BB

Cette relation n'est pas satisfaite en général. Par suite, dans kl définition posée au commencement de cet article, on ne

nt; COURBES f.t de surfacks algfrriqci-.s. 97

pourra pas, en général, substituer aux segments fixes Ji3S segments donnant lieu aux mêmes propriétés. Mais il n'en sera

AAm

plus ainsi si — -P=i 1.

Interprétons d'abord cette condition. Elle signifie, en tenant compte des identités (79), que l'équation de la courbe est vérifiée par la valeur

c'est-à-dire que la courbe contient le cercle

uv =i k .

Ce cercle étant la projection stéréograpbique du cercle de l'infini sur la sphère, il résulte de là que, lorsque la condition (79) sora satisfaite, la courbe sphérique se décomposera et contiendra le cercle de l'infini; par suite, la somme des angles des triangles sphériques sera nulle. Donc,

Si l'on considère sur la sphère la coiirbe telle que la somme des angles, formés autour d'un quelconque de ses points M , des triangles sphériques ayant fous ce point pour sommet, et pour bases respectivement n segmmts fixes, soit constante, on ne pourra substituer à ces segments fixes d'autres segments donnant lieu aux mêmes propriétés que dans le cas où la somme constante des angles sera nulle ou égale à un multiple de r..

Par exemple, le lieu des foyers des coniques sphériques inscrites dans un quadrilatère formé de quatre grands cercles est tel que la diff'érence des angles sous lesquels on voit deux côtés opposés du quadrilatère sphérique est nulle. Cette courbe conservera les mêmes propriétés avec d'autres quadrilatères, c'est-à-dire sera le lieu des foyers des coniques sphériques inscrites dans toute une série de quadrilatères.

98 sur. UNE CLASSE ftliMARÔCABLK

Dos systèmes orthogonaux formés à ia surface de la sphère avec les courbes précédentes.

Il est clair que les propriétés démontrées au n" 55 pour les s^tèmes orthogonaux de courbes pianos s'étendent aux courbes sphériques, et nous pouvons énoncer les théorèmes suivants :

Quand des couibes sphériques sont telles que les produits de leurs distances à deux séries de pôles lixes

cons'ervent un rapport constant pour chaque courbe, elles sont coupées à angle droit par les courbes lieux des points M , puur lesquels les triangles sphériques MÂ'.-B', ont des aires dont la somme demeure constante pour chaque courbe, les points k'f , B',- étant diamétralement opposés aux points A, , B, .

Quand des courbes sphériques sont telles que les produits de leurs distances à deux séries de diamètres fixes

consen'ent un rapport constant pour chaque courbe, elles sont coupées à angle droit par les courbes sphériques lieux des points M pour lesquels les angles formés par les arcs de grand cercle MA., ME, conservent une somme qui demeure constante pour chaque courbe.

Enfin on peut citer le théorème suivant, énoncé par M. Michael Roberts (i) ;

(') Journal de Liouvillf, t. X, l^e série, p. 25 1 . « Note sur doux systèmes i,'énéraux de tmjoctoiret» orll)Ogoi\ales. » Le système considéré par M. Jloberts revient éviilcmmenL à celui que nous ilounoiis Jans le texto.

Di: couiinKS et ue .sirfacrs algébriques. 99

Quand des courbes sphériqiies sont telles qu'il y ait un rapport constant pour chacune d'elles entre le produit des distances d'un de leurs points à n pôles A, , A^ , ... , A„ et le produit des distances aux n pôles diamétralement opposés A', , A'j , ... , A„ , elles sont coupées à angle droit par les courbes telles que la somme des angles MA^A. , MA5A3 , ... soit constante.

On peut signaler, par exemple, le cas particulier suivant du 2^ système général :

Tous les cônes tels qu'il y ait un rapport constant entre les distances de leurs points à deux diamètres fixes A , E coupent la sphère suivant une suite de coniques sphériques circonscrites à un quadrilatère rectiligne imaginaire de la sphère. Ces coniques sont coupées à angle droit par les courbes lieux des points M , pour lesquels les grands cercles M /S. Pt M E font un angle constant.

La courbe que nous rencontrons ici, et qui est le lieu des sommets des angles constants dont les côtés passent par deux points lixes de la sphère, appartient, comme on voit, à la classe des cycliques. C'est une courbe du ¥ ordre, bicylindrique , transformée par rayons vecteurs réciproques d'une ellipse de Cassini.

Démonstrations nouvelles des théoràmes de Poncelet, relatifs aux polygones inscrits et circonscrits aux conipes, déduites des principes précédents.

Les propositions qui précèdent nous conduisent d'une manière directe à une démonstration des théorèmes de Poncelet, qui paraît se distinguer de toutes les démonstrations connues, et que, poui" ce motif, nous allons développer ici.

Soient un cône du second degré (H), et un angle polyèdre inscrit de même sommet, formé d'une suite de plans P^, P^ . ... , P„ .

100 SLR UNE CLASSR RRMARQLABLF

On reconnaît sans difficulté que tous les points du cône satisferont à une équation de la forme

m fH-|' + -.. + i"=o.

H suffit de remarquer que cette équation est connue pour Tangle trièdre, qu'on la démontrera pour un angle tétraèdre en le décomposant en deux trièdres, en écrivant les équations relatives à ces deux trièdres, et éliminant par addition la face commune, etc.

Cela posé, supposons que les plans P, , P, , ... , P„, qui se coupent au sommet A du cône (H) , soient tous tangents à une sphère (S) ; il est clair que l'angle polyèdre inscrit dans le cône sera en même temps circonscrit au cône (H,) de sommet A , circonscrit lui-même à la sphère (S) . Pour établir le théorème de Poncelet, il suffira de prouver que, s'il existe un tel angle polyèdre, inscrit à (H), circonscrit à (H,), il y en a une infinité d'autres satisfaisant aux mêmes conditions.

A cet effet, cherchons l'équation de la courbe de section du cône (H; et de la sphère (S) . D'après les pi-incipes développés dans la Deuxième Partie, il faudra remplacer dans l'équation (80) les quantités P, , qui représentent les distances à un plan tangent, par R,% Pi, désignant la distance d'un point de la courbe au point de contact du plan tangent P.. L'équation

conviendra donc à tous les points de la courbe; elle ne sera pas l'équation de la courbe, et, de même que l'équation (80) représente, en même temps que le cône (H), un cône de degré n — 2, l'équation (81) représentera, en même temps que l'intersection de la sphère et de (H), une courbe de degré 2(n — 2). Quoi qu'il en soit, l'équation (81) convient à tous les points de la courbe, et les pôles A, , A, , ... , A„ sont tous sur le petit cercle, intersection de la sphère et du plan polaire du sommet A du cône.

