SS' =A-.S'S

correspondantes à des formes connues de l'équation d'une quadrique.

A des cercles de la seconde figure correspondent dans la première soit des droites, soit des coniques doublement tangentes à (S). Il suit de là qu'une anallagmatiiiue (1) ne pourra être engendrée par un cercle que si la surface (B') correspondante est réglée ou est engendrée par des coniques doublement tangentes à (S) .

Par exemple, si (B') est une quadrique, 1° ses droites donneront une série double de sections circulaires de la cyclide; 2*» elle peut aussi être engendrée de quatre manières différentes par des coniques doublement tangentes à (S) , et les plans de ces coniques enveloppent l'un des quatre cônes passant par rintersection de (B') et de (S) . A ces quatre séries de coniques correspondront quatre nouvelles séries doubles de sections circulaires de la cyclide. On aura donc les cinq séries doubles de sections circulaires de la cyclide.

Be la forme générale des cyclides, du nombre de leurs focales et de leors sections circulaires réelles.

Nous pouvons mainteaani; nous faire une idée assez nette des différentes formes des cyclides. Il suffît de discuter les équations (6) , (7) , (8) , qui déterminent les différents modes de génération de la surface.

D'abord, nous avons vu que l'équation (6) en X a au moins trois racines réelles. Dans chacun des intervaiies des quantités A , A', A", -1- 00 , il y a une ou trois racines réelles (art. 40).

A toute racine comprise entre A et A' correspond une déférente, qui est un hyperboloïde à deux nappes;

A toute racine comprise entre A' et A", un hyperboloïde à une nappe ;

A toute racine supérieure à A", un ellipsoïde réel;

A toute racine inférieure à A, un ellipsoïde imaginaire.

Il y a donc, parmi i»'s surfaces déférentes, trois q^iadriques réelles au moins : un ellipsoïde réel, un hyperboloïde à une nappe, un hyperboloïde à doux nappes. Je dis, de plus, qu'à la racine unique compri o dans chacun dus intervalles de A , A', A", H- 00 , ou à la plus petite et à la plus grande des racines, s'il y en a trois dans cet intervalle, correspond toujours une sphère directrice de centre et de rayon réels.

En efifet, nous avons vu (art. 40) que le rayon de la sphère directrice est V — L' , L' désignant la dérivée de L . Lorsque X varie dans un des intervalles considérés, la fonction L est d'abord positive. La dérivée L' sera donc négative pour toutes les racines d'ordre impair contenues dans cet intervalle. Donc, s'il y a trois racines, la plus petite et la plus grande donneront un rayon réel. Au contraire, pour la racine moyenne, le carré da rayon sera négatif.

Nous pouvons donc conclure que, dans tous les cas, trois

DE COL'RBES ET DK SURFACES ALGÉBRJQUES. 129

des cinq modes de génération de la cyclide seront formés avec des quadriques et des sphères réelles.

Si l'équation en ). a ses cinq racines réelles, les deux derniers modes de génération seront formés avec deux surfaces qui pourront être deux ellipsoïdes imaginaires, mais qui seront toujours de même espèce. Des deux sphères correspondantes qui ont leurs centres réels, Tune sera réelle; mais, pour Tautre, le carré du rayon sera négatif.

Les résultats obtenus ici sont d'accord avec ceux de l'article 19, où nous avons examiné le nombre des focales réelles des courbes cycliques.

Si l'équation en / a deux racines imaginaires, trois seulement des sphères contenant les focales sont réelles. Nous avons vu que, dans ce cas, les trois focales correspondantes sont réelles et se composent d'un seul trait.

Si l'équation en ), a ses cinq racines réelles, quatre des sphères sont réelles; mais deux seulement des focales sont réelles, et se composent chacune de deux traits distincts (*).

Dans le cas où l'équation en X a ses cinq racines réelles, il y a un mode de génération qui caractérise la cyclide : c'est celui qui correspond à la sphère de centre réel, mais de rayon imaginaire. Cela posé, nous pouvons reconnaître la forme générale de la cyclide.

1** L'équation en X a deux racines imaginaires. Soit un des trois modes de génération formé avec l'ellipsoïde réel (A) et la sphère réelle (S) . La développable | (S) (A) | est réelle, et se compose d'une seule nappe (de même que la focale se compose d'un seul trait). La courbe de contact de cette développable avec l'ellipsoïde (A) partage cette quadrique en deux régions : Tune d'elles donne tous les points réels de la cyclide (art. 42).

(•) Les cinq focales ne sauraient être toutes imaginaires, puisque, les équations de l'une d'elles au moins étant réelles, les foyers de celte courbe seront réels. Or l'un de ces foyers est un point d'une autre focale, qui, ayant un point réel, est réelle.

130 SLU U\K CLASSE SEMAROI'ABLË

Gomme cette région est à connexion simple, on voit que la cyclide sera ici une surface loujours réelle, formée d'une seule nappe à connexion simple. Elle aura une seule série double de sections circulaires réelles, puisque une seule des trois déférentes est réglée.

2° L'équation en À a toutes ses racines réelles. La surface déférente (A), correspondante à la sphère de myon k V — 1 , est un ellipsoïde imaginaire. La cyclide est imaginaire,

^ L'ellipsoïde déférent du m^me mode de génération est réel. Alors toute droite passant par le centre 0 de (S) coupe la cyclide en quatre points toujours réels, correspondants aux deux plans tangents de l'ellipsoïde perpendiculaires à cette droite. La cyclide se compose de deux nappes enveloppant le point 0 , et à l'intérieur Vune de Vaulre. Elles sont à connexion simple.

Trois des surfaces déféi'entes sont des ellipsoïdes réels, il y a une seule série de sections circulaires réelles.

4° L'équation en ). ayant toujours ses racines réelles, la surface déférente du même mode de génération est un hyperboloïde à deux nappes.

Alors le cône doublement tangent à la cyclide ayant le point 0 pour sommet est réel, la cyclide est à l'intérieur de ce cône (art. 43). Elle se eompose donc de denc nappes opposées situées à l'intérieur de chacune des deux nappes du cône et à connexion simple. Trois des déférentes sont des hyperboloïdes à deux nappes, il n'y a encore qu'uno seule série double de sections circulaires réelles.

5° La déférente du même mode de génération est un hyperboloide à une nappe. Le cône doublement tangent à la cyclide <^st toujours réel, mais la surface est à l'extérieur de ce cône. Elle se compose à' une seule nappe à connexion triple, semblable à un tore ordinaire. Il suffit de concevoir que les deux séries de sections circulaires, confondues dans le tore, se dédoublent, par exemple qu'on fasse varier d'une quantité suffisamment petite les coefficients des coordonnées dans l'équation d'un tore rapportée à des axes quelconques.

UE COURBES ET IWi SURFACES ALGÉBRIQUES. J3i

Dans ce cas trois des déférentes étant des hyperboloïdes réglés, il y a six séries de sections circulaires réelles disposées à peu près comme celles d'un tore, après qu on aurait dédoublé par une déformation les sections méridiennes et les sections parallèles qui représentent deux séries confondues.

On voit qu'il existe quatre espèces distinctes de cyclides réelles du "4" ordre. Les cyclides du 3" ordre se déduisant des précédentes au moyen d'une transformation par rayons vecteurs réciproques auront seulement trois formes distinctes.

Bu système des cyclides liomofocales.

Si Ton transforme par rayons vecteurs réciproques une cyclide, on obtient une nouvelle cyclide dont les focales sont les transformées des focales de la précédente. En particulier, si Ton prend le pôle de transformation au point de rencontre do trois des sphcrep directrices (il y a un ou quatre de ces points qui sont réels), trois des focales deviendront planes, les trois sphères directrices se changeront en trois plans rectangulaires, et les sphères doublement tangentes de la cyclique, qui étaient orthogonales à ces sphères directrices, auront leurs centres dans les plans correspondants. La nouvelle cyclide aura trois plans de symétrie. On peut donc affirmer que le système le plus général de cyclides homofocales est le transformé par la méthode des rayons vecteurs réciproques de celui des cyclides homofocales à trois plans de symétrie.

Ces dernières cyclides homofocales ont été étudiées d'une manière détaillée par l'auteur dans un travail présenté comme thèse en 1866 à la Faculté des Sciences de Paris, et qui a été inséré dans les Annales de l'École Normale (même année).

Aussi allons-nous examiner de préférence ici le système le plus général de cyclides homofocales, et donner des équations

symétriques représentant les cyclides les plus générales du 8' et du 4* ordre.

A cet effet, étant donnée une sphère (S), définie par l'équation

nous allons chercher l'équation des quadriques inscrites dans une développable circonscrite à cette sphère; puis, en soumettant ces quadriques à la transformation indiquée (art. 44), nous obtiendrons l'équation générale des cyclides homofocales. Soient

(17) Vi = aa'^biy' +CiZ' -\-d.h\/~\=0, (î= 1,2,3,4)

les équations des quatre faces du tétraèdre conjugué commun à toutes les quadriques et à la sphère (S), et supposons que les coefficients aient été choisis de telle manière que l'on ait identiquement

(18) 2 P.' = Pi' + P»' -^- Pa' -'' P.* = a;" -!- i!/"+ :-'* — R' .

On aura, entre les coefficients a. , 6, , c, , di , les relations qui conviennent à toute substitution linéaire orthogonale, et en particulier celles-ci,

(19) • a,' + br hCi'-hdi' = i ,

(20) Qi Oj -h 6, bj 4- CiCj -{-did — 0 . L'équation

(24) triip,. + 2j::£ip.. + ir:fip,. + ?.i:fiP,. = o

représentera des quadriques inscrites dans une développable A » et d'ailleurs cette développable sera circonscrite à la sphère (S) ; car il suffît, pour obtenir l'équation de cette sphère, de faire l=za dans l'équation précédente. D'ailleurs, cette équation peut encore s'écrire

OU, en tenant compte de l'identité (18),

Telle est la forme qu'on peut donner à féquation des quadriques considérées, et il est bon de remarquer que cette équation n'est qu'en apparence du 4® degré en X. Après qu'on aura chassé les dénominateurs, le coefficient de X* sera nul identiquement, en vertu de l'équation (18).

Cela posé, soumettons nos quadriques au mode de transformation défmi par les formules (14) (art. 44), et nous obtiendrons les cyclides homofocales. Voyons ce que devient l'équation (22). On a

Le plan Pi:=0 se transforme donc en une sphère (S,), orthogonale à la proposée. Appelons R, le rayon de cette sphère. On aura

"'^ d^ </,« rf.» ~"'

ou, en vertu des formules (19);

Donc, si nous appelons S, la puissance d'un point par rapport à la sphère (S,) , on aura

Enfin, si l'on tient compte de l'équation (14), on pourra transformer le premier terme de l'équation (22), et l'on aura

S désignant la puissance du point (x ,y ,z) par rapport à la

134 SUR l'NR CLASSE REMAROHABLE

sphère (S) . Eu réunissant tous ces résultats, l'équation (22) se transformera dans la suivante.

