M — P—O' + TT
UE COUHBES ET DE SLRFAt.ES ALG!- BHIOUËS. 87
M , P', Q' étant les angles du triangle sphériquR MP'Q'.
L'expression précédente est susceptible d'une interprétotion géométrique simple. A cet effet, considérons, en même temps que P', Q', les points diamétralenicnt opposés P\,0'f
L'expression précédente pH égale à ^ , S étant l'aire du triangle
sphén'que MP'iO'i ■> ^t l'on a
Ainsi, le rapport des distcmces d'un point quelconq te M de la
sphère à deux points V ,Q de cette surface est éyal à e *. S dési" gnant Vaire du triangle sphérique formé par le point M et les points P\ , Q'i , diamétralement opposes aux points P', Q', (usociés à? et à Q .
Nous ne devons pas dissimuler que la formule et la démonstration précédentes présentent quelques difllcuUé.^ quant aux signes. Ces difficultés, sur lesquelles nous reviendrons dans une autre occasion, et qu'on lèvera dans ciiaque cas particulier, tiennent à la convention faite par les auteurs de TrigCi'.ométpie de détruire la continuité, et de ne considérer que les triangles dont les côtés sont inférieurs à ~ . La règle à suivre est ia suivante. On prendra le même signe pour toutes les aires coiv respondantes à un sens de rotation déterminé autour des côtés du triangle, et des signes opposés quand les sens de rotation seront différents.
La formule (69) peut àim employée sur la sphère de la m^me manière que l'équation l^O; relative au plan. EU© donne,
comme cette dernière, \xm transformation du rapport ^^ de
deux distances seulement, tandis que la formule (67), qu'on pourrait d'ailleurs déduire de la précédente, coixtient quatre distances M P, M Q,M'P,M'0.
Ainsi, quand les deux points P . Q deviennent imaginaiies conjugués, le rapport des distances du poiiit M à cer> deux
88 SUR UNE CLASSE BEMARQl'ABLE
points s'exprimera en fonction de l'aire d'un tx'^iangle sphérique réel.
Sous ce point de vue, c'est le théorème de Lexell, relatif aux. triangles sphériques d'aire constante, qui constitue, sur la sphère, la propriété analogue à celle des angles inscrits dans les cercles du plan. Car on sait, d'après ce théorème, qu'étant donnés deux points quelconques P , Q d'un petit cercle, le triangle sphérique formé par les points diamétralejiient opposés Pj , Q, , et par un point M du cercle, conservera une aire constante, quand le point M décrira le petit cercle.
On retrouverait exactement, comme à l'article 2G, les propriétés focales des coniques sphériques.
Des courbes sphériques analognes aux courbes planes déjà considérées.
Nous sommes maintenant en mesure d'étendre à la sphère les propriétés signalées à l'article 7, et qui conviennent à une classe étendue de courbes planes.
Prenons sur la sphère deux séries de p^ilcs fixes,
et appelons R^ , r, les distances d'un point M aux pôles A,- , B,- des deux séries. Les courbes sphériques que nous allons considérer sont définies par l'équation
Ces courbes donnent lieii à des propositions plus nombreuses que les courbes planes correspondantes.
D'abord, si Ton effectue leur projection stéréographique sur un plan, la forme de l'équation précédente (70) ne change pas. On voit donc que ces courbes sphériques sont les transformées par rayons vecteurs réciproques des courbes planes déjà étu-
DE COUfïRFlS ET DR SURFACES ALGÉBRIQUES. 89
dic'es, et, par conséquent, en tenant compte de !a propriété énoncée (art. 27), nous obti<^ndrons le théorème suivant :
Quand une courbe sphérique e.'st telle qu'il y ait un rapport constant entre les produits de ses distances à deux séries de pâles fixes pris sur la sphère, elle jouit des mêmes propriétés arec une infinité d'autres séries de pôles fixes, situés aussi sur la sphère, et l'un des nouveaux pôles peut même être choisi arbitrairement.