Réciproquement, si nous pouvons trouver une équation semblable à Téquation (81), les nouveaux pôles étant sur le même petit cercle, en remplaçant les nouvelles quantités R,' par P. , nous aurons une équation analogue à (80) , qui devra représenter un cône identique au premier, puisqu'il a même sommet et- même base sphérique. On pourra donc trouver une infinité d'équations de la forme (80) , satisfaites pour tous les points du cône (H), c'est-à-dire une infinité d'angles polyèdres inscrits à (H) et circonscrits à (H,). Nous sommes donc ramenés à la démonstration de la proposition suivante :

Quand une courbe sphérique est définie par l'équation (81), où les quantités Rf désignent des distances rectilignes à des pôles fixes situés sur un petit cercle, son équation conserve la même forme avec d'autres systèmes de pôles fixes situés sur le même petit cercle.

Comme l'équation (81) ne change pas de forme après une transformation par rayons vecteurs réciproques, on peut faire la projection stéréographique, en prenant le point de vue en un point quelconque du petit cercle qui contient les pôles, et nous n'aurons plus qu'à démontrer le théorème suivant :

Si une courbe plane est définie par l'équation (81), où les quantités R, désignent des distances à des pôles fixes situés en ligne droite, elle conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes de pôles fixes situés sur la même ligne droite que les premiers.

Or, celte dernière proposition peut se démontrer comme il suit :

Prenons la ligne des pôles pour axe des x; on aura

où a, désigne une quantité réelle, abscisse du pôle de rangi, et, par suite, l'équation (81) prendra la forme

i02 SLH UNE CLASSE HKilAHMllABLE

OU, en multipliant pai' u—c.

Dans cette équation, /'(a) est de degré inférieur à ^{tt), et le polynôme 9 (m) a ses racines réelles. Mais toutes ces propriétés pourront être consejvées, si Ton écrit cette équation sous la forme

^ r (tt) -»- X fin) — ^{v)^-i f{v)

En décomposant les deux membres en fractions simples, on reviendra à une équation de même forme que Téquation (81), mais avec de no uieauv pâles ; c. q. f. d.

11 ne sera pas inutile de développer une autre démonstration des théorèmes de Poncelet, bien que cette démonstration ne s'applique qu'aux polygones de degré pair, parce qu'elle nojus mettra sur la voie de propositions un peu plus générales que les théorèmes connus.

Si un angle polyèdre d'un nombre pair de faces est inscrit dans un cône (H) et circonscrit au cône (H,), tous les points du cône (H) satisferont à une équation de la forme

P,P. ••• P.= 0>Q. ... Qn..

où les plans P, , Q. sont tangents à la sphère, et par suite la

cyclique, section de la sphère par le cône (H,), satisfera à

réquation

(84) R,R, ... Rn — K. r,r, . . . r„ .

D'une manière plus précise, cette équation représentera à la fois la cyclique située sur (H,) et une courbe d'ordre 2w — A, On a vu (railleurs que, lorsqu'une courbe satisfait à une telle équation, elle conserve la même définition avec une infinité d'auh'et> systèiues do pôles. Prenons un autre de tes

UE OOUKCES ET DE SL'RFACSS ALCJ"' DfilQlJE.S. 103

systèmes, formé de pôles réels. La nouvelle équation de iiotie courbe composée sera

et, si l'on remplace les quantités R'.- , r',- par P',- , Q'.. , qui désignent les distances d'un point quelconque aux plans tangents de la sphère en R',- , r\ , F équation

(80) P, P', ... Pn^ft.Q'.Q', ... Q'.

représentera une surface d'ordre w , qui coupera la sphère suivant la courbe complète représentée par les équations (84) ou (85). Je dis que cette surface d'ordre n se décompose dans tous les cas en une surface du second ordre contenant la cyclique située sur (H.; et en une autre surface d'ordre .n-2(^;.

En effet, le plan P', coupe la surface suivant n droites, situées dans les plans Q'. , et qui contiennent chacune deux points de la courbe sphérique; comme d'ailleurs ce plan P'^est tangent à la sphère, il coupe la courbe complète (84) en ilu points imaginaires, dont quatre appartiennent à la cyclique. Appelons ces points

«■ . «. , P, ,?, r . • ■ ,. Pn-î ,

les points a, ,a, ,a\ , a', appartenant ii la cyclique, tes "2(w — 2) autres au reste de la courbe. Les droites réelles joignant les points du premier groupe à ceux du second sont évidenmient a, a',, a,a', , etc., car les quatre points de la cyclique sont imaginaires conjugués deux à deux. D'ailleurs ces n droites réelles sont évidemment les « droites Je ia a-urîact t,80), situées

(*) Cette surface d'ordre n — '2 se dôcouiposc eii n-iUle en surfaces du second degré, si n est pair; en surfaces du second 'kgré et en lu plan, si n est inijiaii-. Main cette proposition, qui est une cousequence très simple du théorème principal , ne joue aucun rôle dans la déuianstraliou quo nous donnons ici.

104 SUU UNE CLASSF. RKM AKQLABl-E

dans le plan P',-. Nous allons déduire de cette remarque la démonstration de la proposition que nous avons en vue.

Puisque chacun des plans P'. , Q', contient deux droites s'appuyant sur la cyclique, toutes ces droites, en nombre 2n , appartiennent évidemment à Tune des surfaces du second degré contenant la cyclique. Cette surface du second degré, coupant la surface (86) à la fois suivant 2n droites et suivant la cyclique, devra faire partie tout entière de celte surface d'ordre n. La proposition est donc démontrée.

D'ailleurs, étant donnée une quelconque des surfaces du second degré passant par la cyclique, cette surface est obtenue avec une infinité de systèmes de pôles; car il suffit de mener par une des génératrices de la surface deux plans tangents à la sphère. Les points de contact de ces plans tangents sont deux pôles appartenant à un même système et à deux séries différentes. On pourra donc énoncer le théorème suivant :

Étant donné un cône, si on peut lui inscrire un angle polyèdre de n faces circonscrit à la sphère, on pourra de même mener à la sphère une infinité de systèmes de n plans tangents, se coupant, dans un ordre déterminé, suivant les génératrices d'une surface du second degré passant par Pintersection de la sphère et du cône. La surface du second degré est une quelconque de celles qui contiennent la cyclique, et pour chacune d'elles, il y a une infinité de systèmes de n plans.

