XI

Clîn '

ÔJCi

do dx.

do Ô.Vn

Nous emploierons avec Glebsch le symbole (es) pour désigner le quotient

qui sera un invariant absolu.

Le second invariant que nous considérerons sera le suivant

et nous poserons

do 1

en sorte que (cp'i;) sera encore un invariant absolu.

Si l'on calcule les deux symboles (es), (ç'|) avec les variables de la forme réduite, on obtient sans difficulté, par quelques combinaisons de lig-nesou de colonnes.

(lO)

ir^)-

dp y

do d'^ do d'\> dp Y dxi d^\ dpx

do d'h

dpni àjc,.

do d'\'

dJC,n dpm

Les deux symboles que nous venons de définir sont des cas particuliers du suivant qui joue un rôle fondamental dans la théorie des équations aux dérivées partielles, qui s'applique à des fonctions de 2/?i H- I variables ^, xi^ p^^ et qui est défini par l'équation

d'\ (do do

d/rAà^r'^^''à?'~^

Ici nos fonctions ne dépendent pas de ^. On a donc

Mais il est clair que l'on a aussi

En vertu de cette remarque, les relations établies entre les symboles (cp), (cp4') par Clebsch peuvent toutes se déduire d'une équation générale donnée par M. ^idiycv [McUhematiscJieAnnalen, t, IX, p. 370). M. Mayer a montré que, si l'on considère trois fonctions cp, d/, -^ des im -{- i variables z^ Xi, /?^, on a

Si l'on applique cette relation à trois fonctions ne contenant pas z, on en déduit la relation de Jacobi

entre les symboles ('fi).

Si l'on pose y = z^ et si l'on suppose les fonctions o, h indépendantes de Zf on trouve de même

(15) (cp(^))-(^(cp))=(cp4.) + ((c.4,)).

Telles sont les deux relations qui servent de base à la méthode d'intégration de Clebsch.

Je vais faire une application des résultats qui précèdent à l'étude des relations entre deux réduites différentes d'une même forme. Considérons une expression différentielle 6^ et soit

P\ ClX^ -f- . . . -\- p iiiClX' jYi

une première forme réduite ; je dis d'abord que, toutes les fois que l'on pourra trouver m fonctions X) , . . . , X„j, donnant naissance à une identité de la forme

(16) p^dx^ + . . . +Pmdx,n = FidXi +...-+- P,ndXm,

le second membre de cette égalité sera une forme réduite nouvelle. Pour cela, il suffira de démontrer que les fonctions X,-, Pa- sont indépendantes, et cela est à peu près évident; car s'il y avait une ou plusieurs relations entre les variables X/, P;^, on pourrait, au

moyen de ces relations, exprimer quelques-unes de ces fonctions au moyen des autres, et par conséquent ramener

à une forme normale contenant moins de irn fonctions. On sait que cela est impossible et l'on peut conclure que, si m fonctions X,satisfont à l'équation (i6), le second membre de cette équation sera certainement une nouvelle forme réduite de %d- En d'autres termes, les fonctions X/, P^f seront indépendantes.

Gela posé, les deux symboles (cp), (o'i), étant des invariants absolus, conserveront la même valeur quand on les formera en considérant cp, tj;, soit comme des fonctions de X,, P/^, soit comme des fonctions de Xi^ p^.

On aura donc

s;^ d^ d^ d<\ d^S^ do d^ do d^ Zu'àpi dxi dpi ôxi~ Zj àPi dXi ^X^- dPj

Appliquant ces équations générales aux fonctions X/, P^^ ellesmêmes, nous obtenons sans difficulté les équations suivantes

INous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si m fonctions X,- des im. variables xi^ p^ satisfont à une identité différentielle de la forme

Pi <:/Xi + . . . -t- P,„ d\„^ =: pi dxi + . . . + p,n dx,„ ,

les im fonctions X/ V h sont indépendantes et elles satisfont aux relations

(P,) = Pn (X,)=^0,

Les deux premières équations expriment queP/ est une fonction homogène de degré i et X,- une fonction homogène de degré o des variables pj^. C'est ce que mettent en évidence les équations

finies données par Clebsch, qui permettent de passer d'une forme normale à toute autre. Je ne reviens pas sur ce point, rpii est bien connu.

Je vais maintenant établir une proposition fondamentale et dont M. Lie a fait le plus heureux usage dans sa théorie des groupes : Si l'on a A fonctions indépendantes^i, X2, . • ., H/cSalisfaisanl

aux équations .

il sera possible de trou^'er une forme normale dont feront partie les k fonctions

V^dXy 4- ... 4- VkdX,, + P/,+, d\,,+, + P„, f/X,„ = />! dx^ 4- . , . 4- Pni dx,„.

Je commencerai par démontrer cette proposition dans le cas où l'on a une seule fonction Xj. Alors, je détermine une fonction Pj par les deux équations

(19) (Pi)=:Pl, (PiXO=:i.

Il est aisé de voir que ces équations ne sont pas incompatibles. La première nous montre que l'on aura

^ 1 — Pi? 1 -^IJ • • • ? -^m, — ' • • • ' ■ )'

\ Pi Pi /

et, si nous nous rappelons qu'en vertu de l'équation

(Xi) = o,

à laquelle satisfait Xj, cette fonction est homogène de degré zéro par rapport aux variables/»/, nous reconnaîtrons sans difficulté que l'équation

(PiX,) = i

se réduit à une relation entre les dérivées de cp et les variables

:r/, — dont elle dépend. Ainsi, il est toujours possible, et d'une

Pi infinité de manières, de déterminer une fonction Pj satisfaisant

aux deux équations (19). H suffira de prendre une intégrale d'une

équation linéaire à 2 w — 1 variables indépendantes.