Supposons que l'on se donne lui des pôles A, , et que Ton demande de trouver les pôles qui lui sont associés. On mènera le plan tangent en A, , contenant deux génératrices de la sphère qui couperont la courbe en deux groupes de n points imaginaires,
On joindra les points du premier groupe à ceux du second, et Ton aura ainsi n arcs de grand cercle. Les pôles B, de Tune des séries seront les symétriques de Ai par rapport à ces n arcs de grand cercle. En opérant la construction précédente sur un de ces pôles B, , on retrouvera A, et les {n — 1) pôles A., qui doivent lui être adjoints dans la première série.
Les arcs de grand cercle joignant les points du premier groupe «',• peuvent d'ailleurs être pris d'une manière quelconque; mais il est clair qu'ils ne seront réels que si l'on joint chaque point imaginaire a, à son conjugué a', . La construction que nous donnons ici est d'ailleurs une conséquence immédiate de ce fait évident que deux pôles appartenant à deux séries différentes, considérés comme des cercles de rayon nul, se coupent en deux points de la courbe.
Revenons au cas général, et considérons, en même temps que la courbe sphérique, la courbe plane qui en est la projection stéréographique. Nous avons vu, formule (45), qu'on pouvait choisir pour la courbe plane une infinité de pôles, tels que les pôles de la 2^ série soient imagmaires conjugués de ceux de la première. La transformation par rayons vecteurs réciproques conserve cette relation. On pourra donc trouver
sur la sphère deux séries de pôles imaginaires de la courbe, tels que les pôles de l'une des séries soient conjugués de ceux de l'autre. Appelons R,- , r, les distances d'un point M de la courbe à deux pôles imaginaires conjugués A, . B, , et S. Taire du triangle sphérique formé par le point M et les deux points fixes réels A',- , B',- , diamétralement opposés aux points associés a A, , B, . On aura
ft
comme 1'
équation de la courbe peut
s" écrire
on
voit que
l'on
aura
const.
Ainsi, quand une courbe sphérique est telle qu'il y ait un rapport constant entre les produits des distances d'un de ses points à une première série de n pâles et le produit des distances du même point à une deuxième série de n pôles, situés comme les premiers sur la sphère, elle possède, et d'une infinité de manières, la propriété que la somme des aires des n triangles sphériques, formés avec un de ses points comme sommet et n segments fixes comme bases, soit constante^
Les extrémités de ces n segments décrivent d'ailleurs la courbe sphérique diamétralement opposée à la proposée.
L'énoncé précédent peut même être complété, et l'on peut dire que toute courbe qui jouit de Tune ou de l'autre des propriétés indiquées dans le théorème fait partie de la classe de courbes que nous étudions, et conserve par conséquent ces mêmes propriétés avec une infinité d'autres systèmes soit de pôles, soit de segments fixes.
Quelques cas particuliers dans lesquels les deux séries de pôles ont une disposition particulière méritent d'être signalés.
DE COURUES ET DE SURFACES ALt.EBRIOUES. 91
Des courbes splicriques pour les'iuelles les pôles de chaque' série sont deux à deux diamétralement opposes. Propriétés correspondantes des cônes algébriques, ayant ces courbes pour base.
Si les pôles de chacune des deux séries qui servent à définir la courbe sonl deux à deux diamétralement opposés, la courbe définie par ces deux séries de n pôles sera évidemment symétrique par rapport au centre de la sphère. Nous allons voir que, parmi les nouveaux systèmes de pôles qu'on peut substituer aux premiers, il y en a une infinité qui sont, comme les premiers, deux à deux diamétralement opposés dans chaque série.