(«)■ , (D* , (I)' , (tJ . ©'

Cette équation représente les cyclides homofocales, et, d'après une remarque déjà faite, elle n'est qu'en apparence du A^ôoi^ré. De plus, il suit des formules ('âO) et (23) que les quatre sphères (S.) , qui sont orthogonales à (S) , sont aussi orthogonales entre elles. Donc, si, pour plus de symétrie, au lieu de S nous mettons S, dans la formule précédente, nous pouvons énoncer les propositions suivantes :

L'équation

où les cinq quantités S. sonl les puissances (Cun point par rapport à cinq sphères orlkogon'iles, représente un quelconque des sy.^~ tèmes de cyclides homofocales ayant les cinq sphères {Si) pour sphères directrices.

Le coefficient de À' étant nul dans l'équation précédente, après qu'on aura chassé les dénominateurs, il y a entre les cinq puissances S, d'un point quelconque, par rapport aux cinq sphères orthogonales, la relation identique

Nous allons étudier successivement les cinq sphères orthogonales et les cyclides homofocales; mais auparavant nous ferons remarquer que, si Tune des cinq sphères se réduisait à

Sun pian, il suffirait de remplacer'la quantité p^ correspondante

par le double de la distance au plan qui remplace la sphère. Cela résulte de la formule (23).

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. 13b

Du système de cinq sphères orthogonales.

Soient

(27)S.=r:a7'-f- y» 4 2» -+ 2«,.r+ 2,5.1^ + 2 7,2: -i-5.---=0, (i--rr l,2,;?,'k5)

les équations de cinq sphères orthogonales. On aura, entre les coefficients «;,..., <Ji , les relations comprises clans le type suivant :

qui expriment Torthogonalité des sphères. Les rayons R. de ces sphèi^es sont donnés par les formules

et f on aura les identités

\ âx à.c au ày dz dz '

( (©■-(sy-^(W=—

La théorie des sphères orthogonales est d'ailleurs comprise dans r identité fondamentale déjà obtenue

On déduit de cette identité les relations suivantes entre les coefficients a. , p, , 7. , <); ,

,.„ ■^U-'- U-'^ It-'-

et les suivantes

L v>r u R.^ ij r; • Z^ R,'

Ces relations nous seront très utiles.

On peut d'ailleurs déduire de l'identité (26),

plusieurs propriétés des sphères orthogonales. Par exemple, l'équation

peut s'écrire, en vertu de cette identité,

et la forme nouvelle de l'équation nous montre que la sphère S, coupe les quatre autres suivant quatre cercirs dont les plans forment un tétraèdre conjugué par rapport à S., , ce qui est une des plus importantes propriétés des sphères orthogonales. De même, l'équation

(sMI:)'-

qui se décompose en deux facteurs, représente deux pointssphères, ayant pour centres les points d'intersection des trois autres sphères, etc.

Rappelons qu'il y a deux systèmes remarquables de sphères orthogonales, l'un pou!- lequel deux sphères ont leurs centres et leurs rayons imaginaires conjugués, l'autre pour lequel les cinq centres sont réels, l'une des sphères ayant le carré de son rayon négatif.

Enfm^ de l'identité fondamentale on déduit encore que, dès que l'on connaîtra un système de sphères orthogonales, on aura tous les autres en soumettant à une substitution linéaire

orthogonale les cinq quantités ~ .

DE COURBES ET OE SlUFACES ALGftBHIQUES. 137

Or on peut prendre pour ces quantités

^x 2v 2- .T^-y^ + ^^'-hR- ^^ + y'- + ^^-H'

'^ hK"i ' ^

où R* peut être de Tune des deux formes

K , KK-i ,

et, en soumettant ces cinq quantités à la substitution indiquée, on aura réquation ia plus générale d'un système de cinq sphères orthogonales.

Des cyclides homofocalss.

Nous allons maintenant démontrer que le système des cyclides homofocales, dont l'équation a déjà été donnée, est un système triple orthogonal, c'est-a-dire que, par chaque point de l'espace, il passe trois cyclides du système, se coupant à angle droit. Pour cela, nous nous proposerons d'abord la question suivante :

Étant données deux équations homogènes par rapport aux cinq quantités S, ,

exprimer qu elles représentent deux surfaces orthogonales. Appelons {a , b) l'expression

da âh âa db âa db âx àx dy à y ôz ôz

On aura évidemment

équation où il faut donner à i et à j toutes les valem'S 1 , 2, 3,

138 SUR L^E CLASSK REMAHQIABLE

A, 5. Mais, d'après les identités (^0), Téquation précédente pourra être écrite ainsi.

Comme les deux premiers termes du second membre sont nuls, en vertu de 1 équation homogène des deux surfaces, on voit que la relation d'orthogonalité prend la forme simple

Là d% âSi '

Cette relation est exactement semblable à celle (ju'on obtient avec les coordonnées ordinaires; il y a seulement àeu\ variables de plus.

L'équation précédente sera évidemment vérifiée, si Ton prend deux cyclides appartenant au système défini par l'équation

Deux cyclides homo focales se coupent donc à angle droit en tous les points de leur courbe d'inicrsec'ion.

11 reste à démontrer qu'il en passe toujours trois qui sont réelles, par un point quelconque de Tespace.

Supposons d'abord que, des cinq sphères (S,); une seule ait son rayon imaginaire. Les cinq quantités Si seront réelles; mais, parmi les cinq quantités Ri, une, R, par exemple, sera de la forme 4- K^ — 1 . Alors l'équation du svstème sera

Quand on y considère ). comme rinconnuo, elle donne trois racines réelles, l'une entre a, et «j, les deux autres entre a.^ et a, , a, et a^ .

Ajoutons que les cyôlides correspondantes à ces trois racines sont réelles, et toujours des trois formes distinctes signalées à l'art, 46 pour le cas où Céqualion a ses cinq racines réelles.

On verrait, de même, si deux des sphères orthogonales étaient imaginaires conjuguées , qu'il passe toujours trois cyclides réelles par un point quelconque de l'espace.

Nous avoTis reconnu (art. 45) que toute équation homogène

yiS.,S,,S3,SJ=:0

représente une surface anallagmatique par rapport à la sphère orthogonale aux quatre sphères (S,) , (S,) , (S,) , (S,) . Comme de l'équation (34) on peut éliminer, au moyen de l'identité (26) qui relie les cinq quantités S,% une quelconque de ces quantités, on reconnaît immédiatement que la cyclide sera anallagmatique par rapport aux cinq sphères (S^) . La même conclusion s'appliquerait à toute équation homogène

qui représente, quelle, que soit la forme de la fonction y , une surface anallagmalique par rapport aux cinq sphères (S<) .

Revenons aux cyclides. Quand on fait, dans l'équation (34), À = Éf,-, la surface se réduit à une sphère double (S,), ou plutôt à la portion de cette sphère, limitée par la focale. Quand À s'approche de a^ , par exemple, l'intersection de la cyclide et de la sphère (S,) s'approche de la courbe limite

^ fl, — a, a. — a^ «i — <^> ûf, — a» On aurait de même les cinq autres focales.

Du système de coordonnées curvilignes formé avec les cyclides homofocales et orthogonales.

Il résulte, des remarques précédentes et du théorème de M. Dupin, que les lignes de courbure d'une cyclide quelconque sont algébriques et se trouvent à 1" intersection de cette surface avec les cyclides homofocales. On saura donc déterminer les lignes de courbure des cyclides les plus générales.

Parmi les cyclides du système orthogonal (34), il y en a trois qui sont seulement du 3® àegvé. En effet, dans l'équation (34), le coefficient de (a;'-^ y^ -j- z')' est

II sera nul pour les trois valeurs de X satisfaisant à l'équation

On saura donc déterminer les lignes de courbure des cyclides du 3* ordre.

Le système des cyclides homofocales donne naissance à un système de coordonnées curvilignes, analogue à celui des coordonnées elliptiques, dont Lamé, Jacobi, Liouville ont fait un si heureux emploi. On sait que Lamé a démontré le premier que le système des coordonnées elliptiques est le seul qui se compose de trois séries de systèmes isothermes. Le système que nous allons étudier ne possède donc pas cette propriété ; mais il se rapproche par toutes les autres du système des coordonnées elliptiques.

Appelons p , p, , o^ les paramètres des trois cyclides homofocales passant en un point de l'espace. Ces paramètres seront des racines de l'équation

DE r.OURBES KT DE SURFArr-S ALCftBRÎQl'KS. 14Î

Si, après avoir chassé les dénominateurs, on appelle M le coefficient de /' dans l'équation précédente, on aura l'identité

(36) yM^

Posons, pour abréger, (37) ^(>)^(>__«,)...(i^,j.

Si nous décomposons le second membre en fractions rationnelles, et que nous égalions les coefficients des termes semblables dans les deux membres, nous obtiendrons

Posons encore.

et l'équation (38) pourra s'écrire

Ces équations donnent bien les quantités S, , ou plutôt leurs rapports; mais il faut en déduire les coordonnées ordinaires X ,y , zen fonction de fj ,p^ , p, .

A cet effet, nous remarquerons que les formules (31) , (32) conduisent aux suivantes.

j Tw-^""^ 1^-='^ S#=-

qui donneront x ,y , z , quand les rapports des quantités S.seront connus.

On en déduit ici

Là H<

La dernière de ces équations fera connaître V\\ , et les autres détermineront ensuite a:; , ?/ , - en fonction de o , o, , p, . Notons aussi la formule

2 Z Ri

qui donne le carré de la distance à l'origine des coordonnées, et qu'on déduit de la dernipre des équations (41j.

\près avoir trouvé les expressions des quantités S, et des coordonnées ordinaires .t , ?/ , : en fonction de p , ,o, , p, , nous allons donner la formule relative à la distance de deux points infiniment voisins.

Cette formule, calculée par les procédés connus, est la suivante,

{p — Pi)(p — F*)

dp*

{pi — p) (h— Pi)

fip)

{p*—p)(^t~pJ fipù

fip.)

dp:

On voit qu'elle ne diffère de l'équation analogue relative aux coordonnées elliptiques que par le degré de la fonction /(À) et

ai? COURBES ET DE SriiFACRS ALCÉOrt!QlIK&. 443

par la présence du facteur x^, dont nous avons déjà donné la valeur. Les formules principales étant établies, nous pouvons passer aux applications.

