira, quand on prendra les racines carrées dans la formule (3i), de choisir le signe du second membre de telle manière que
l'invariant absolu (cp) se réduise à -^> lorsqu'on le calculera sur la
forme réduite.
L'invariant R appartient à la classe de ceux que nous avons considérés à la fin de l'article VIII, et il est aisé de reconnaître qu'il se reproduira multiplié parp"+', quand on multipliera la forme 0^ par une fonction quelconqvie p. Donc p0rf appartiendra, quelle que soit p, au type le plus général. Considérons en particulier une forme normale de 0^. Nous aurons le théorème suivant :
Quelle que soit la fonction p des variables ^, xi^ph-, il est possible de trouver des fonctions Z, X,-, P^ satisfaisant à V identité
dZ — P,dX,—... — P,„ dX, déjà considérée.
p{dz—p^dxi — ... — />,„ dx„, )
Les expressions (33) permettent de développer une méthode d'intégration toute semblable à celle que Clebsch a employée dans le cas d'un nombre pair de variables. J'utiliserai seulement leurs propriétés d'invariance pour étudier encore ici les relations entre deux formes réduites différentes.
Je dis d'abord que, toutes les fois que l'on a
les variables Z, X/, Pyt sont indépendantes. Celte proposilion se démontre comme dans le cas précédent.
Considérons maintenant deux formes réduites dilTérentes «loiinant naissance à l'identité
( 34 ) dz — />, clxy—...- p,„ dx„^ — r/Z — P, r/X, — . . . — \\„ d\,„,
et remarquons que l'on aura, en appliquant les propriétés d'invariance des symboles (cp), ['-2']^],
(35) ] dz dZ'
( [cp.J.],r=[c,J>],.
La première équation appliquée à Z nous donne
dZ
et par conséquent
Q ne dépendant que des variables xi^pk- La même équation, appliquée aux fonctions X,, P/f, nous montre o^^ elles sont indépendantes de z. Si donc on remplace Z par sa valeur dans l'identité (34), elle devient
(36) dn = ?! f/X, + . . . + P„, dX,„ —pi d.r^ —.. . -~p„, d.r,„,
et z est complètement éliminée.
Réciproquement, de toute égalité de la forme (36) on peut revenir à l'égalité (34) en remplaçant H par Z — z. Ces deux égalités doivent donc être considérées comme absolument équivalentes.
Appliquons la seconde des formules (35) aux fonctions Z, X/, P^j nous aurons
Nous sommes ainsi conduits à la proposition suivante :
Lorsque 2?n -^i fonctions X/, Py;, H des vcniables X/, pi, salis-
font à une équation de la forme
( 38 ) f/ll rr: P, </Xi -H . , . + P,„ <:/X,„ — />, clx ^ —.. . — />„, cljC,,, ,
les fonctions X,, Py^ ao/i^ indépendantes , et, jointes à la fonction W, elles satisfont aux /'dations (^y).
Je vais maintenant terminer en démontrant que, si /• fonctions indépendantes X, , . . . , X^ des variables Xi, p^ satisfont aux équations
on peut leur adjoindre des fonctions qui permettent de satisfaire à l'équation (38), ou, ce qui est la même chose, nous l'avons démontré, à l'équation (34).
La démonstration étant semblable à celle qui a été développée à l'article X, je me contenterai de l'indiquer.
Considérons d'abord le cas d'une seule fonction X, et déterminons une fonction F, des variables ^/,/?a par l'équation
(P.XO = i;
il est aisé de voir que, si l'on considère la forme
Urf := rf^ — /»i dx^ —.. . —p„i dx,n + Pi </X, ,
les équations de Pfaff relatives à cette forme et comprises dans l'équation unique
0 Uf/ — d\]^ -=. o
sont indéterminées. D'ailleurs, par suite delà présence de la différentielle dz^ Urf ne peut appartenir qu'au type indéterminé. On aura donc nécessairement
U,, rrz f/Z - P^ ^X, - ... - P,„ f/X,„ ,
et par conséquent
dz — />, dx^ —.. . — p,n dx,n = ^Z — Pj r/X, — ... — P,„r/X,„, ou encore
dW = P, f/Xj -I- . . . -H V„i dX„, — p\ dXi — ... — p,n djc,n. ,
Le théorème est donc démontré pour le cas d'une seule fonction.
Quand il y en aura plusieurs, il snCHra de ré[)étcr, presque textuellement, les démonstrations de l'article X. Nous nous dispenserons de les reproduire.
Nous avons fait maintenant connaître les trois propositions de M. Lie relatives aux identités
/>! d^i + . . . 4- p,,, (Lr,„ — Pj r/X i + . . . + P,„ dX,„ , p{dz—pidj^i—. . . — Piud-r,,,) t=c/Z — P,r/Xi— . . . — P„j«:/X,„, /?i dx\ + . . . -\- p,n dx„i ■=. Pi c/Xi + . . . -h P„j cDi„i + du.
Comme elles ont de nombreuses applications, nous avons voulu les démontrer par les procédés les plus élémentaires. La seule proposition que nous ayons empruntée à la théorie des équations aux dérivées partielles est la suivante: Toute équation du premier ordre admet au moins une solution. Et même celte proposition est démontrée par les raisonnements donnés à l'article VIL
Nous ferons remarquer que la proposition de l'article X, à savoir, que l'on peut satisfaire à l'équation
p ( dz — />, dx^ — ... — p„i dx„i ) = r/Z — Pj t/Xj — ... — P,„ dx,n
en prenant pour Z une fonction quelconque, offre un moyen, différent de celui de l'article Vil, de rattacher la théorie des équations aux dérivées partielles à la solution du problème de PfafL Car, si
est l'équation à intégrer, on pourra se proposer de ramener l'expression différentielle à un nombre impair de variables
à la forme
dz —pi dxi — . . . —p,n dx,„ {dZ~l\dX,--...-P„,dx„,),
P et, ce problème une fois résolu, les équations
Al ^= di, . . . , A„; ^=:: Li„;
donneront une intégrale complète de la proposée. A la vérité, ce
moyen paraît moins direct que celui de l'article VII, et il semble qu'il augmente la difficulté du problème, puisqu'il conduit à la solution, non seulement de l'équation
mais aussi de
Mais il est aisé, comme on sait, d'introduire une constante dans une équation aux dérivées partielles. Par exemple, on remplacera Xi par a^/ + C, z par ^ + C ou ^ -f- Gyt x/( ; et en résolvant par rapport à cette constante, on fera disparaître l'objection que nous ve-
nons de signaler.
Paris. Imprimerio de GAUTIIIER-VILLARS, quai des Augustins, 55.
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