Transformons par la méthode des polaires réciproques.

Si l'on peut circonscrire à une conique (C) un polygone inscrit dans une quadrique {k) , non seulement on pourra construire une infinité de polygones ayant les mêmes propriétés, mais de plus, dans la conrbe d'intersection de la surface (A) et de toute autre quadriqno, (A') inscrite dans la développable IXcl , on pourra inscrire un« infinité de polygones formés des génératrices rectilignes de (A) .

Le théorème paraîtra plus simple, si nous en faisons encore une transformation par rhomos:raphie.

Si dans une ligne de courbure d'nn ellipsoïde on peut inscrire

DK COL'RRES ET DE SUIKACES ALGÉBRIQUES. 105

un polygone de n côtés, formé avec les génératrices rectilignes de rhyperboloïde homo focal contenant cette ligne de courbure^ on pourra inscrire une infinité de polygones semblables, formés avec hs génératrices des hyperboloïdes homofocaux, non seulement dans la même ligne de courbure, mais encore dans toutes les autres lignes de courbure (*).

Pour les sections principales, ces polygones seront circonscrits à la focale et inscrits dans la section principale. Il en passera un par chaque point de toute ligne de courbure.

Les théorèmes que nous venons d'énoncer comprennent deux parties distinctes.

i° Si Ton peut inscrire dans la courbe d'intersection de deux surfaces (A) , (A') un polygone formé des génératrices rectilignes de (A'), on pourra en inscrire une infinité d'autres formés de la même manière. Cette première proposition, comme M. Moutard en a fait le premier la remarque en 1864 {Nouvelles Annales de Mathématiques), est au fond le théorème de Poncelet ; elle s'en déduit par une simple perspective.

2" La même propriété subsiste, quand on substitue à (A') toute surface (A") inscrite dans la développable |AA'[ . Cette proposition paraît nouvelle. Sa vérification analytique est extrêmement simple, et elle complète notre démonstration géométrique, qui ne s'appliquerait qu'aux polygones de degré pair.

Transformation des propositions précédentes par la méthode des figures supplémentaires.

Les théorèmes donnés dans cette partie pour les courbes sphériques se transforment immédiatement par la méthode

(') Ces polygones constituent des routes de lumière; leurs côtés adjacents viennent couper l'ellipsoïde sous des angles égaux.

4Ô6 S-:H une classe .iEMAHwi-ÂoivE

des figures sut-plcnientaires, et noius pouvons énoncer ies prûM •sitions suivantes.

Si une courbe sphérique est telle que la somme des périmètres des n triangles sphéri-ques interceptés par son arc tangent dans n angles fixes soit constante, elle conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes de n angles.

!Si une courbe ^phérique est telle que la somme des longueurs interceptées par son arc tangent sur n ai'cs de cercles fixes, à partir d'une origine fixe sur chaque arc, soit constante, elle conserve la même propriété avec une inimité d'autres systèmes d'arcs.

Si une courbe sphérique est telle que n angles interceptent sur son arc tangent des segments Jont la somme algébrique soit nulle, elle conserve la même i.ropriéte, quand on substitue aux premiers une infinité de nouveaux angles fixes convenablement choisis.

Ces propositions, sur lesquelles noQs n'insisterons pas, s'étendent évidemment aux courbes planes. Elles peuvent être considérées comme la généralisation de ce théorème : un cercle peut être considéré d'une infinité de manières comme Tenveioppe d'un arc de grand cercle interceptant dans un angle fixe un triangle sphérique de périmètre constant.

OUATRÎÊME PARTIE.

Étude analytique des surfaces eyciides.

Inlrodiietion.

Dans cette partie nous étudions les surfaces du 4^ ordre qui ont le cercle de Tinfini pour ligne double et les surfaces du 3® ordre qui contiennent ce cercle. Ces dernières surfaces se déduisent des précédentes au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques, et d'ailleurs, en leur adjoignant le plan de Tinfini, on forme une surface du A^ ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double. Nous désignerons toutes ces surfaces sous la dénomination de cydides, parce qu'elles contiennent dix séries de sections circulaires, et aussi parce qu'elles comprennent comme cas particulier la surface à lignes de courbure circulaii-es nommée cydide par M. Dupin. Nous réserverons par suite à cette dernière surface le nom de cydide de Dupin ou cycltde à lignes de courbure circulaires.

Ces surfaces ont été d'abord étudiées en 1864 par M. Moutard qui les a rencontrées en cherchant les surfaces anallagmatiqnes, c'est-à-dire qui demeurent invariables quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques convenablement choisie. Les cyclides sont donc les anallagmatiques les plus générales du 3* et du ^^ ordre. M. Moutard a même montré qu'elles possédaient cette propriété par rapport à cinq pôles différents; il a en outre étudié les cinq séries de sphères doublement tangentes, les sections circuiaires formant

dix séries distinctes, et reconnu l'existence de cinq focales, lieux des sphères de rayon nul doublement tangentes à la surface (*).

Les surfaces cyclides comprennent, comme cas particuliers» plusieurs surfaces remarquables : le tore, la cyclide de Dupin, les podaires de quadrique, les transformées par rayons vecteurs réciproques de quadriques , les surfaces de révolution engendrées par la rotation de Tellipse de Cassini, des ovales de Descartes, etc., autour de leur axe de symétrie. On les rencontre dans un grand nombre de problèmes. L'intérêt qu'elles présentent a été accru par la découverte, publiée à peu près simultanément par M. Moutard et par l'auteur, des lignes de courbure de ces surfaces. Les cyclides peuvent, en effet, faire partie d'un système triple orthogonal, tout à fait analogue à celui des quadriques homofocales.

Dans un travail présenté en 1866 comme thèse à la Faculté des Sciences de Paris et inséré dans les Annales scientifiques de r École Normale (même année), j'ai étudié ces cyclides orthogonales et le système des coordonnées curvilignes auxquelles elles donnent lieu. D'un autre côté, M. Laguerre, dans une série de notes présentées à la Société Philomathique, a ajouté plusieurs propriétés à celles qu'avait données M. Moutard, et fait connaître, le plus souvent sans démonstration, des propositions élégantes, se rapportant soit aux sections circulaires, soit aux dispositions relatives des focales et des sphères principales des cyclides.