Applications aux cyclides horaofocales.

Les surfaces composant le système s'obtiennent en donnant à Tun des paramètres une valeur constanie. Les cinq valeurs remarquables p = a, donneront les cinq sphères orthogonale?. Pour p = fl, , S, étant nul, d'après les formules (40), on obtiendra tous les points de la sphère (S,) .

Donnons à p, , par exemple, une valeur constante a, nous obtiendrons une cyclide quelconque, et la formule (44-) deviendra

(45) ^J£^,,-j<h:k=^^ii^^n.

— ™ L fip) i^PÔ J

La forme même de cette expression de ds* nous apprend que les cyclides peuvent être divisées en carrés infinimeni petits pur leurs lignes de courbure. En d'autres termes, les lignes de courbure forment un système de lignes isothermes orthogonales (*). Il suit encore de la forme de l'équation précédente qu'on saura déterminer les lignes de longueur nulle tracées sur la cyclide. Leur équation est

{•) M. ô. Bonnet a proposé d'appeler tous les syslènres de lignes jouissant de cette propriété des systèmes i$omélriqms. \\ me parait préférable de leur conserver le num de lignes isothermes. J'ai démontré, dans le cours que j'ai eu l'honneur de faire en 18G6 comme suppléant de M. Bertrand au Collège de France, que, si l'on étudie la distribution de la chaleur en tous les points d'une surface iuliniment mince, supposée partout de même épaisseur, les systèmes de lignes précédents sont effectivement des systèmes isothermes.

J44 suu l;nf, classk rrmarqi'amlf,

La développable focale, enveloppe du système, est îe lieu des points de l'espace pour lesquels deux des trois paramètres p , p, , p, deviennent égaux. Faisons, par exemple,

p. — pi .

La formule (44) nous donnera, pour tous les points de la développable focale,

La forme de rfs* est bien celle qui a été indiquée dans la Première Partie (art. 5).

Cette développable coupe chaque cyclide du système suivant 16 droites et la touche suivant une ligne de courbure exceptionnelle. En effet, considérons la cyclide ps==a. Elle aura avec la développable enveloppe deux séries distinctes de points communs : 1° ceux qu'on obtiendra en faisant f'=pi ; S'' ceux qui correspondent à la valeur de p (ou de pj

Ces derniers points sont évidemment sur la courbe limite» ligne de courbure singulière, intersection de la cyclide avec la surface infiniment voisine du système. Quant aux premiers points, je dis qu'ils sont sur 10 droites.

En effet faisons û = p, , p, = a dans les formules qui donnent H, ; ou aura

Les cinq quantités H, deviendront, par conséquent, des fonctions linéaires de o , et, par suite, on obtiendra, pour les coordonnées ordinaires x , y , z, des valeurs de la forme

K + pû

X = ~ — ^ , etc.

Lorsque js variera dans ces formules, elles donneront tous les points d'une ligne droite. Il y aura 16 droites coirespon-

DE (^(tURBKS ET PE SURFACES ALGÉBRIQUES. i4S

dantes aux différenles combinaisons des signes des radicaux H,. Ces 16 droites sont évidemment les enveloppes des lignes de courbure.

Cependant, si a était égale à une des quantités a, , la cyclide se réduirait à la sphère (S.) ; un des radicaux H, serait nul, et on ne trouverait plus que 8 droites. Ces 8 droites sont les enveloppes des courbes cycliques homofocales suivant lesquelles la sphère (S.) est coupée par les surfaces du système.

La doveloppable focale coupe donc la sphère (S,) : l*' suivant le cercle de l'infini, qui est une ligne octuple de la déveioppable ; 2° suivant 8 droites ; 3" suivant la focale située sur (S.), qui est une des courbes doubles de la développable.

Enfin, l'arête de rebroussement de la développable focale est le lieu des points de l'espace pour lesquels les trois paramètres p, p, , p, prennent une même valeur p. On aura donc, pour tous les points de cette courbe,

[~/r{aoJ=U\a,-p);

et si entre les cinq équations que comprend cette formule, on élimine

on trouvera trois équations de la forme

et convenant à tous les points de l'arête de rebroussement. Nous voyons d'ailleurs^ d'après la formule qui donne ds\ que l'arc élémentaire de cette courbe est nul, ce qui est conforme aux résultats de la Première Partie (art. 5).

On pourrait déduire des calculs précédents les équations de la développée sphérique d'une cyclique. En effet, on a vu (art. .5) que le cône ayant pour sommet, le centre d'une

sphère (S) et pour base la cxirhe de rebroussement (R) d'une développable foccile (F) coupr la sphère (S) suivant la développée sphériqup de riiitersection de (F) et de (S) . En appliquant ce résultat à char-une des sphères dlfectrices, on aura les développées sphériques des cinq focales.

Bien qiie les calculs soient des plus simples, nous nous dispenserons de les développer.

Application des formules relatives aux cyclides à la surface générale da 3' ordre, et à la surface du 4* ordre à conique double.

Les formules (42), où x , ij , i représentent les coordonnées ordinaires d'un point, peuvent être rendues plus symétriques par rintpoduction des coordonnées homogènes. Posons

elles deviendront

Si l'on donne à p, une valeur <iUeIconque, on obtient des formules du type suivant,

iiK r.OUKRKS ET DE SlillFACRS AI.Gf.BRlOLKS. 14'

qui donnent les coordonnées iioniogèncs d'un point de la cyclide en fonction de deux paramètres o , o^ . Les coefficienU A. , B, , G, , D. ne sont pas quelconques, et sont liés pur de nombreuses relations. Mais, si Ton effectue sur la cyelide îa transformation homographique la plus générale, les fonnuies précédentes conserveront leur forme, et il n'y aura plus aucune relation à établir entre les constantes qui y figurent. Donc

Les formules (49) déterminent en fonction de deux paramètres les coûrdormées homoyènes d'un point quelconque d'une surface générale dd 5' ordn ou d'une surface du A- ordre à conique double.

Bien que Thomograplue introduise 16 constantes, et que les formules primitives en contiennent plus de 4, il peut paraître douteux que les formules (4-9) ne conviennent pas à une surface plus générale que la suifaco du 4" ordre à conique double. La démonstiatiou directe suivante lève toutes les difficultés.

Désignons par X, le radical K(cff — f.) {a. — p, ) . Les cinq radicaux ainsi obtenus satisfont évidemment à deux équations de la forme

as SUK UNE CLASSE iiFM^ROUAKLK

Cela posé, introduisons une ineoiinue auxiltaire À. de la forine

À— lE^X, .

De cette derrière équation et nos formaics (49) on déduira, l^iour les quantités X, , des expressions de ia forme

où P, désigne une fonction (inéaire de X , Y , Z , T, et m, une constante. En portant ces vrtleurs dan^s les identités (50), on obtiendra deux équations de la forme

(52) «, -H «, y 4- i* -— 0 , V,-^ V, À + A, zrr 0

OÙ tt, , V, , M. , u, sont des fonctions homogènes du second et du premier degré en X j Y , Z , T . ïl reste à éliminer À entre ces deux équations, ce qui conduit évidemment à réquation d'une surface du ¥ ordre à conique double (').

Revenons aux formules (49;. A cause des doubles signes des radicaux, à chaque système de valeurs de p, p, correspondent Î6 points de la surface dans le cas de la cyclide. Ces lu points forment un polyèdre anallagmatique par rapport aux cinq sphères directrices.

Pour faire disparaître Pambiguité provenant de ces doubles signes, on peut adopter le moyen suivant.

Introduisons, au lieu de p .p, . les variables définies par les équatioii.s

P et p, seront des fonctions ultraeliiptiques de m , w, , et l'on reconnaît dans chacun des radicaux qui figurent dans les formules (49) les fonctions A^ de M. Weierstrass. Ces fonc-

',' Un mode semblable de dérr.onsiraiion, appliqué ;iu cas où les formules contiennent n radicaux au lieu de 5. montrerait que la surface correspondnnte c.-t, e»! général, de l'ordre î"-'.

DE COURBES ET DE SURiACi S ALCÉBRJO'JES.

tions sont aiiiformes et remplacent les sin am , cos am , l\,am de îa théorie des fonctions elliptiques. Nous allons d'abord montrer l'analogie des formules ppécédentes avec celles qui ont été trouvées pour les courbes du 3* ordre par M. Aronhold, et qui ont permis à M. Clebsch d'établir un lien entre la théorie des fonctions elliptiques et celle des courbes du 3* ordre.

En effet, il résulte de tout ce qui précède que, si dans les formules (49) on donne à p^ une valeur annulant un des radicaux, «5 par exemple, les formules qu'on obtient conviennent à la transformée homographique d'une cyclique, c'est-à-dire soit à une courbe plane générale du 4^ degré à deux points doubles ou du 8® degré, soit à l'intersection de deux quadriques. Or ces formules sont de la forme

On peut évidemment, par une substitution de la foiine

rendre rationnels trois des radicaux, et ramener les formules (53) à la forme

X = A 4-B A^ C À^ f D y'à , Y = A' 4-B'X-t-C'>.» + D' Ka ,

T ---^ A'4-B A i-C"A^-t D" yl ,

IVvi Sl.R U^E CLASSE KEMARQUABLE

011 A ù^^'ign€ un polynôme du 4* degré en À, et qui a été employée par MM. Arunhold et Clebsch (^).

Les formules (53) et (5/*) sont évidemment équivalentes; mais, sous leur première forme, ces équations ont une analogie maaifestc avec celles que nous avons données pour les eycliJes, et quo nous avons étendues, notamment à toute surface du 3" ordre. On doit donc penser qu il y a entre la lliéorie des fonctions ultraelliptiques et celle des snrlaces du 3° ordre un lien tout à fait semblable à celui qui existe entre les courbes du 3^ degré et les fonctions elliptiques. Dans un autre travail, Fauteur se propose de développer quelques résultats qu'il a obtenus dans fétude de ces relations.

Enfin nous remarquerons aussi que les formules (-iO) mettent en évidence 10 droites de la surface. Si Ton y fait ;-^=p, , les radicaux deviennent des carrés parfaits, et les coordonnées deviennent des fonctions linéaires de p, qui peuvent prendre 16 formes différentes, par suite des doubles signes des radicaux. Nous démontrerons d'ailleurs que les cyclides du 4^ ordre n'ont pas plus de 16 riroites.

' Ctebsch : Ucbor einen ?alz von Steiner und eini^'e Punktt; der Théorie •1er Curvoi driLler Oidnung. Journal Je boichardt, t. LXllf, \) m.

DE COURBES ET i)li SURFACES ALGÉBHCQLKS- 151

CmQUiÈME PARTIE.