Supposons donc P| déterminé. Considérant la forme

Urf = /»! <f/^i + . . . + p„i clx,n — Pi (iXi ,

nous allons faire voir qu'elle appartient au type

ce qui démontrera la proposition que nous avons en vue.

Pour cela, j'écris le système des équations différentielles de Pfaif, relatif à cette forme U^/. On a

oUf/ — <iUs= op^dx^ — dp lOXi H-. . . + dP^oXi — dXioP^,

ce qui permet de former les équations différentielles cherchées sous la forme suivante

àpi opi dpi

Je vais démontrer que ces ini équations, peuvent être vérifiées sans que l'on fasse A = o et que deux d'entre elles sont la conséquence des autres. Introduisons les inconnues auxiliaires f/X( , c/Pj en fonction desquelles les différentielles t/jCy, dpi se déterminent; et essayons de déterminer <iX , , é/P, en portant les valeurs de dxi, dpk dans les expressions développées de t/X), f/Pi,

nous obtiendrons ainsi les deux équations

[(PiXi) — i](f/Pi + W^dt) — \dtl{V^) — Pi],

[(PlXi)— l]f/Xi==:Xc/^(Xi),

qui sont identiquement vérifiées. Donc les équations (21) peuvent être vérifiées sans qu'on fasse )v= o-, elles admettent une indéter-

mination du second degré, et par suite ]a lorme U,/ apparlienl an type (20), comme il fallait l'établir.

Il nous reste à démontrer d'une manière générale que, si l'on a A" fonctions indépendantes X,, . . . , X/f, satisfaisant aux équations

il sera possible de trouver une forme normale dont elles fassent partie. Puisque nous avons démontré le théorème pour une fonction, il suffit de prouver que, s'il est vrai pour A- — i fonctions X,, . . ., X;f i, il sera vrai pour une fonction de plus, V, sous la. condition que cette fonction V satisfasse aux équations

(22) (V)r=0, (VX,-) = 0,

et ne soit liée aux premières par aucune relation, indépendante des variables.

Soit

Pl«iXi+. . .-f- P^-if/X/,i + P/,<iX/, + .'. .-\-PridXn

une des formes normales dont font partie les A' — i fonctions X,, . . . , Xy!f i. Si l'on exprime V au moyen des variables X/, Py^, les équations ('ia) deviendront, en vertu des propriétés d'invariance des symboles (cp), (o'j'),

La fonction V est donc indépendante de P,, . . . , Pa i , mais elle ne l'est pas nécessairement de X,, . . ., Xy!f,. Faisons pour un instant ces dernières variables constantes. Comme, par hypothèse, la fonction V n'en dépend pas uniquement, elle demeure variable; et comme elle satisfait à la première des équations (23), on voit, d'après la proposition démontrée en premier lieu, que l'on pourra

ramener

PK/X,, + ... + P,„r/X„,,

à une forme normale

p^.rfv+ P',^,dx',^, +. . . + p;,,r/x;,,

qui contiendra V. Mais on a regardé X,, . . ., Xa) comme con- D. 3

stantes; si on les rend variables, l'expression précédente s'augmentera de termes en c/X), . . ., <^X;f, et l'on aura, par conséquent,

+ P^.+^ <^X/,,. j + . . . + P',„ <iX;„+ Al (f Xj -h A2 «iXa H-. . . + A^.i ^X^.. .1 . Ainsi la forme normale primitive

Pi^Xi +. . . +P/,i^X/,i +-P^.c/X/, +. . . + P,ndX,„ se changera dans la suivante

(Pi + AO^Xi-h...+ (P,.. + A,-O^X,.i

+ p',,dY 4- P1-+, r/x^.+j + . . . + p;„^x;„,

qui contient bien les k fonctions

le théorème est donc démontré généralement.

En résumé, nous pouvons énoncer la proposition suivante :

Toutes les fois que Von aura des fonctions indépendantes X,, . . ., X;- des variables Xt, pj,, homogènes et de degré zéro par rapport aux variables /?/, et satisfaisant en outre aux

équations

(X„Xp) = o,

il sera possible de leur adjoindre ini — r autres fonctions donnant naissance à V identité différentielle

p^dxi -f-, . .-\-p,ndjc,n — P, dXy + . . . + P,„^X„,,

Le cas oà r^=^m n'est pas exclu. Les fonctions X„ P, seront toutes homogènes par rapport aux variables pi, les premières du degré o, les autres du degré i. Elles auront une forme cjuelconciue par rapport aux variables X^-.

Ce théorème important donne naissance, par un simple changement de notation, à une autre proposition fondanïentale que nous allons exposer.

On peut donner une forme nouvelle à Fidentité

(24 j p^ d.x\ H- . . . + Pnidx,n = Pi dX^ H- . . . + V,n dX,„.

Posons

Pi ^^—^ Pm(J il "^ m -— '•■!

Pj = P/kQo X/« ^= ^ — -'^1

Elle deviendra

Considérons une fonction o des variables x,-, y;,-, homogène et de degré [jl par rapport aux variables/»/. Elle prendra la forme

? — P^/nJyÇlJ • • ■ } Çni-lj ^ij • • • > ^m-l> ^)j

et l'on aura do

dp,

àqx

dp,

'^^'" dq,n-ï' dx,n-

= Pl