Il est juste de rappeler ici, bien que cet historique soit loin d'être complet, que les cyclides du 3® et du 4* ordre ne sont que des transformées par l'homographie de la surface du 4^ ordre à conique double, que M. Kummer a étudiée le premier en 1863 (^), et dont il a reconnu les principales propriétés.

f j Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, 1864. — Bulletin de la Société Philomathique et Comptes rendus de l'Académie, même année.

(*) Kummer : Ueber die Flachen vierlen Gradée, aiif welchen Schaaren von Kegelschnillen Uegen. (Journal de Borchardt, t. LXIV, p. 66, année 1863.)

Depuis, différents géomètres, et en particulier M. Clebsch, ont consacré des Mémoires importants et développés à Téttide de cette surface du 4® ordre. Je citerai en particulier le Mémoire de M. Clebsch publié en 1868 (^). Dans ce travail se trouvent déterminées d'une manière complète les droites et les courbes les plus simples qu'on peut placer sur la surface.

Il est vrai qu'on peut, par une transformation homographique, déduire les propriétés des cyclides de celles de la surface du 4* ordre à conique double. Cependant l'étude directe des cyclides me paraît conserver de l'intérêt. Le choix particulier de la ligne double imprime un caractère remarquable de simplicité à l'étude de ces surfaces, et permet de découvrir des théorèmes dont l'énoncé serait trop compliqué ou peu intéressant quand la conique double est quelconque. Dans tous les cas, on pourra aussi étendre par l'homographie aux surfaces du 4* ordre à conique double et à la surface générale du 3° ordre les propositions trouvées dans la théorie des cyclides.

Nous commencerons par étudier les propriétés les plus élémentaires, et, en particulier, les sections circulaires, les focales, les cinq modes de génération des cyclides du i^ ordre.

Propriétés générales des cyclides.

Soit la surface du 4* ordre représentée par l'équation

(1) {x* -H y' 4- z'Y H 2ii, {X- + y^ + z'')-hu^ — 0 ,

où u^ désigne un polynôme homogène du premier degré, et u, un polynôme quelconque du second degré. Cette équation

l') Clebsch: Ueber die Fliiclieii vierler Ordiuiiig, welche aine Doppelcurve zweiien Grades bedilzen [Journal de Horchardl, t. LXIX, p. 355, aîince ia68).

iiO SUR UNE CLASSE RKMARQUABLF:

contient. Î3 ronstantes. Du reste, elle re[)réspnte la cycHde la plus générale du 4- ordre. On peut la mettre aussi sous ia forme

OÙ u, désigne encore un polynôme quelconque du second degré.

Puisque les cyclides ont le cercle de Tinfini pour ligne double, toute sphère lt;s coupera suivant une courbe du 4^ ordre, située sur une surface du second degré, c'est-à-dire suivant une cyclique. C'est d'ailleurs ce qui résulte de l'équation même de la surface. Car, si nous cherchons l'intersection de la cyclide avec la sphère dont l'équation est

l'équation (1) de la cyclide pourra être remplacée par la suivante,

qui représente une quadrique dont Tintcrsection avec la sphère sera la courbe cherchée.

L'équation de la surface met encore en évidence une série remarquable de quadriques inscrites dans la cyclide. Écrivons, en effet, l'équation (2) sous la forme

(a?* -f- v' + -- + «, + >•)' = U, 4- 2> (ît, -hx--h y^ -t- z"^) + a' .

Les surfaces (V) représentées par Téqualion

ofi l est une arbitraire quelconque, seront toutes tangentes à la cyclide en tous les points d'une courbe située sur la sphère

X* + y^ + z^ + Mj -(->. — 0 .

Le centre de cette sphère demeure fixe, quand / prend toutes les valeurs possibles.

Les quadriques (V), inscrites dans la cyclide, possèdent

DE COliRBES ET DE SURFACES ALOÉBRiOlJES. Mi

plusieurs propriétés i-emarquabies. D'abord , quand on connaîtra Tune d'elles (V), Véquation de la surface prendra la foruie

OÙ S = 0 représente une sphère de centre fixe.

En second lieu, elles sont homocyciiques, c est-à-dire, elles coupent toutes le cercle de l'infini aux mèn>es points. Ces quatre points, communs à toutes les quadriqucs, sont ceux où les deux nappes de la cyoîide, se croisant au cercle de l'infini, sont tangentes Tune à l'autre.

L'une des ({uadriques (V), correspondante à la valeur À-^co , se réduit à un plan double, le plan de T infini.

Toute quadrique inscrite à une des surfaces (V) coupe la cyclide suivant une courbe du 8' ordre, qui se décompose en deux cycliques. En effet, l'équation de la cyclide est

Toute quadrique inscrite à V a pour équation

On peut, en combinant cette équation avec celle de la cyclide, la remplacer par

équation qui représente deux sphères.

Réciproquement, toute quadrique coupant la cyclide suivant une courbe spbérique du 4" ordre sera tangente à l'une des quadriques (V). Car soit

{x- + y^ -h z'- -h îi,Y = U,

l'équation déjà donnée de la cyclide. Si on la coupe par la sphère dont féquation est

on trouve la quadrique

il2 Sl'ft UNE rLASSF, RF.MAKOl'AIiLE

qui eât inscrite à (U,). Or (Uj) est une ([ueîconque des quadriques que nous avons appelées (V).

II résulte des remarques précédentes quelques conséquences intéressantes.

En général, si l'on cherche l'intersection d'une droite a avec la cyciide, on a une équation du 4^ degré, ne présentant aucune propriété particulière, et dont la résolution complète exige la résulutioa préalable d'une équation cubique. Si la droite o , au contraire, est tangente à une des quadriques V, l'équation du 4^ degré qui détermine ses mtersections avec la cyciide se résout par de simples extractions de racines carrées; car par la droite d on peut faire passer une quadrique inscrite dans (V). Cette quadrique coupera la cyciide suivant deux courbes sphériques, et il n'y aura plus qu'à chercher l'intersection de 0 avec les sphères contenant ces deux courbes.