Étude géométrique des cyclides^

D«3 focales singulières et des sections circulaires.

Nous nous proposons d étudier ici, en tenant compte pour plus de rapidité de quelques résultats déjà établis, les propriétés géométriques des cyelldes. Nous déinoutrerons les propositions dues à MM. Moutard, Laguerre, du la Gournerie, et nous ajouterons quelques propriétés qui nous paraissent nouvelles.

Nous avons vu que la cyclide peut être considérée comme l'enveloppe des sphères, ayant leur centre sur une quadrique (A) et coupant à angle droit une sphère (S) . Pour avoir les points de contact de l'une des sphères variables, de centre M , avec la cyclide, il faut (art. 42) abaisser du centre de (S) une perpendiculaire sur le plan tangent eu M à (A) . Cette droite coupe la sphère, de centre M, en deux points m ,m\ qui sont les deux points de l'a cyclide correspondants au point M . Les droites m M , m'U sont donc les normales de la cyclide en m , m'.

Cette détinition des cyclides donne immédiatement leurs focalcL. ordinaires, mais elle fait connaître aussi, comme l'ont montre MM. Laguerre et de la Gournerie, les focales singulières de la cyclide.

Soit en ^ifet m un point de la cyclide situé sur le cercle de l'infini, et soit M le point de la déférente (A) auquel il corres-

152 SliR UNE CLASSE REMARQIJABLE

pond. Le plan tangent à (A) en M doit être perpendiculaire à Om ; il contiendra donc la tangente en m au cercle de Tinfini.

D'ailleurs, ce plan, tangent en M à la déférente, sera aussi tangent en m à la cyclide, puisqu'il est perpendiculaire à la droite Mm , qui doit être normale en m à la cyclide. On a donc le résultat suivant :

Les plans tangents à la cyclide en tous les points du cercle de rinfini sont aussi tangents à la déférente. En d'autres termes, les focales singulières de la cyclide sont les focales ordinaires de la déférente. Cela explique pourquoi, dans les cinq modes de génération, les cinq déférentes ont les mêmes focales. La proposition précédente s'étend d'ailleurs à toutes les anallagmatiques.

On peut rendre compte aussi d'une manière très simple, comme l'a fait M. Moutard, de l'existence des sections circulaires. En effet, toutes les sphères orthogonales à (S) et ayant leurs centres sur une même génératrice rectiligne de (A) contiendront toutes un même cercle, appartenant à la cyclide. Ce cercle est dans un plan mené par le pôle 0 perpendiculairement à la génératrice rectiligne, et, comme il y a une deuxième génératrice perpendiculaire à ce plan, il coupera la cyclide suivant deux cercles. L'enveloppe de tous les plans tangents doubles d"une même série est un cône supplémentaire du cône asymptote de la surface (A).

Des relations entre hs cinq modes de génération des eyclides.

Proposons-nous le problème suivant : Etant donné un des modes de génération, c'est-à-dire une surface (A) et la sphère (S) correspondante, déterminer les autres surfaces déférentes et les sphères directrices qui leur sont associées.

Nous remarquerons d'abord que, si Ton construit la développable |(A)(S^ , la courbe de contact de cette développable et de la sphère appartient évidemment à la cyclide, et celle-ci

DE COURBES ET DE SUnFAGES ALGÉBRIQUES. 453

coupe normalement la sphère en tous les points de cette courbe. La développable précédente a pour lignes de striction quatre coniques (K,) , (K,) , (K,) , (K^) , qui sont dans les faces du tétraèdre conjugué commun à (A) et à (S).

Soit (K.) l'une do ces coniques, et a un de ses points. Deux génératrices de la développable viennent passer en a , savoir, at.at', tangentes en < et f à la sphère <^S) . La sphère de centre a et de rayon at-.= at' sera donc normale en l ,t' à la sphère (S), et tangente à la cyclide en ces deux points.

Il suit de là que toutes les sphères décrites des différents points de (K.) comme (.entres et orthogonales à (S) seront des sphères doublement tangentes à la cyclide, et, comme elles forment une suite continue, elles feront partie d'une des séries inconnues de sphères doublement tangentes. Donc, il y aura quatre surfaces (A,) homofocales à (A) et contenant chacune une des coniques de striction (K.) de la développa bl«^ | (A) (S) | . Ces quatre surfaces sont les déférentes cherchées.

11 reste à déterminer la sphère directrice correspondante a chaque surface. Or, les sphères, ayant leur centre sur la conique (K.) , et coupant (S) à angle droit, coupent aussi à angle droit la sphère (S,) . décrite du pôle de ce plan comme centre et orthogonale à (Sj .

Cette sphère est la seule qui soit en même temps orthogonale à (S) et aux sphères ayant leur centre sur (K.) . C'est donc la sphère directrice. Ainsi

Les quatre sphères directrices (S,) ont pour centres les sommets du tétraèdre conjugué aux deux surfaces (A) , (S) . La sphère correspondanle à la conique (K.j a son centre im pôle du plan de (K,).

On peut encore déterminer les sphères de la manière suivante :

Soit (A,) la surlace passant par (K.) , et (S,) la sphère correspondante. Le plan radical de (S) et de (S,) est le plan de ia conique (K.) . On voit que ce plan coupe (A,) suivant une conique (K.), telle que les trois surfaces

i^k SUR WF. CÎ-ASSK RE>tAhQl\KLE

soient inscrites daiië une même dëveloppablo. De même, eu égard à la syniétne des deux modes de génération, il ctaipera (A) suivant u/ie conique (H) , UWt. que les trois surfaces

CHl . (A,) , (5,)

soient inscrites dans uno même développable.

Il ^uW de la 'jii'i] y aura une splu-Te inscrite dans la déveioppûble \{K) {\i}\ , et celfe spliére sera (S<) , qu'il s'agis'?ait de déterminer.

t.es belles reiatjons siont dues à M. Loguerre (') , qui les a données sans dAmonstration.

Clâ&iiûcation hs cyclides.

La classification des cyclides s'effectue .sans difficulté, d'après la nature des locales ordinaires et sm^ilières.

1° Si la surface déférente est une sphère, on a la surface de révolution engendrée par les. ovales de Descartes tournant autour de leur axe focal. Le cercle de Tmlini est cercle de rebroussejuent,

^y Si la surface déférente est dépourvue de centre, une des focales singulières e.-t rejetée à l'infini. Nous verrons que, dans ce cas, la cyclide est du 3* degré.

3 Si la déférente est de révolution, la focale ordinaire est doublement tangente au cercle de l'intinj. Nous l'avons appelée carLcsienne; nous conserverons le même nom à la cyclide.

4° Si la déférente est tangente à la sphère directrice, ou si cette sphère se réduit à un point (nous verrons que ces deux cas se confondent), la focale ordinaire a un point double, qui

(') Sur iiuelqiics propiitHés des surfaces anallagmatijues Bullelin de la iioa'été Phihmalhique, 1863.

DE COURUES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES, i55

est an point conique de la cyclique. Celle-ci est une podaii^ ou réciproque de cette quadrique.

5* Si la déférente est doublement tangente à la sphère, la cyclide est, en général, la réciproque d'un cône et a deux points doubles.

0" Si le cône du second degré est de révolution, la cyclide réciproque a généralement quatre points doubles. C'est la cyclide à lignes de courbure circulaires de M. Dupin.

Telles sont les divisions principales. Les trois premières sont établies d'après la nature des focales singulières, les dernières d'après celle dos focales ordinaires. Nous allons rapidement passer en revue ces différentes classes.

Quand la déférente (A) est une sphère, la cyclide est de révolution; elle est engendrée par les ovales de Descartes tournant autour de leur axe focal. Tout plan la coupe suivant des ovales de Descartes , toute sphère suivant une cartésienne.

Les sphères inscrites dans la surface couperont toute sphère sécante suivant des cercles doublement tangents à la section (^).

se.

De la cyclide du 3® degré.

Si la surface du second degré est dépourvue de centre, les résultats que nous avons établis subissent quelques modifications, que nous allons étudier. D'abord, la cyclide est seulement du 3® degré.

En effet, prenons une des deux séries de plans parallèles coupant la déférente suivant une seule droite. A chacune de ces droites correspond un cercle situé dans un plan perpendi-

(') On pourra consulter un arlicle de l'auteur { Nouvdles Annales de Mathématique!:, 1864), où se trouvent quelque? Ihéoronies relatifs à celte surface.

culaire à la droite, et les pians de tous ces cercles se coupent suivant une droite d , perpendiculaire à la série de plans parallèles coupant la déférente suivant une seule génératrice. La droite ô , contenant une infinité de points de la cyclide, fera partie de la surface. La cyclide passe donc par le pôle, et contient deux droites (>,<?', perpendiculaires aux plans directeurs de la déférente. Le plan de ces deux droites coupe la cyclide suivant une troisième droite rejetée à linfini, et tous les plans passant par Tune ou l'autre des droites d ,è' coupent la surface suivant un cercle. La cyclide est donc du :¥ degré, et nous pouvons énoncer, sans insister davantage, Ifs propositions suivantes :

Quand la cyclide est du S' degré, elle contient une droite dans le plan de Vïnfini, on mène les cinq plans tangents triples qui passent par cette droite; tes points de contact de ces plans tangents sont les cinq pôles de la surface. En chacun de ces pôles se croisent deux droites de la surface, en tout iO droites, par lesquelles passent tons les plans coupant la cyclide suivant des cercles,

La cyclide contiendra en outre une série de sections coniques situées dans des plans parallèles, qui contiennent la droite à l'infini sur la surface.

On sait que toute surface du 3* degré a 27 droites. Nous trouvons les 16 qui nous manquent, et qui appartiennent à toute cyclide, même du 4® ordre.

Des podairés ou réciproques de quadriques.

Considérons maintenant le cas où la déférente (A) est tangente à la sphère (S) . Le tétraèdre conjugué commun a deux sommets réunis au point de contact des deux surfaces. Les deux sphères directrices correspondantes se réduisent à un point; leur centre ommun est le peint de contact de (Â) et de (S) . Ainsi, une des sphères directrices se réduit à un point 0 .

DE COtftftES FT DE SLRFaCKS ALGÉBRIQUES. 487

Soit (A,) la déférente associée à ce point-sphère. La cycUde sera l'enveloppe des sphères ayant leur centre sur (A,) et passant par le point 0 . Elle sera donc le lieu des symétriques du point 0 par rapport aux plans tangents de (A,). Le lieu ainsi formé est évidemment homothétique à la podaire de (A,) par rapport au point 0 . Donc

La cyclide est une podaire de quadrique.

On sait d'ailleurs que les podaires de quadriques sont aussi les transformées par rayons vecteurs réciproques d'autres quadriques.