En effet, quand on fait la projection stéréographique de la sphère, deux points diamétralement opposés se projettent suivant deux points divisant harmoniquement les diamètres d'un cercle fixe du plan. Le carré k du rayon de ce cercle est négatif, le cercle n'a de réel que son centre. Prenons ce centre pour origine des coordonnées; l'équation de la courbe plane, projection de la courbe sphérique, sera
?(«)?>(î^) = v(«)y.(«') • Les pôles de la première série seront définis par les équations
où A désigne une quantité réelle, A„, A'„ des quantités imaginaires conjuguées. De même, les pôles de la 2^ série seront donnés par le système semblable
{^.(v) = Bv'" -h ••• -1- B'„=:0 .
Cela posé, d'après les hypothèses faites, les pôles de chaque
série peuvent être groupés deux à deux, de telle manière que les points de chaque couple {u , v) , (u, , r,) divisent harmoniquement un diamètre du cercle ayant son centre à Torigine, et pour rayon Kl. On passera donc d'un de ces points à l'autre par les formules
et par suite les polynômes f , 'f , , ,!, , J^^ devront satisfaire aux équations
Si, dans la deuxième de ces équations, on change m en -, et et quon la multiplie avec la première, elle donne
On aurait de même
d'où résulte
Cela posé, formons les nouveaux pôles. L'équation de la courbe [voir art. 27, équation (43)] prend la forme
(74) * {u) 4», iv) = Y {u) M-\ (r) .
où les polynômes $ , ^1^, , ... sont définis par les formules
,.„. \ * («) = ? («) + ''■ y («) . *i (i') = fi 0) + ^'^1 (■'-') . ( vK(«) = ^{n)~i l'f{u) , rjv) = ■LJv) -+- 1 f, (v) ,
y et /' étant deux facteurs imaginaires conjugués. En égalant ces polynômes à zéro, on aura les nouveaux pôles de la courbe. Pour que ces points aient les mêmes dispositions que les pre-
DK COURBES ET DE bURFACRS ALGEBRIQUES. 93
miors, il suffira que les nouveaux polynômes (^ , 4;' satisfcii-sent à des équations de la niéino forme que les formules (7o). Oc ou a
fk\ A„r , , >AB„ , . ,
On aura donc
et les équations semblables, en prenant
Ces deux équations se réduisent évidemment à une seule, la première. II suffira donc que les indéterminées À , 1' satisfassent à cette équation, pour que les nouveaux pôles aient la même disposition que les anciens.
Si l'on pose
B^z^rBA-^^'^ B'„=:=BA:'^e-S
on aura, en vertu de Téquation (76) , b — a
p- demeurera quelconque. Ainsi, on trouve un nombre infini de systèmes de pôles, satisfaisant aux conditions posées. Ces pôles, satisfaisant aux équations
*(w):r=y(M) + >^(M)=rO,
sont, en vertu de Téquation (76), sur la courbe
(77) y.(t;)^AB^-^.(tO^
fin) BA„ 'K'O
courbe qui jfest pas indécomposable, et qui comprend le
U\ SIR r\F CJ.ASSK HEMAr.OUABLE
ccicîo ni-:~-k. La coiii-hc prùcédeiile l'ait paiiie de celles qui coupent la première à ajigie droit. Mais nous nour^ contentons d'iiidiquer ces résultats.
il est donc démontré que, si une courbe sphériqiie est définie par deux séries de pôles, telles que les pôles de c})aque série soient deux à deux diamétralemeut opposés, la même propriété subsiste avec une infinité d'autres pôles, assujettis à décrire Uîie courbe, d'un ordre inférieur do ù<'Xi\ unités, et orthogonaie à U proposé-e. Cette disposition particulière donne lieu à un tliéorènie nouveau.
En effet. !o produit des distances d'un point M de la sphère à deux poiiits diamétralement opposés a , a' est évidentment propottionnel au carré de la distance du point M à ia droite a a'. La courbe spliérique est donc telle qu'il y a un rapport constant entre les produits des distances de l'un de ses points à deux séries de diamètres de la sphère; et comme cette définition convient aussi au cône ayant le centre de la sphère pour sommet et ia courbe pour base, nous avons, sans qu'il soit nécessaire d'insister davantage, le théorème suivant :
Quand vu cône est tel qiCii ij ait un rapport constant entre les produits des distances de l'un de ses points à deux séricK distinctes de droites pnRsant à son sommet, il conserve la même définition avec une infinité d'autres séries de droites paissant également par son sommet, décrivant un cône algébrique orthogonal au premier et d'un degré inférieur d'une unité.