Il suit de là que, étant donnée une droite o , l'équation du 4* degré qui détermine ses points d'intersection avec la cyciide se résoudra complètement au moyen de l'équation cubique qui détOTmine les trois quadriques (V) tangentes à la droite o . Chaque racine de cette équation cubique donnera une décomposition de deux facteurs quadratiques de l'équation du 4^ degré.

Le théorème de géométrie suivant explique et met en lumière le fait analytique que nous venons de constater.

Si par deux points fixes a . a' d'une cyciide on fait passer une série de cercles coupant la cyciide en deux nouveaux points variables m , m' , les droiles mm' enveloppent une quadrique (V) inscrite dans la cyciide et tangente à la droite a a' . Cette quadrique demeure la même si aux deux points a , a' on substitue les points a" , a% oà la droite a a' coupe de nouveau la cyciide.

Ce théorème (dont la démonstration est une conséquence de l'art. 15) montre bien qu'à chaque décomposition des quatre points a , a', a", a' en deux groupes de deux correspond une des quadriques (V) tangentes à la droite a a'a'a'* D'ailleurs , si l'on connaît une de ces quadriques (V), il suffira de lui mener

DE COURBES ET DE SimFACES ALGÉBRIQUES. 113

une tangente rencontrant la droite aa'a"a'. Cette tangente coupera la cyclide en quatre points b , 6'; 6", 6", déterminés par couples. Les points a , a' seront sur un cercle passant par b , 6', et les points a", a" sur un cercle passant par 6", b" , Ces propriétés entraînent la décomposition en deux facteurs de l'équation du 4* degré qui détermine les points a , a\ a", a".

On peut généraliser le théorème précédent de la manière suivante :

Si par deux points a , a' de la cyclide on fait passer une sphère quelconque, la coupant suivant une cyclique, les sécantes doubles de cette cyclique qui rencontrent la droite a a' enveloppent une des quadriques (V) tangente à a a'.

Des sphères doublement tangentes aux cyclides.

On sait que, lorsque deux surfaces sont tangentes en un point, leur courbe d'intersection a pour point multiple, généralement pour point double, le point de contact. Il suit de là que toute sphère doublement tangente à la cyclide, la coupera suivant une cyclique à dcnx points doubles, c'est-à-dh'e suivant deux cercles. Réciproquement, toute sphère passant par un cercle de la surface, la coupera suivant un autre cercle, et par suite sera doublement tangente à la cyclide. La recherche des sections circulaires est donc comprise comme cas particulier dans celle des sphères doublement tangentes à la surface.

Nous prendrons pour point de départ l'équation (2), déjà donnée,

(iP* 4- y' + z' -h « J' = U, ,

et nous observerons qu'en changeant la direction des axes coordonnés de manière que les nouveaux axes soient parallèles aux axes de symétrie de la quadrique (U,), on peut faire disparaître les rectangles dans le polynôme U, . Puis, en déplaçant

les axes parallèlement à eux-mêmes, on pourra supprimer le polynôme v^ , et ramener l'équation de la cyclide à la forme simple

Coupons la surface par la sphère (T) dont l'équation est

F — kx -f- Sy + y ; + '">* ,

œ , ^ , 7, seront les coordonnées du centre de la sphère et la courbe d'intersection pourra otre représentée par les équations

( ?'+ Xx' + k'y' + A' z'-h^Cœ -h^C y -i-2C' z + J) = 0 ,

Si l'on demande que la sphère (T) coupe la cyclide suivant deux cercles, il faudra exprimer que, par Tintcrsection des deux quadriques (5), on peut faire passer un système de deux plans. A cet effet, multiplions la seconde ('M:[uation par 1 , retranchons-en la première, et exprimons que l'équation ainsi obtenuB représente deux plans.

Par un calcul qui ne présente aucune difficulté particulière, nous oblpjions les trois équations de condition suivantes,

,,__. Ck__ C'/3 C'y

La première de ces équations, dont nous avons désigné, polir abréger, le premier membre par L, ne contient que finconnue X, et elle détermine cinq valeurs pour cette inconnue. Il suit de là que les sphères doublement tangentes à la surface se partagent en cmq séries distinctes.

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIOUES. il5

Quand À est connu, la deuxième équation devient une relation entre a , ^ , /' . C'est donc, si Ton y regarde a , ^ , / comme variables, l'équation du lieu des centres des sphères doublement tangentes. Nous voyons que les sphères de chaque série ont leurs centres sur une quadrique, et la forme de Tcquation (7) nous montre que les cinq quadriques correspondantes aux cinq valeurs de >. sont homofocales,

Entin J'équation (8) fait connaître o*, c'est-à-dire le rayon de chacune des sphères doublement tangentes, quand le centre est déjà connu.

L'équation

q>f„ Qf'fl °>r''-j

/ — A / — A' À — A"" représente donc toute sphère doublement tangente à la cyclide, pourvu que 1 soit une racine de l'équation (6), et que a , p , y satisfassent à l'équation (7). Comme l'équation (9) contient a , p , 7 au premier degré, on voit que toutes les sphères doublement tangentes d'une même série auront même centre radical. Les coordonnées de ce centre sont

et sa

puissance commune

par

rapport

à toutes les sphères

pour

expression

L' désignant la dérivée de L par rapport à X .

La sphère décrite du centre radical comme centre avec ^ — L' pour rayon coupe donc à angles droits toutes les sphères doublement tangentes à la cyclidc faisant partie de la série considérée. L'équation de cette sphère est

/ — A ). — A X — A Remarquons, de plus, que le rayon \^ — L' ne sera nul que

si /. est une racine multiple de T équation (6). Dans ce cas particulier, toutes les sphères doublement tangentes à la cyclide faisant partie de la série considérée passeront par un point fixe, le centre radical déterminé par les équations (10).

L'équation (6) a, en général, cinq racines distinctes. Trois d'entre elles au moins sont réelles, et, si Ton suppose A , A' , A" rangés par ordre de grandeur croissante, on reconnaîtra, par les substitutions, que, dans les trois intervalles formés par A , A', A", H- <>:> , il y a au moins une et quelquefois trois racines de l'équation. Il ne peut donc se présenter que deux cas généraux distincts. L'équation en l aura toutes ses racines réelles, ou bien elle aura deux racines imaginaires.

11 résulte de ce qui précède la proposition suivante :

Une cyclide du 4* ordre peut, en général, être considérée de cinq manières différentes comme tenveloppe d'une série de sphères qui coupent à angles droits une sphère fixe, et dont les centres décrivent une quadrique fixe.