Appliquons notre règle générale pour obtenir les différents modes de génération.

Les quatre lignes doubles de la développable \ (A,) (S)] deviennent ici : 1° la courbe de contact du cône circonscrit à (A,) et de sommet 0 ; 2» les trois couples de focales de ce cône. Les cinq modes de génération seront formés :

1°, 2° Avec (A,) et le point-sphère 0, ce mode comptant pour 2 ;

3*, 4*, 5» Avec chacune des trois surfaces homofocales à (A J passant par 0 ; les sphères directrices seront tangentes en 0 à la déférente qui leur est associée, et auront leur centre dans le plan [olaire de 0 par rapport ;\ (A,) .

Analytiqueinent le cas actuc) corr.^spond à une racine double de l'équation en 1 de l'article A"^.

Si la quadrique (A) se réduit à ur:e conique infiniment aplatie, située dans un plan (P) , alors les sphères ayant leurs centres sur cette conique passeront par deux points fixes symétriques par rapport au plan de la conique, et seront tangentes à la cyclide en tous les points d'un cercle. L'hypothèse que nous examinons est évidemment la seule dans laquelle les sphères soient inscrites à la cyclide suivant un cercle. Car le lieu des centres d'une telle suite de sphères doit être une courbe, et par conséquent une conique. Et d'ailleurs, si elles coupent à angle droit une sphère quelconque (S), elles coupent aussi à angle droit toutes le.- sphères passant par Flntersection

io8 SUR UNR CI.A>SE: llliM/UlUUABLE

de i^S) et du plan dps centres, r est-.Vdiif qu'elles contiennent toujours deux points réel;» ou imaginaires. Ces deux points sont des points coniques de la cyclidf^. En transformant la cyclide par rayons vecteurs réciproques ei ntettant le pôle en un de ces deux points, on auca une (juadrique à point double, c'est-à-dire un cône général du secîjnd degré. Donc

Les cyclides à deux points doubles sont les réciproques des canes du second degré.

Remarquons toutefois que ia transformation par laquelle on déduit le cône de la cycIide n'est pas nécessairement réelle.

Soit (A) la conique déléiente. <> le point commun à toutes les sphères, et 0, le symétrique de 0 par rapport au plan de (A) , Les trois nouvelles délerentes seront les surfaces ayant (A) pour focale, et passant en 0 ,0, . Les sphères directrices seront taiigenles en 0,0, à in déférente qui leur est associée, et auront leur centre dans le plan de (A); elles couperont par conséquent leur déférente suivant deux cercles. Ainsi les focales de la cyclide seront les six cercles ayant leurs centres dans le plan de (A) et appartenant aux trois surfaces homofocak'S qui passent en 0,0,. Ce fait donne lieu à la remarqu'^ tuivaute.

La cyclide étant la réciproque d'un cône, les focales de la cyclide sont les transformées des C droites focales du cône. Co sont par conséquent des cercles; mais, comme les focales du cône sont situées trois à trois dans (juatre plans tangents au cercle de rinllui, nous voyons que les six cercles focaux de la cyclide sont trois à trois sur quatre sphères de rayon nul. En rapprochant ce résultat du précédent, nous obtenons la proposition qui suit :

Les six cercles de trois quadriques homofocales qui passent par un point commun et qui ont leurs centres dans le même plan principal sont situés trois a trois sur quatre sphères de rayon nul. Ces quatre sphères sont des points de la focale située dans le plan principal considéré.

DE rOCRBES ET DE SLRFACeS ALGÉBRIQUES. 159

Il est à remarquer que les tangentes à la cyclide en un des points coniques 0 , 0, forment un cône supplémentaire du cône de môme sommet, ayant !a conique déférente (A; pour hase. Ce dernier cône est donc supplémentaire du cône réciproque de la cyclide à deux points doubles (*).

De la cyclide de M. Dupin, ou cyclide à quatre points coniques.

Parmi les réciproques de cônes du second degré se trouvent le tore et la cyclide de M. Dupin, qui sont les réciproques des cônes de révolution du second degré. Ceci nous conduit à préciser les conditions dans lesquelles on obtiendra la cyclide de M. Dupin.

Supposons qu'on prenne une conique déférente quelconque (A) , mais que la sphère directrice (S) soit tangente en

") Dans la classe que nous éludions, et qui est caractérisée par cette propriété, que la déférente et la sphèr»^ directrice soient fioublement tangentes, il tixibie une espèce remarquable de cyclides que, dans celte étude générale, nous laissons de côté. Ce ;ont les cyclides de révolution qui peuvent être considérées cdnime ayant pour déférente une surface de révolution, et pour sphère directrice une quelconque des sphères coupant suivant deux cercles parallèles cette surface de révolution. La directrice et la ûéférenie sont bien doublement tangentes, mais en deux points sur le cercle de l'inflni. Quand les cyclides à deux points doubles considérées dans le texte ont ces deux points doubles imaginaires, le cercle lieu des poinis à distance nulle des deux poinis doubles est réel, et en mettant le pôle de transformation eu un poiiiL quelconque de ce cercle, la cyclide se transforme en une cyclide de révolution.

Toutes les cyclides réciproques de cônes ou de cyclides de révolution sont définies par une équation de la forme

ft / ;- a' i' -f a' f =: 0 ,

entre les tangentes menées à trois quelconques des sphères inscrites. Quatre de ces sphères se réduisent à des points réels ou imaginaires, qui sont sur le cercle déjà considéré, lieu des points à distance nulle des deux points double.^!.

160 SUR UNE CLASSF. REMAROLaBI.E

deux points a , a' à la conique (A) . Les deux points-sphères 0 , 0, de Tarticle précédent étant doublement tangents en a , a' à (A), seront des points de la focale (A,) de (A); le cône de sommet 0 et de base (A) sera de révolution, et par suite, d'après les résultats de l'article précédent, la cyclide sera une réciproque de cône de révolution.

boite, la cyclide de M. Dupin est fenceloppe des sphères dont tes centres décrivent une conique quelconque (A) et qui passent par un point de la focale (A,) de cette conique, ou, plus généralement, qui sont orthogonales à une sphère quelconque doublement tangente à (A).

Cette cyclide a évidemment quatre points doubles 0,0,, a , a', dont deux au moins sont imaginaires, mais qui peuvent l'être tous : 0 , 0, et a , a' sont alors deux à deux imaginaires conjugués. Le eùne de sommet 0 et de base (A) étant de révolution, la cyclide sera la réciproque d'un cône de révolution; mais la transformation ne pourra pas toujours se faire d'une manière réelle. Voyous ce que deviennent ici les cinq modes de génération de toute cyclide. On a

1°, 2° Conique déférente (A) , sphère directrice réduite à un point 0 ou 0, , ou toute sphère tangente en a , a' à (A) . Ce mode compte pour deux;

3°, 4** (A,) Conique focale de (A) déférente, sphère directrice réduite à un point a ou a', ou toute sphère tangente en 0 , 0, à (A,) . Ce mode compte aussi pour deux;

5° Déférente, la quadrique ayant (A) et (A,) pour focale, et passant en 0 , 0» , a , a' , qui sont des ombilics de cette surface; sphère directrice, la sphère tangente en 0 , 0, , a , o' à cette qnadrique et la coupant suivant les^ droites Oa , Oa', 0,a , 0,a'.

Ainsi, la cyclide de M. Dupin, ou cyclide à quatre points doubles, admet deux séries de sphères inscrites dont les centres décrivent deux coniques focales Tune de l'autre; elle a quatre points doubles, situés par couples sur ces deux focales 0 , 0 et a , a' et contient les quatre droites de longueur nulle qui joignent 0 , 0, à a , a'.

DE COl'RBES ET DE SL'RKACKS ALGÉBRIQUES. Î6i

De plus, elle admet une série de sphères doublenuint tangentes, dont les centres décrivent une quadrique quelconque,et qui sont orthogonales à une sphère fixe. Cette sphère est tangente à la quadrique en deux de ses ombilics, et par conséquent la coupe suivant quatre droites qui forment un quadrilatère dont les sommets sont les quatre points doubles de la eyciide.

Nous avons vu que la cyclide est la réciproque d'un cône, et cette propriété rend, pour ainsi dire, évidentes toutes les propositions relatives à cette surfac-e. Mais on peut aussi, comme Fa fait M. Mannheim ('), considérer la cyclide comme la transformée d'un tore. Nous savons qu'un au moins des couples 0 , 0, et a , a' de points coniques de la cyclide est imaginaire. Si a et a' par exemple sont imaginaires, le cercle lieu des points à distance nulle de a , a' sera réel. En prenant le pôle en un point de ce cercle, la transformée de la cyclide sera un tore, car les cercles qui passaient en a , a' auront après la transformation leurs plans parallèles. Donc,

Pour transformer la cyclide en un tore, i[ faut placer le pôle de trîjnsformation sur un des deux cercles lieux des points à distance nulle soit de 0 et de 0, , soit de a et de a' , Ces deux cercles peuvent être réels tojis les deux (quand les quatre points doubles sont imaginaires). Il y en aura toujours au moins un qui sera réel.

Ainsi, on peut toujours déduire la cyclide du tore par une transformation réelle.

Nous n'étudierons pas la cyclide d'une manière plus détaillée, et nous indiquerons seulement la proposition suivante : Il y a une cyclide à trois plans de symétrie. Étant donné un cône de révolution, transformons-le par rayons vecteurs réciproques, et prenons le pôle 0 de transformation dans le plan principal perpendiculaire à l'axe. La

(«) Màmkheim : Application de la transformation par rayons vecteur!» réciproque» à l'étude de la surface enveloppe d'une sphère tangente à trois surfaces données. [Nouvelles Annales ds Malhémaliques, 1800, p. 67.)

162 SL'H UNF CI.ASSK lïKMABUDAflLE

cyclide réciproque aury Irois pians »ie symétrie : 1" le plan principal contenant le pôle 0; 2° le plan passant par ce pù!e et par l'axe de révolution; 3^ le plan récipi'Oijue de la sphère concentrique au cône et pas>sani en 0 .

L'équation de cette cyclide serait de la forme

Nous venons d'énuraérer dans cet article et dans le précédent les surfaces dans lesquelles on peut inscrire des sphères. On peut être surpris de ne pas voir figurer parmi ces surfaces les réciproques des surfaces de révulution. Cela tient 5 un fait général :

Toule surface réciproque d'itna surfoc^. de revolulion est aussi une réciproque de cône.