Le cas le plus simple de cette proposition a été étudié par M. Chastes. "Le cône du second ûti^n'-, tel qu'il y ait un rapport constant entre les distances tl'nn de ses points à deux droites fixes, conserve la même définition avec une infinité d'autres systèmes des deux droites, situées dans le plan des premières.
la propriété relative à la somme des aires des triangles sphériques prend ici une forme particulière. En effet, quand les pôles de cliaque série deviennent imaginaires, les points associés sont diamétralement opposés. En associant les triangles sphérifjues dont les sommets sont diamétralement opposés,
DÉ COinBF.S KT r>F. «iURFACFS ALGKBRIOLES, 98
on voit que, dans oe cas, la somme algébrique de leurs aires est égale à la somme des angles à la base, et Ton peut énoncer cette proposition :
Quand une courbe sphérique est telle qu'il y ait un rafport constant entre les produits des distances de ses points à deux séries de n diamètres, on peut former d'une infinité de manières n segments ayant leurs extrémités sur la courbe, et tels que la somme des angles à la base des triangles sphériqnes formés avec ces segments comme hases, et ayant tous pour sommet un même point variable de la courbe j soit constante.
On pourrait évidemment ajouter un grand nombre de propositions aux précédentes. Mais peut-être le lecteur trouvera-t-il que nous avons déjà été trop long.
Des courbes lieux des points desquels on voit plusieurs segments de çTand cercle sous des angles dont la somme est nulle.
Ces courbes forment une nouvelle classe particulière des courbes sphériques que nous étudions. En effet, Fangle de deux arcs de grand cercle MA , MB , joignant le point M aux deux points A et B , est évidemment égal à la somme des aires des triangles sphériques MAB , M A'B'; A', B' étant les points diamétralement opposés à A , B . Les courbes que nous allons étudier sont, par conséquent, telles que la somme des aires des triangles sphériques formés avec un point de la courbe et 2n segments fixes, deux à deux diaméti'alement opposés, soit constante. Elles sont donc comprises dans la définition générale donnée au n" 33, et elles correspondent à une disposition particulière des pôles, qu'on peut caractériïscr en disant que ceux-ci sont en nombre pair dans chaque série, et que les pôles de Tune des séries sont diamétralement opposés à ceux de l'autre.
Ces cour];es nouvelles ont donc toutes les propriétés appar-
9() SLR UNE CLASSE I^KM ARQC XULK
tenant aux courbes généialt-s, et signalées au n" 33; on peut ies engendrer au moyen de deux séries dr 'in pok-s, un des pôles étant placé en un point quelcon(]ae de la >phcre, etc. Mais la question qu'il importe d'examiner est la suivante : Peui-on conserver leur définition particulière et trouver, de plus d'une manière, n segments tels que la somme des angles sous lesquels on voit ces n segme.its conserve une valeur constante pour chaque point de la courbe?
Il est clair que cette question revient à la suivante : Peut-on trouver de nouveaux systèmes de pôles tels que les pôles de chaque série soient diamétralement opposés à ceux de l'autre?
A cet effet, reprenons les équations du numéro précédent, qui s'appliquent à la courbe plane, projection stéréographique,
et la nouvelle équation
En raisonnant comme à l'article précédent, on verra que les fonctions ç , -P satisfont ici aux équations identiques
On déduit de là, en s'appuyant sur les équations déjà données pour <î) , H' ,
Pour que le second membre se réduise à W, (v) à un facteur constant près, il faut et il suffit que Ion ait
AA,n