Chacun de ces cinq modes de génération est défini par une sphère (S), que nous appellerons, avec M. de !a Gournerie, sphère directrice, et par une quadrique (A), que nous appellerons mrface déférente.

lia cyclide est donc Fenveloppe des sphères ayant leur centre :-ui (A) et coupant (S) à angle droit. Ces sphères sont doublement tangentes à la cyclide, et la coupent suivant deux cercles réels ou imaginaires, se croisant aux deux points de contact de la sphère.

Réciproquement, Fenveloppe des sphères ayant leur centre sur une quadrique et coupant à angles droits une sphère fixe, est une cyclide. Cela résulte d'un calcul direct que nous omettons, et aussi de ceux qui précèdent. Car nous ne trouvons aucune relation particulière entre la quadrique (A) et la sphère (S), qui définissent chaque mode de génération des cyeHdes.

Les sphères doublement tangentes d'une même série demeurent invariables si on les transforme par rayons vecteurs

réciproques, en prenant pour pôle de transformation le centre, et pour module le rayon de la sphère directrice, qui est ainsi le lieu des points se correspondant à eux-mêmes. Puisque les sphères doublement tangentes demeurent invariables, il en sera de même de leur enveloppe, la cyclide. Celle-ci est donc anallagma tique suivant la définition de M. Moutard. Elle l'est d'ailleurs de cinq manières différentes, correspondantes aux cinq séries de sphères doublement tangentes.

Sans entrer dès à présent dans l'examen détaillé des relations entre les cinq modes de génération, il sera bon de rappeler que les cinq quadriques déférentes (A,) sont homofocalôs, et de remarquer que les cinq sphères directrices (S.) sont orthogonales.

Cette proposition se vérifie sans difficulté sur les équations précédentes, ainsi que la suivante : Étant donné un des modes de génération, défini par (S.) , (A,) , les centres des quatre autres sphères sont les sommets du tétraèdre conjugué à (S,) et à (A,) .

Des plans tangents doubles et des focales des oyelides.

Les plans tangents doubles peuvent être obtenus comme limites des sphères doublement tangentes. Les sphères d'une même série, étant assujetties à demeurer orthogonales à la sphère directrice (S), se transformeront, quand leur centre sera à Tinfîni, en des plans passant par le centre de (S). D'ailleurs, ces plans seront perpendiculaires aux directions asymptotiques de la déférente (A) . Les plans tangents doubles enveloppent donc un cône du second degré, ayant son sommet au centre de la sphère directrice (S) , et supplémentaire du cône asymptote de la quadrique (A) .

On a donc cinq séries de plans tangents doubles, tangents à cinq cônes du second degré, ayant pour sommets les centres des sphères directrices. Ces cônes, étant supplémentaires des cônes

H8 SLR UNE CLASSE HEMARQUABLE

asymptotes des cinq quadriques homofocales, sont homocycliques.

On peut d'ailleurs obtenir leurs équations, en les considérant comme des quadriques inscrites dans la cyclide. En effet, l'équation

■ (A x)x-' + (A' ->)y* + (A'— )-) -' + 2Ca^+ 2C'y + 2C"^ ^*^M +D->«=:0,

analogue à l'équation (3) , représente toute quadrique (Y) inscrite dans la cyclide. Cette quadrique sera un cône, si Ton a

C* C» C"^ ,^ ., ^ r H r- ^- rr, -h D — /- = 0 .

C'est l'équation déjà obtenue pour À .

On a donc cinq cônes inscrits, c'est-à-dire dont les plans tangents seront plans tangents doubles de la cyclide, et la couperont, par conséquent, suivant deux cercles. L'équation de la cyclide sera

^^'^^ ( +8Ca;4-8C'2/ + 8C';^4-4D— 4/^ = 0

Nous voyons, sur Tcquation (12), que le cône ne sera réel que si 1 est compris entre A et A", c'est-à-dire si la surface déférente correspondante est un des deux hyperboloïdes. Comme le premier membre de l'équation (12) est négatif, d'après l'équation (13), pour tous les points de la cyclide, cette surface sera tout entière à l'intérieur, ou tout entière à l'extérieur du cône doublement tangent. Si 1 est compris entre A et A', la déférente est un hyperboloïde à deux nappes; la cyclide est à l'intérieur du cône. Si 1 est compris entre A' et A", la déférente est un hyperboloïde à une nappe; la cyclide est à l'extérieur de son cône doublement tangent. Dans ce dernier cas, de tout point de la cyclide, on peut mener des plans tangents réels au cône. Les sections circulaires contenues dans ces plans seront réelles. 11 n'en sera pas de même dans les cas précédents. Donc

Les sections circulaires appartenant à un mode de génération ne sont réelles que si la de fer ente est un hyperholoule réglé, et alors elles le sont toujours, pourvu que la cyclide soit réelle.

Cette proposition sera confirmée par l'étude géométrique des cyclides.

Voici quelques autres conséquences.

D'abord, par chaque point de la cyclide, on peut faire passer 10 plans tangents doubles, qui sont tangents aux 5 cônes du second degré. Il passe donc 10 cercles réels ou imaginaires par chaque point de la surface. Ainsi, les 10 séries de coniques, qui se trouvent sur toute surface du second ordre à conique double, sont ici formées exclusivement avec des cercles. De plus, comme nous avons vu qu'il y a une ou trois racines de l'équation en 1 entre A' et A", c'est-à-dire que parmi les déférentes il y aura un ou trois hyperboloïdes réglés, il s'ensuit que la cyclide aura une série double ou trois séries doubles de sections circulaires réelles. Nous reviendrons sur ce point.

La détermination des focales est aussi une conséquence des résultats obtenus. Celles des sphères doublement tangentes à la cyclide qui se réduisent à des points ont nécessairement leur centre à l'intersection de la surface déférente et de la sphère directrice qui lui correspond. Donc

Les focales de la cyclide sont les cinq courbes cycliques, intersections de chacune des sphères directrices (Si) avec la quadrique déférente (A,) qui lui correspond.

Ces cinq courbes sont évidemment celles qui ont été examinées dans la Deuxième Partie de ce travail; elles constituent les lignes doubles de la développable circonscrite à la cyclide et au cercle de l'infini. Elles sont focales les unes des autres. Si l'on se donne l'une d'elles, les autres se détermineront comme il a été indiqué dans la Deuxième Partie.