En effet, toutes les sphères inscrites dans une surface de révolution ont leurs centres en ligne droite, et coupent à angles droits tous les plans passant par Taxe. On voit donc que les sphères réciproques couperont à angles droits toutes les sphères passant par uri cercle; en particulier, elles contiendront les deux sphères de rayon nul pas^^mt par ce cercle. Ainsi, la surface réciproque sera l'enveioppe d'une s'uite de sphères passant par deux points fixes (imaginaii-es), et, en plaçant le pôle de t'^ansformatioîi en un de ces points tixes, elle 30 transfoi'niera en \\n cône (').

D-;s cyclides ayant pour déférentes les surfaces inscrites dans la spîière.

Enfin, si la déférente était un cône, la cyclide se réduirait à la sphère ayant pour centri' le sommet du cùne, et orthogonsle à la sphère directrice; ou plutôt, elle se réduirait à une poKion de cette sphère.

(') Les réciproques de surfaces rie révolution du second degré présentent une propriété remarquable; elles ont trois points doubles dont deux sont imaginaires.

Si la déférente est une surfuco de révolution inscrite dans la sphère, la ligne de cou tact de cette quadrique est une ligne double de la cyclido, qui se décompose par conséquent en deux sphères se coupant suivant cette ligne double, réciproques l'une deTautre par rapport à la sphère directrice. Ces sphères auront pour centres les deux foyers de la surface de révolution.

L'étude de ce cas simple nous sera très utile dans la suite; mais nous pouvons dès à présont reconnaître que les remarques précédentes sont d'une grande importance dans la théorie des surfaces inscrites à une même quadrique, théorie qui a été l'objet de beaux travaux de plusieurs géomètres, et notamment de MM. Cayley et Casey.

On voit, en effet, qu'à une série de surfaces inscrites à une quadrique (qu'on peut supposer être la sphère (S)) correspondent des anallagmatiques formées de deux sphères réciproques Tune de l'autre par rapport à la sphère (S) .

La théorie des surfaces inscriles dans une quadrique est ainsi ramenée à celle d'un système de sphères, c esl-à-dire de quadriques conlenanl une courbe fixe.

Nous allons donner quelques exemples.

Supposons que Ton propose de construire une surface inscrite à (S) et tangente à quatre plans. Les deux sphères correspondantes a cette surface devront passer chacune par 4 des 8 points correspondants aux 4 plans, ce qui donnera 8 solutions. Chaque groupe de deux sphères étant connu, on en déduira la déférente qui aura pour foyers les centres des deux sphères, et qui contiendra leur cercle d'intersection. Elle sera ainsi complètement déterminée.

Étant données quatre sphères, on sait que^ si par les intersections de ces sphères prises deux h deux, on fait passer d'autres sphères, orthogonales à une sphère fixe (S) , ces six sphères se coupent en deux points. Donc,

Étant données quatre surfaces inscrites à une quadrique, les 12 sommets des cônes circonscrits à deux de ces surfaces

(64 SUR L'NE CLASSE REM<»RQl!ABLE

sont 6 à 6 dans 8 plans. C'et-t la généralisation d'un théorème connu pour les sections coniques.

Enfin, le problème suivant :

€ Construire une quadrique inscrite à (S) et tangente k quatre autres quadriques inscrites à (S) , »

se ramène à celui-ci :

Construire une sphère tangente à quatre sphères données.

On pourrait multipliep les exemples; mais nous préférons faire remarquer que le mode de transformation indiqué ici supplée à une lacune que présente la géométrie de l'espace par rapport à la géométrie plane.

En effet, dans le plan, on peut raisonner de la manière suivante :

Soient les sections planes d'une sphère ; si on les projette d'un point de la sphère sur le plan, elles deviennent des cercles ; si on les projette d'un point extérieur à la sphère, elles se transforment en des coniques doublement tangentes à un cercle. On voit donc, dans le plan, que la théorie des courbes inscrites à une conique et celle des courbes passant par deux points sont identiques Tune à l'autre, et constituent, s'il est permis de le dire, une seule théorie vue sous deux aspects différents, celle des sections planes d'une quadrique.

Comme on n'a pas d'espace à quatre dimensions, les méthodes de projection ne s'étendent pas à la géométrie de l'espace; mais les remarques et les méthodes qui précèdent ont l'avantage de suppléer, d'une manière claire, à celles qui nous font ici défaut.

Des sec lions planes et sphériques des eyclides.

Cherchons d'abord les droites qui sont placées sur la cyclide, et qui rencontrent le cercle de l'infini. Soit $ l'une de ces droites. Elle sera nécessairement tangente â chacun des cinq cônes doublement tangents à la cyclide, et Ton pourra

par conséquent mener un plan tangent à ce cône par îa droite S .

Ce plan tangent, qui doit couper la surface suivant deux cercles, devra contenir une droite 5' qui, associée à §, puisse former un cercle de rayon nul. Nous aurons donc louies les droites de la cyclide, en examinant, dans une quelconque des cinq séries doubles de cercles, quels sont ceux de ces cercles qui se décomposent en deux droites.

Les centres de ces cercles doivent évidemment appartenir à la fois à la cyclide et à sa focale. Chaque cyclide est coupée en 8 points par une de ses focales, et par ces 8 points passent 16 droites qui appartiennent à la cyclide.

Ces 16 droites forment 8 cercles de rayon nul, dérivés des génératrices de la déférente qui sont tangentes à la sphère directrice.

Dans un Mémoire déjà cité, M. Clebsch a étudié les dispositions relatives de ces 16 droites; mais nous voyons ici que cette étude se ramène à celle d'un problème connu. Si, en effet, on transforme la cyclide par rayons vecteurs réciproques, en mettant le pôle de transformation sur la surface, elle se transforme en une cyclide du 3* degré. Les droites qui rencontrent le cercle de l'infini se transforment en de nouvelles droites rencontrant le même cercle. Donc

La disposilion des 46 droites dune cyclide est la même que celles des droites d'une surface du 3^ degré qui rencontrent une conique de celte surface (*).

Quant aux 11 autres droites de la cyclide cubique, transformée de la cyclide générale, nous les avons déjà étudiées. L'une est à l'infini dans le plan tangent à la première cyclide au pôle. Les 10 autres sont les réciproques des 10 cercles qui passent au pôle.

I*) Depuis !a présentation de ce Mémoire à l'Académie en t869, M. Geiser, de Zurich, naturelletnent Bans connaître notre travail, a développé la noème méthode dans un Mémoire inséré au Journal de Borchardt, t. LX.X , p. 249.

iC6 SLR LNE CLASSE REMARQUABLL;

Considérons maintenant les sections par des plans et des sphères ((r.clconques. Une remarque générale nous servira de guide dans Uétude de cette question.

Supposons que, étant donnée une sphère directrice, on prenne pour surface déférente une (lHvelo[ipablc quelconque. Aux plans- tangents de cette développable correspondent les points d'une courbe anallagmatique (r) . A; toute ligne tracée sur la develnppable correspondra une surface enveloppe de sphères contenant cette courbe, et chacune des sphères sera, en général, tangente à la courbe en deux points a, a', réciproques l'un de l'autre par rapport à la sphère directrice. A toute ligne double de la développable correspondra au contraire une surface enveloppe de sphères contenant la courbe (r,), et telle que chaque sphère soit tangente à la courbe en ({uatre points a , a' , 6 , />'. réciproques par couples par rapport à la sphèri? direcirice.

Cela posé, soii-nt (2) , (1') deux anallagmatiques par rapport à la même splière directrice, et soient (B) , (B') leurs déférentes. 11 est clair que, à tout point commun à (I) , {!') , correspondra un plan tangent commun à (B) , (B'), et par conséquent les points de la courbe d'intersection des deux anallagmatiques seront dérivés des plans tangents de la développable circonscrite à (Ei et à (B').On pourra appliquer à cette développable toutes les remarques que nous venons de faire. Si l'une des deux surfaces n'est pas anallagmatique, on puurra loi adjoindre sa réciproque par rapport à (S), et ces deux surfaces constitueront ainsi un système anallagmatique (il.

Soit, par exemple, une cyclide définie par la déférente (A), et cherchons son intersection avec une sphère (S') , orthogonale à (S) , de centre C. La sphère (S') est l'anallagmatique dérivée du point C; car tous les plans passant par G donnent des points de (S'). La développable circonscrite aux deux déférentes est donc le cône de sommet C circonscrit à la quadrique tA) . Donc

DE COURBES ET DE SliRVACKS ALGÉBRIQtJES. 167

Aux coniques de la déférente correspondent sur la cyclide les sections par des sphères orthogonales à (S) , et ayant leur centre au pôle du plan des coniques par rapport à la déférente.

Étudions maintenant l'intersection de deux cyclides ayant même sphère directrice (S), et ayanl pour déférentes deux quadriques quelconques (A) , (A') .

Les points communs aux deux cyclides seront dérivés des plans de la développable r(A)<^A'yi, et aux coniques doubles de cette développable correspondront quatre cyclides à deux points doubles, contenaat Tintersection des cyclides données. Nous allons étudier des cas particuliers importants.

Supposons qu'on demande de déterminer rintersection d'une cyclide et d'une sphère (U) , de centre G quelconque. Adjoignons à cette sphère la réciproque (U') par rapport à (S) et de centre G', et les deux sphères constitueront un système anallagmatique, qui admettra pour déférente une surface de révolution (B) , ayant pour foyers les centres G , G' des deux sphères, et inscrite à la sphère directrice (art. 59) en tous les points où celle-ci est rencontrée par (U) ou par (V) .

Si (A) est la déférente de la cyclide, la développable

(A) (B) I , considérée comme surface déférente, nous donnera

les points d'intersection de (U) et de la cyclide. Les quatre coniques doubles de cette développable donneront quatre cyclides enveloppes de sphères, contenant la courbe; et les sphères inscrites dans ces quatre cyclides couperont la sphère sécante suivant quatre séries de cercles doublement tangents à la section cherchée.

On aura donc les éléments nécessaires pour déterminer cette cyclide, et l'on voit que les quatre cônes ayant pour sommet le point G et pour bases les -^^uatre lignes doubles sont les lieux des centres des sphères de chaque série doublement tangentes à la courbe de section. Ges cônes sont homofocaux. Quant aux sphères contenant les focales de la section, elles coupent la sphère (S) suivant les mêmes cercles que les plans des lignes doubles correspondantes do la développable

168 Sl'R LNE GLASSF RKKAROl'ABl.E

I (A) (B) I . Comme elles sont aussi orthogonales à (U) , elles peuvent cire considérées comme déterminées.