Si l'on se donne une focale d'une cyclide inconnue, quoique les autres focales puissent être déterminées, la cyclide ne le sera pas. La sphère qui contient la focale est bien la sphère

i20 SLiR U«E CLASSÉ HEMARQUABLE

directrice d'un mode de génération; mais on pourra lui associer comme déférente une quelconque des quadi-iques qui contiennent îa focale. L'équation des cyciides qui admettent pour focales cinq courbes données, focales les unes des autres, contiendra donc nécessairement, et d'une manière rationnelle, un paramètre variable > .

Un mode de transformation que nous allons étudier nous montrera d'ailleurs, sans qu'il soil nécessaire d'avoir recours aux principes énoncés dans la Première et la Deuxième Partie, que les cinq focales sont les lignes doubles de la développabie circonscrite à la cyciide et au cercle de ijnûni,

Généralités sur les surfaces anallagmatiques.

Nous allons, avant de continuer cette étude, indiquer quelques propriétés générales des surfaces anallagmatiques, que nous appliquerons ensuite aux cyclides.

La définition générale de ces surfaces est la suivante : Elles sont leb surfaces enveloppes d'une sphère variable, qui demeure orthogonale à une sphère fixe (S) (la sphère directrice), et dont le '.entre décrit une surface quelconque (B), que nous appellerons la déférente.

Soit M un point de la déférente et (P) le plan tangent en ce point. La sphère ayant son centre au poirit M et orthogonale à (S) touchera son enveloppe en deux points 11^,71/1', placés syméL iquement par rapport au plan (P) . Je dis que la droite mm' va passer au centre 0 de (S) .

En .'^ffet, toutes les sphères doublement tangentes, qui ont leurs centres en des points de la déférente voisins de M, pourront être considérées comme ayant leurs centres dans le plan tangent (P), et se coupant aux deux points chevchés m, m'. Toutes ces sphères coupant à angle droit la sphère directrice (S), leur axe radical mm' passera donc par le point 0 . D'oii la règle suivymte :

DE r.OL'HBES ET Î>E SDRI''ACES ALGJSBBlQUES, Î24

Les points de contact m , m' de chaque sphère de contre M doublement tangente avec ranallagmatiijuc, sont snr la perpendiculaire abaissée du centre 0 de !n r.plière direch-ice sur le plan tangent à la déférente au point M . On a d'ailleurs

R étant le rayon de la sphère directrice.

On peut encore définir autrement les points m , m'. Toutes les sphères orthogonales à (S) et ayant leurs centres dans le plan (P) couperont à angle droit toutes les sphères passant par l'intersection de (S) et de (P) . En particulier, elles contiendront les deux sphères de rayon nul passant par Tintersection de (S) et de (P) . Les centres de ces deux sphères sont donc les points m ,m'.

Donc l'anallagmatique peut être considérée comme le lieu des centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de la sphère directrice et des plans tangents à la déférente.

De la remarque précédente, qui a déjà été faite par M. Laguerre, il résulte que les points m , m' ne seront réels que si le plan (P) tangent en M ne rencontre pas la sphère directrice. Par conséquent, si Ton circonscrit à la déférente (B) et à la sphère (S) une développable, la courbe de contact de cette développable et de la déférente découpera celle-ci en régions, pour chacune desquelles le pian tangent coupera toujours ou ne coupera jamais la sphère directrice. Celles des régions de (B) pour lesquelles le plan tangent ne coupe pas la sphère (S) donnent seules des points réels de fanallagmatique; elles donnent lieu à une nappe de même connexion que la région d'oiî elle dérive. Toutefois, pour que cette proposition soit exacte, il faut considérer la région de (B) d'où dérive la nappe de l'anallagmatique comme formée de deux feuillets distincts se réunissant l'un à l'autre sur le contour de cette région. Nous ferons une application de cette remarque dans l'étude' de la forme des cyclides.

Une conséquence importante et nouvelle résulte encore de la construction précédente. C'est que les points de contact m , m' ne dépendent que du flan tangent et nullement du point de contact de ce plan. Il suit de là que Tétude des anallagmatiques équivaut à la théorie d'un mode de transformation dans lequel à un plan variable on fait correspondre les deux sphères de rayon nul passant par l'intersection de ce plan et d'une sphère directrice fixe. Ainsi, à un plan de la première figure correspondent deux points de la seconde; mais à un point de celle-ci ne correspond qu'un seul plan dans la première.

Gomme les géomètres sont plus habitués aux transformalions dans lesquelles les points correspondent aux points, on pourra substituer à la figure formée par les plans sa polaire réciproque par rapport à la sphère, et alors on obtiendra une transformation qu'on peut définir ainsi qu'il suit :

Étant donné un point y-, à ce point on fait correspondre les deux points m , m' , centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de (S) et du plan polaire de u. [par rapport à (S)].

On voit que m et m' ne seront réels que si le point ^j- est à l'intérieur de la sphère (S). Les points m , m' , [i seront en ligne droite avec le centre 0 de (S) , et Ton aura

0 m 0 ni —R\ 0 m ,- Om' —-pr-

Oti

Si la sphère (S), tout en ayant son centre 0 réel, a son rayon de la forme /cK — i , les points m , m' seront, au contraire, toujours réels, et ils seront de part et d'autre du point 0 sur la droite Oy-. On aura

— 2yt*

Om . Om' — — k- , Om + Om' = •

Dans ce mode de transformation, à une surface (B'), lieu du point f/ , correspond une surface anallagmatique (1), dont la sphère directrice est (S), et dont la déférente est la polaire (B) de (B') par rapport à (S) . Le degré de (2) sera généralement

double de celui de (B'), à moins que (B'j n(' passe au centre de la sphère directrice. Nous allons, du reste, donner les formules qui définissent la transformation.