Comme application de ces constructions, cherchons la condition pour que la sphère sécante coupe suivant une courbe située sur un cylindre. Il faudra que Tune des focales soit plane, c est-à-dire que le plan de Tune des lignes doubles de la développable ] (A) (B) | passe au point C . Car, dans ce cas, le cône qui avait pour base la ligne double contenue dans ce plan, et qui contenait les centres des sphères tangentes doubles d'une série, se réduira à un plan. Ainsi il passera par le point C, 1 , 2, 3 des faces du tétraèdre conjugué à (A) et à (B) , suivant que la courbe sera sur l, 2 ou 8 cylindres. Cherchons d'abord la condition pour qu'un seul cylindre contienne la courbe.

Soit (V) le plan passant par C et ayaiit même pôle par rapport à (B) et à (A) . Comme C est le foyer de (B) , ce pôle devra être sur une perpendiculaire élevée à (P) en C. Op, il n y a que trois plans passant par le point C et ayant leurs pôles par rapport à (A) sur une droite perpendiculaire. Ce sont les trois plans de symétrie du cône de sommet C , circonscrit à (A). Ces plans une fois connus, le reste de la construction ne présente aucune difficulté.

Une application plus intéressante consiste dans la détermination des coniques sphériques qui se trouvent sur la cyclide. Alors le point C , foyer de la surface (B) et centre de la sphère sécante, devra avoir même plan polaire par rapport à (B) et à (A) . Son plan polaire par rapport à (A) devra donc être perpendiculaire à l'axe focal OC de la surface de révolution (B) (0 est le centre de la sphère directrice). Ainsi,

Le lieu des centres des sphères coupant la cyclide suivant une conique sphérique est une courbe telle que le plan polaire d'un de ses points C par rapport à (A) soit perpendiculaire à la droite OC.

Cette courbe se rencontre dans la théorie des normales à une quadrique. C'est une cubique gauche passant par le point 0 , par le centre de (A) , ayant pour directions asympto-

DR COURSES ET ÛK SlT^fACES ALra-mHUt'i'.S. Î69

tiques les axes de {A), passant par les pieds des normales menées de 0 à (A) , ote.

Nous obtenons donc le théorème suivant :

Si des centres dos einq sphères diiectrices on abaisse des normales sur les déférentes eorrcspondantes , on obtient 30 points qui avec les 5 centre» des sphères directrices sont sur une cubique gauche ayant pour directions asvtïiptotiques les axes de symétrie des déf<5pentes, et passant par leur centre. Cette cubique gauche est le lieu des centres des sphères coupant la surface suivant des coniques sphénques.

A chaque point C de la cubique correspond une seule sphère (U) , qu'on déterminera ainsi. Soit (P) le plan polaire de C, perpendiculaire à OC. La surface de révolution inscrite à (S) , ayant C pour foyer, (P) pour plan directeur correspondant, sera la déférente de (U); (U) passera donc par le cercle de contact de cette surface, et, comme elle a son centre en C , elle est déterminée.

Parmi les sphères coupant suivant des coniques sphériques, il y en a plusieurs qui sont remarquables.

I'* Les cinq sphères concentriques aux sphères directrices, mais ayant pour rayons ceux de ces sphères multipliées par K — 1 .

2° Celles qui ont leurs centres aux pieds des normales abaissées des centres des sphères directrices sur les déférentes correspondantes. Ces sphères coupent la cyclide suivant deux de leurs grands cercles. La droite d'intersection des plans de ces cercles est donc une normale double de la cyclide.

Il y a donc cin^ groupes de six normales doubles de la cyclide.

Il est utile de savoir déterminer les points à l'infini de toute section sphérique de la cyclide. On peut construire ces points de la manière suivante :

Soit (U) une sphère sécante de centre C\

Les points à l'infini de la section sont ceux du cercle de J'inûni pour lesquels la sphère et la cyclide seront tangentes.

Les plans tangents en ces points devront passer par le centre de la sphère et être tangents à la développahle circonscrite à la cyciide sur le cercle de linfiiii, c est-à-dire à la développable focale (art. 53) circonscrite aux cinq déférentes.

Donc les points à Finfini de la section sphérique sont les points de contact avec le cercle de Tinfini des quatre plans déterminant par leurs intersections les focales du cône de sommet C circonscrit à (A) . Ces points de contact sont évidemment sur les plans perpendiculaires aux focales de ce cône.

On voit que les points à l'infini de la cyclique ne dépendent que du centre, et non du rayon de la sphère sécante.

Pour qu'ils viennent se réunir par groupes de deux, c'est-àdire pour que la cyclique devienne une cartésienne, il faut et il sufjit que la sphère sécante ait son centre sur une des focales des déférentes.

Si le rentre de la sphère s'éloigne à l'infini sur la focale, elle se transforme en un plan perpendicuiaire à l'asymptote de la focale, et ce plan coupe suivant des ovales fie Descartes.

Il if a donc six séries de sections parallèles donnant des ovales de Descartes. Deux de ces séries seulement sont réelles.

On peut encore établir ce résultat de la manière suivante :

Les deux nappes de la cyciide qui se croisent au cercle de Finfini sont tangentes l'une à l'autre en quatre points, qui sont les points de contact avec le cercle de l'infini des quatre génératrices suivant lesquelles la développable circonscrite aux déférentes (A.) est coupée par le plan de l'infini. Donc tous les plans passant par deux de ces quatre points couperont la cyciide suivant une courbe ayant deux rebroussements à l'infini; ce sera donc une cartésienne plane.

Les directions de ces sections cartésiennes sont aussi celles des sections circulaires des quadriques (V) de l'article 41 inscrites dans la cyciide.

Dans le cas où la cyciide aurait pour déférente une surface de révolution, c'est-à-dire serait une cartésienne (art. 55), les

DE COURBES ET DE SUr.FACES ALCÉBHIQUES. 171

deux séries d'ovales de Descartes réelles viendraient se confondre en une seule. Les cyclides carlosiciines correspondent donc aux surfaces de révolution de la théorie des quadriques.

Toute cyclide peut d'ailleurs être transfonnée en cartésienne par la méthode des rayons vecteurs réciproques.. Il suffira (art. 24) de placer le pôle en un point quelconque de Tune des cinq focales.

En terminant, nous nous proposerons une question en quelque sorte réciproque des précédentes : Étant donnée une cyclique, peut-on la placer sur une oyclide d'une espèce donnée, par exemple sur un tore?

Soit (D) le cône de sommet a coupant la sphère (S) de centre 0 suivant la cyclique donnée. Les sphères doublement tangentes d'une même série seront toutes orthogonales h une sphère (S') de centre c, orthogonale à ^S), et elles auront leurs centi'cs sur un cône (E) de sommet 0 , supplémentaire du cône (D) (art. 19). Pour que la cyclique soit sur un tore, il faudra que les sphères doublement tangentes de même rayon aient leurs centres sur un ou plusieurs cercles. Or toutes celles de ces sphères qui ont le même rayon auront leurs centres à l'intersection du cône (E) et d'une sphère (S") concentrique à (S') , c'est-à-dire sur une cyclique.. Ces sphères enveloppent en général une surface du 8* ordre; mais cette surface se décompose en deux tores, si la cyclique des centres se décompose en deux cercles. Il faudra donc qu'une sphère (S"), concentrique à (S'), coupe le cône (E) suivant deux cercles, et, pour cela, la première condition est que le centre a de (S") soit dans un plan principal de (E), ou, comme (E) et (D) sont supplémentaires, qu'un plan de symétrie de (D) passe au centre 0 de (S). 11 f.'ut donc que la cyclique, intersection de (S) et de (D), ait un plan-de symétrie. Cette condition, qui était évidente a priori^ est d'ailleurs suffisante.

Soient, en effet, Oa , Oa' les génératrices du ('me (E) situées dans le plan principal ; et soit Oji le diamètre conjugué

!72 SUR UNE Cr.ASSE RBMAHQUABLE

à l'une des deux séries de sections circulaires de ce cône, qui sont perpendiculaires au pian principal. Si du point a on

ab lisse la perpendiculaire ay sur la direction de la section circulaire, elle rencontre le diamètre 0§ en un point y, et il est clair que la section circulaire de diamètre aa', dont le plan passe en y, sera sur une sphère de centre a , coupant le cAne suivant deux cercles (ict,â^'.k ces deux cercles correspondent deux tores, qui contiennent la cyclique, et dont les axes sont les droites ay ,a£ , focales du cône (D) . Aux deux autres cônes passant par la courbe correspondent quatre nouveaux tores. Donc,

Quand une cyclique a un plan de symétrie, elle peut être placée sur six tores, dont les axes son!, les focales situées dans le plan de symétrie des trois cônes passant par la courbe.

On voit par la construction précédente que, si la cyclique est une cartésienne, il n'y a pas de tore contenant la courbe. Les droites ay ,0y sont parallèles, et les tores se réduisent aux trois cônes contenant la cyclique. Cette remarque sépare les cartésiennes des autres cycliques à plans de symétrie.

La question précédente a été traitée pour les cycliques planes par M. de la Gournerie dans son Mémoire, déjà cité, sur les lignes spiriques.

DE COURBES ET DE SURFACES Ai.GÉBRIQUES. 473

La détermination des cyclides à quatre points doubles contenant une cyclique ne présenterait aucune difficulté. Les points doubles de ces cyciides décrivent les focales; les coniques déférentes sont sur un des cônes contenant les focaks, et leurs plans enveloppent un autre cône contenant la même focale, etc.

Du système orthogonal formé par les cyclides homofocâles, et des propriétés d'iiEf métîiode de transformaiion déjà définie.

Nous avons vu (art. 44.) comment le mode de génération des surfaces anallagmatiques, proposé par M. Moutard, revient à un procédé de transformation des figures, dans lequel i\ un point ,a de la première figure correspondent, dans la deuiième fig^ire, deux points m , m\ par la construction suivante.

Sôit (P) le plan polaire de [j. par rapport à la sphère (S) . Les points m , m' sont les centres des sphères de rayon nul passant par r intersection de (P) et de (S) .

Quand le point ft décrit une surface (A) , le plan (P) enveloppe une surface (A') , et les deux points m , m' décrivent une surface anallagmatique ayant (A') pour déférente, (S) pour sphère directrice.

Le plan P est tangent en un point M à (A') , et comme Mm , Mm' sont Içs normales en m,w' à Tanallagmatique, nous concluons que

Les plans tangents en m , m' à tanallaymatique et le plan tangent m [j- à (A) vont se couper suivant une même droite située dans le plan (P) , et qui est la polaire du point M par rapport au cercle, intersection de (S) et de (P) .

De cette importante proposition, qui donne la construction d,es plans tangents et qui s'applique évidemment aux tangentes à deux courbes correspondantes,. nous allons déduire un principe énéral, tout à, t'ait analogue à celui de la conservation

17'l SUH UNK CLAS8K REMAP.OLAr.LI-

des ongles dans la transformation par rayons vecteurs réciproques. A cet effet, nous rappellerons quelques détinitions.