Prenons pour origine des coordonnées le centre 0 de la sphère directrice. Soit R le rayon de cette sphère, et désignons par X , y , z les coordonnées du point m . Celles du point m' seront, par conséquent,

x^ + y' -+- z^ x"" + if- + z* a?' -^ ?/' -h 2*

Le plan polaire du point ," doit être le lieu des points à égale distance de m et de m\ Kn écrivant cette propriété, on a pour réquation de ce plan

Si donc on appelle x' , y\ z' les coordonnées du point y- , les formules qui définissent la transformation sont

[^'~ X' + y^- + Z'-r-n'' ^ ~a;'4-y^-f 2*-rR»'

Ces formules avaientété indiquées dans un travail de fauteur {Annales de l École Normale, ISG^). En posant

ii=:R--

on en

déduit

On voit que, si le point y-{x',y',z') décrit un plan, les points m , m' décriront une sphère, nécessairement orthogonale à la sphère directrice : cela résulte de f i.Jenlité

/ mx' ~ï ny' -i-pz' +q

(IS) \ 2R'(ffla;-i- ny'^-pz + q) + (ji.r^-v y--^z^—R^)

124 SUR UNE CLASt-E REMARQDABLE

La Sphère correspondante à un plan (P) sera donc déterminée par la double condition d'être orthogonale à (S) el ôo passer par rintersection de (S) et de (P) . Elle se réduira à un plan quand le plan (P) passera au centre de l'S) , à un pointsphère quand le plan (P) sera tangent à (S).

L'identité (15) équivaut à une formule qui permet de transformer les équations des courbes et des surfaces. Soient en effet P la distance du point /^ au pian (P) , T la tangente menée de m à la sphère (T) correspondante

au plan (P) , a l'angle sous lequel le plan (P) coupe (S). L'identité (15) pourra s'écrire

RcosK.T»

(16) Prr

et il résulte de cette formule la règle suivante :

Si une surface (B') est définie par une équation homogène entre les distances P , P', P", ... d'un de ses points à plusieurs plans fixes, pour avoir l'équation de l'anallagmatique (2) correspondante, il suffit de remplacer P , P', P", ... par les carrés des tangentes à des sphères orthogonales à la sphère directrice, correspondantes aux plans fixes, ces carrés étant multipliés par des constantes, que la formule (16) apprend à déterminer. Deux cas particuliers doivent être signalés : [^ si le plan (P) est tangent à la sphère en un point a , P doit être remplacé par le carré de la distance au point a ; 2° si (P) passe par le centre de (S), il se correspond à lui-même, et l'on ne doit pas modifier le facteur P, ou plutôt on doit le multiplier pai 2R .

D'un mode de transformation déduit de la. ttéorie des anallagmatii^ues.

Les formules précédentes (15) et (16) nous montrent qu'en désignant par première figure le lieu des points [j- et deuxième

DE COURBES ET DR SURFACBS ALGJ^BRIQUES. I2ë

figure le lieu des points m , m' , à un point m de la deuxième figure correspond un seul point (j. de ia première ; mais que, au contraire, à un point u correspondent deux points m ,m' . Il y a un cas particulier remarquable : c'est celui où le point ^ coïncide avec le centre 0 de la sphère directrice. A ce point 0 correspondent tous les points à rinilni. C'est ce qui résulte et de la construction et des formules. Car si, dans les équations (14), a;' 4- j/* -(- z* devient infini, x' , y\ z' deviennent nuls.

Ainsi, à un point [j^ coïncidant avec 0 correspondent deux points m , m', Tun au point 0, l'autre quelconque à Finfini.

A un point /^, situé sur le cône asymptote de la sphère directrice, correspondent deux points, Tun à Tinfini sur le cercle et sur la droite 0," , l'autre au milieu de 0|^ , etc.

A une courbe de degré n de la première figure correspond, dans la seconde, une courbe de degré double 2n, coupant le cercle de l'infini en 2n points. Cependant, si a branches de la courbe passent en 0 , le degré de la courbe correspondante diminue de a , ainsi que le nombre de points communs avec le cercle de l'infini.

A une surface de la première figure d'ordre n , ayant en 0 un point multiple d'ordre p, correspond une anallagmatiquo d'ordre 2?t — p .

Mais le fait essentiel est le suivant :

Si une courbe est tangente en a à la sphère (S) , la courbe anallagmatique correspondante a un point double en a .

Si une surface est tangente en a à la sphère (S) , la surface anallagmatique correspondante a un point conique en a .

Si une surface est tangente à (S) en tous les points d'une ligne (L), celle-ci est ligne double de Tanallagmatique correspondante.

Faisons quelques applications.

A une droite ô' correspond un cercle, situé dans le plan de 0 et de ^, coupant (S) à angles droits, et passant par l'intersection de (S) et de ô. Si ^ devient tangente à (S) en a , le cercle a

son rayon nul, et se décompose en deux droites se coupant en a, situées dans le plan (0 , ^), et allant rencontrer le cercle de rinfini,

A un plan correspond une sphère, qui se réduit, quand le plan devient tangent à (S), au point de contact de ce plan.

A une conique correspond une courbe sphérique du 4® ordre, allant rencontrer le cercle de l'infini en quatre points, c'est-à» dire une cyclique. Cette cyclique acquiert deux points doubles, c'est-à-dire se décompose en deux cercles, si la conique correspondante est doublement tangent(^ à (S) .

A une quadrique correspond une cyclide du 3® ou du 4* ordre, suivant que la quadrique passe ou ne passe pas au point 0 ; etc.

Soient une surface (B') et l'anallagmatique correspondante (2) . Les focales de (1) se déterminent de la manière suivante : Circonscrivons à (B') et à (S) une développable ( A) , et soit (F) la courbe de contact de cette développable (A) et de (S). Les plans de (A) ont pour correspondants les pointssphères ayant leurs centres sur (F). Donc la surface (A') correspondante à (A) sera Tenveloppe d'une suite de sphères de rayon nul, et par conséquent sera une développable focale. Ses génératrices correspondront par couples à celles de (A); elle aura une courbe double de plus que ( A) ^ la courbe (F) .

Appliquons les remarques précédentes ù l'étude des cyclides. La cyclide sera Tanallagmatique correspondante à une surface (A') du second degré, et ayant pour déférente la polaire réciproque (A) de (A') par rapport à (S). A la dévelojipable j(A')(S)| correspond la développable focale circonscrite à la cyclide. On voit que cette développable aura cinq lignes doubles : 1" la courbe de contact sur (S) de | (A',i(S) j ; 2* les quatre courbes cycliques correspondantes aux quatre lignes de striction de la même développable. Les plans de ces quatre lignes étant conjugués, les sphères correspondantes, qui sont orthogonales à (S) seront orthogonales entre elles. Au système de quadriques inscrites dans la développable |(A')(S)| correspondront les cyclides homofocales; etc.

L'équation de toute surface pouvant être mise sous la forme