Plusieurs géomètres, et en premier lieu M. Cayley, en vue de généralisep les déterminations métriques de la géométrie, ont substitué au cercle de l'infini, dans la définition des angles, une quadrique quelconque (0) • Ktant donnés deux pîans (P) , iV) , si par leur intersection on mène deux plans tangents (Ti , (T') h la quadrique (Q) , on peut appeler angle des deux plans la fonction V détinio par l'équation

R désignant Icr.ipport anharmoniquc des quatre plans (P) ,(P'), <^T) , (T'). Si les deux plans (P) , (P') sont conjugués dans la quadrique, l'angle \ est droit, le rapport anharmonique R étant égal à — 1 .

De même, on appelle angle de deux droites une l'onction V définie par Téquation

11' étant le rapport anliarmonique des deux droites et des tangentes menées dans leur plan et de leur point de rencontre à la quadrique (Q). 11 est clair que. si les deux droites sont conjuguées dans la quadrique, leur angle ainsi défini est droit.

Les définitions précédentes concordent avec les définitions habituelles, quand la quadrique (Q) devient le cercle de Tinfini. Pour distinguer les angles tels que nous venons de les définir, nous les appellerons angles par rapport è la quadrique (0) .

Cela posé, la transformation que nous étudions possède une propriété fondamentale : elle conserve les angles, c'est-à-dire que les angles de la première figure, mesurés par rapport à la sphère (S) , sont égaux aux angles ordinaires de la seconde.

Soient, en effet, yt , y-t' les tangentes à deux courbes pas-

sant en y. et allant roircontrer en deux points f , f le plan polaire (P) de y-. Les tangentes en m aux deux courbes anallagmatiques correspondantes iront rencontrer les premières tangentes aux deux points f , T. LVailieurs la droite//' coupe la vSphère en deux points a , a' et il est clair que les deux faisceaux de quatre droites

m. t m r , ma . ma' , [j-t , lit' , ua , u.a'

ont le même rapport anharmonique R .

Mais les deux droites ya , [xa' sont dés tangentes à ia sphère, puisque y est le pôle du plan (P) contenant a ,a' . L'angle Y [dans la sphère (S)] des droites yi , /-•-/' est donc égal à

De même, puisque w est le centre d'une sphère de rayon nui passaiii par Lintersection de (S) et de (P) et, par conséquent, par a , a' \ rua , ma' sont des droites allant rencontrer le cercle de l'infini, et par suite l'angle ordinaire des droites ml , ml' est aussi égal à

^ log R .

La proposition est donc démontrée pour l'angle de deux courbes; elle subsiste d'ailleurs pour l'angle de deux surfaces, ou pour Tangle d'une surface et d'une courbe.

Les conséquence? les plus importantes de ce principe de lu conservation des angles se rapportent au cas où les angles sont droits, et, en nous souvenant que les directions à angle droit dans la sphère soûl celles qui sont conjuguées dans cette surface, nous pouvons énoncer les propositions suivantes :

Si les tangentes à deux courbes de la première figure en leurs points communs sont conjuguées dans la sphère, les courbes anallagmatiques correspondantes se coupent à angle droit.

Si deux surfaces de la première figure se coupent en des

176 sur. l!NE CLASSK HEMARQUABLE

points pour lesquels le? plans tangents sont conjugués dans la sphère (S), les sariaces anallaginatiques correspondantes se coupent à angle droit.

Si Ton a, dans ia première rig'ire, un système triple formé de surfaces telles que, en tous les points communs à deux surfaces, les plans tangents soient conjugués dans la sphère, le système triple d'analiagmatiques correspondant sera formé de surfaces orthogonales.

Plus généralement,

Toutes les fois qu'on aura un système triple de surfaces telles que, en tous les points communs à deux d'entre elles, les plans tangents soient conjugués dans une quadrique fixe (0) , on pourra déduire de ce système un système triple orthogonal.

Il suffira, en effet, de transformer par l'homographie le système entier de manière que (0) devienne une sphère, et d'appliquer alors la proposition précédente. On peut encore, en tenant compte des définitions qui précèdent énoncer ainsi le théorème :

De tout sy5,tème Iriple orthogonal par ^-apport à une quadrique, on peut déduire un système triple orthogonal ordinaire, et réciproquement.

L'existence du système triple orthogonal formé par les cyclides homofocales est une conséquence directe des propositions précédentes.

Soient, en effet, une suite de quadriques inscrites dans une même développable circonscrite à la sphère (S). Nous avons vu (art. 47) que les cyclides correspondantes sont homofocales; et d'ailleurs, comme il passe trois quadriques réelles du système par tout point intérieur à la sphère (S) , il passera trois cyclides homofocales, toujours réelles, par tout point réel de l'espace. Comme les plans tangents à deux quadriques en un point commun à ces deux surfaces sont conjugués dans la sphère, les cyclides correspondantes se couperont à angle droit.

UE COL'RBES ET DE SURFACES ALCÉBRIQUES. i77

Généralisation des notions de normales, dft focales et de lignes de courbure.

Étant donnée une surface quelconque, joignons chacun de ses points au pôle du plan tangent à la surface, par rapport à une quadrique fixe que nous pouvons supposer être la sphère (S). On aura ainsi, pour chaque point de la surface considérée, une droite que nous appellerons la normale [par rapport à (S) J de la surface.

Une ligne de courbure sera le lieu des points pour lesquels les normales ainsi définies forment une surface déveîoppable.

De même» on appellera focale [par rapport à (S)] de la surface les lignes doubles de la déveîoppable circonscrite à (S) et à la focale.

En adoptant ces définitions, qui constituent une extension naturelle de celles qui sont en usage, nous allons voir que notre méthode de transformation, qui conserve les angles^ conserve ausbi les lignes de courbure et les focales, c'est-àdire qu'elle transfowne les iigîies de courbure et les locales, telles que nous venons de les définir, en lignes de courbure et en focales ordinaires de Tanallagmatique. Commençons par les focales.

Nous avons vu (art. 43) que, si l'on circonscrit à une surface (B) et i\ la sphère une déveîoppable (A), à (A) correspond dans la deuxième figure une déveîoppable (A')j circonscrite à l'anallagmatique (2) correspondante de (B) , et au cercle de l'infini. Les lignes doubles de ces. développabîes sont aussi correspondantes, et comme elles sont, par définition et respectivement, les focales de (B) [par rapport à (S) ] et les focales ordinaires de l'anallagniatique, on voit que les focales se conservent dans notre trqlisformation. Il importe cependant de faire une exception : la courbe de contact de (A) et de (S),

iTh SUR L'NE CLASSE UEMAROUABLE

qui n'est pas courbe double de {/S), f'^^t courbe double de (A') , et par conséquent focale de <S).

Considérons maintenant les lignes de courbure de (B) [par rapport à (S) ] . En tous les points d'une telle ligne (!), les normales forment une développable (H) . A cette courbe (r) correspond sur (2) une ligne (F') , et la développable (R) a pour homologue une surface enveloppe de sphères (R') , dont tous les cercles sont normaux à (1) en tous les points de (r'), d'après le principe de la conservation des angles. Puisque (F) coupe à angle droit tous les cercles de (R'), cette surface admettra (r') comme ligne de courbure, et puisque (2) et (R') se coupent à angle droit, (F') sera aussi ligne de courbure de (2) , ce qu'il fallait démontrer.

Puisque les lignes de courbure se correspondent et que les angles se conservent dans notre transformation, on pourra étendre l'important théorème de M. Dupin sur les systèmes orthogonaux aux lignes de courbure généralisées, et donner la proposition suivante :

Un système triple orthogonal par rapport à une quadrique est formé de surfaces se coupant suivant leurs lignes de courbure (par rapport à cette quadrique).

Ce théorème suffit à la détermination des lignes de courbure d'une quadrique (A) par rapport à une quadrique (Q). Ce seront les lignes suivant lesquelles (A) sera coupée par les quadriques inscrites dans la développable j (A) [Q) \ . Mais on en .déduit surtout cette nouvelle définition des lignes de courbure généralisées :

Les lignes de courbure de toute surface par rapport à (Q) soat ie>s lignes passant en un point de la surface, et dont les deux tangentes sont conjuguées à la fois dans Tindicatrice de la surface et dans la quadrique (Q).

On pourrait ajouter à ces exemples l'extension du théorème de Joachimsthal, d'après lequel, si deux surfaces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sijus un angle constant. Nous réservons pour le moment toutes <;es consé-

DE COURBES KT DE SUHFACES ALCKBRIOl FS. 179

quences, ainsi que l'extension très intt^ressante de la notion de ligne géodésiquc, et nous allons terminer par quelques applications à la théorie des cyclidos.

On sait, par exemple, que, étant données deux quadriques (Q) 1 (Q')> homofocales par rapport à (S) [c'est-à-dire inscrites dans une développable circonscrite à (S)] , les droites tangentes à ces deux quadriques se groupent de deux manières différentes, en surfaces développables se coupant à angle droit dans (S) [c'est-à-dire telles que les plans tangents aux deux développables contenant une même droite soient conjugués dans (S)].

Les droites se transformant en cercles orthogonaux à (S), nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Tous les cercles tangents à deux cyclides homofocales et orthogonaux à une des splièrcs directrices des cyclides peuvent se grouper de deux manières différentes sur deux séries de surfaces enveloppes de sphères. Ces surfaces se coupent à angle droit et par conséquent tous les cercles sont normaux à un troisième système de surfaces.

Les surfaces enveloppes de sphères sont tangentes à Tune des cyclides et ont leur arête de rebroussement sur l'autre, en sorte que les sphères enveloppées sont normales à Tune des cyclides et tangentes à l'autre.

Nous donnerons encore l'exemple suivant :

Tous les cônes de même sommet circonscrits à des surfaces homofocales [par rapport à (S)] sont homofocaux. Donc

Deux points quelconques réciproques par rapport à (S) peuvent être pris pour sommets d'une série de cyclides à deux points doubles (réciproques de cône), circonscrites à toutes les cyclides homofocales.

Ces cyclides sont homofocales et orthogonales. Leurs focales sont les six cercles orthogonaux à (S) et appartenant aux trois cyclides du système orthogonal passant aux sommets considérés, ces six cercles sont trois à trois sur quatre sphères de rayon nul.

130 SUR UNE CLASSE KEMARiJUABLE

Si les deux sommets sont pris sur une des focales [non située sur (S)], ces cyclides deviennent des cyclides à quatre points

doubles.

C'est la généralisation du théorème important sur les cônes de révolution circonscrits aux quadriques boraofocales.

DE GOURDES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. j8l