A,7— EG— F

g £? àj^ Yl^Jttl. . ^t£\-L. q^ltl

, ,. dv> d\) \dvdH dudv) du du

*.(f,rt= ^ — EG-F'

^ , . 1 l à du dv d dv du)

[/ËG — r[^^ Keg—f* ^^' KÉG — F^ )

Ces fonctions seront des invariants.

La détermination des lignes géodésiques dépendra do l'intégration de l'équation

A ,(f.=r:COnSt ;

182 Sim UNE CLASSE REMARQUABLE

celle des lignes isothermes, de Véquatioi)

L'équation différentielle des surfaces applicables s'exprime au moyen de ces ijivariants. En appelant x la coordonnée rectangulaire d'un [)oint de la surface, on trouvera pour x l'équation différentielle du second ordre

2a, {x, a, a-) ^,x — a, a,:» = — kk x,{\, — i) .

k désignant la courbure de la surface.

La méthode que nous avons indiquée dans le texte est susceptible d'applications nombreuses. Pour le moment, nous nous contenterons de montrer comment elle conduit à l'équation différentielle qui détermine le rayon vecteur mené à un ))oint fixe d'un point quelconque de la surface.

Rapportons la surface à des coordonnées polaires ordinaires r ,0 ,'f . On devra avoir

dr' -f- r'[d'i* -\- sin'Ot/^*) = Edu^+'iVdudv + G(/y' , et par suite

\ dr*

Le premier membre est le ds"^ d'une sphère de rayon égal à l'unité. Il suffira donc d'exprimer que la surface pour laquelle la formule

ds' = -, (ErfM' + iFdudv + Gdv') — -^

donne la distance de deux points infiniment voisins a une courbure constante et égale à l'unité, et Ton aura ainsi l'équation différentielle à laquelle satisfait r. Cette équation est du

second ordre.

Mote U.

Sur une démonstration analytique des théorèmes de Poncelet, et sur un nouveau système de coordonnées dans le plan.

La démonstration des théorèmes de Poncelet donnée à Tarticle 38 m'a paru mériter d'être développée, parce qu'elle conduit, sans l'emploi des fonctions elliptiques et au moyen d'une transformation analytique des plus simples, à la proposition fondamentale de Poncelet : Quand un polygone est à la fois inscrit à une conique et circonscrit à une autre conique^ il existe une iiifiîiité de polygones jouissant des mêmes propriétés. Depuis, en examinant la méthode employée, j'ai reconnu qu'elle pouvait être présentée d'une manière plus simple et plus directe, et qu'elle conduisait à des théorèmes ayant la plus grande analogie avec ceux de Poncelet et devant être considérés comme des généralisations des propositions de l'illustre géomètre. Quelques-uns des théorèmes contenus dans cette Note ont été déjà énoncés dans un travail sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre, inséré au tome I du Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques. M. Em. Weyr, dans un article inséré au Journal de Borchardt, avait aussi rencontré, en étudiant les involutions sur les coniques, des propositions générales relatives à des courbes de degré supérieur, qui sont, au fond, équivalentes à l'un des théorèmes métriques de notre troisième partie, et que nous démontrons d'une manière directe dans la Note actuelle.

Considérons une section conique (K) , tracée dans le plan, et supposons qu'on obtienne toutes les tangentes à c^tte conique, en faisant varier le paramètre m dans Téquation

(1) «m^ + pm -+-V =0 ,

Î84 SL« l'NK CLASSE KEMAROUABLE

OÙ a , ^ , / désignent des coordonnées triîinéaires ou, si l'on veut, des Toactions linéaires des coocdonnées ordinaires du point. L'équation de la conique (K) sera eu conséquence

Si îa tangente à cette conique doit passer par un point (a', p', Y) , m sera déterminé par 1 équation

Désignons par p , ,-, les racines de cette équation, on aura

et nous pourrons regarder ie point (a',p',y') comme déterminé par les deux quantités p , p, , qui seront alors des coordonnées, d'une nature spéciale, du point. Quand /> , p, seront connus, les formules (3) détermineront a', §', y'. On voit que, dans le nouveau système de coordonnées, un point est défini par l'intersertion de .deux tangentes à la conique (K) , et quoique les formules (â) nous permettent de passer très simplement des coordonnées p , f>, aux coordonnées ordinaires, nous allons voir que l'emploi des nouvelles coordonnées variables peut être utile dans un grand nombre de questions.

Dans le nouveau système, l'équation de la conique (K) de base prend la forme

son premier membre devient un carré parfait. Cette propriété permet de décomposer les équations de certaines courbes.

Par exemple, toute conique doublement tangente à la courbe de base (K) a une équation de la forme

Dans le nouveau système, cette équation deviendra

(/^(o— ,6,)'= [flf /5, + b(p 4- p^) -i- Cj' ,

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES 18a

« , 6 , c , d désignant quatre constantes; ou, en extrayant !a racine carrée,

équation de !a forme

A/s/5, -i~Bp-hCp,-+-Dr=0 .

Ainsi, une équation de cette forme représente une conique doublement tangente à îa conique (K), et cette conique se réduit à une droite, si B = C .

Cela posé, soit une courbe déterminée par une équation

algébrique en f' ,p^,

et proposons-nous de déterminer le degré de cette courbe. Il y a deux cas à distinguer, suivant que l'équation est ou n'est pas symétrique par rapport à p et à p, .

Supposons d'abord qu'elle ne soit pas symétrique, et qu'elle soit du degré m en p et m, en p^ . Pour trouver l'ordre du lieu qu'elle représente, nous allons chercher le nombre de points de ce lieu situés sur une tangente quelconque à la conique (K). Or, une telle tangente est défmie par l'une ou l'autre des équations

A l'hypothèse /5 = a correspondent w», valeurs de p, , et par suite m, points; à la valeur p, = a correspondent de même m points. On a donc en tout m 4- m, points de la courbe sur la tangente, et par suite la courbe est du degré m 4- w, .

Si, au contraire, l'équation de la courbe est symétrique, elle est nécessairement du même degré wî en p et en p,. Les deux hypothèses p = a ,pi=a donnent les mêmes points; la courbe est seulement du degré m .

j'omets un cas intermédiaire, où le premier membre «le réquation (5) serait décomposable en facteurs, les uns symétriques, les autres non symétriques en f- , f^, , et que nous n'aurons pas à considérer.

Réciproquement toute courbe de degré m est représentée par l'équation la plus générale, symétrique en ,'> . ç,^ , et du degré m par rapport à chacune des variables. C'est ce qui résulte des formules (3), et aussi d'un calcul relatif au nombre des coefDcients arbitraires. Car on reconnaît que l'équation symétrique la plus générale du degré m en p contient

^ arbitraires.

Nous pouvons, à l'aide de ces seules remarques, démontrer plusieurs théorèmes généraux sur les polygones inscrits et circonscrits.

Soit d'abord une courbe d'ordre w, passant par Tintersection de deux faisceaux de n droites A, , A, , . . . , A. ; B, , Bj , . . . , B„ . Son équation générale sera de la forme

(6) A, A, ... A„rr:^'.B,B, ... B„ .

Supposons maintenant que les droites A^ , B. soient toutes tangentes à la conique (K) ; on pourra poser

/ A< = «rtt' + |3a. + 7 = a(a. — /')(a< — pt) ?

(B.- = «6.'-hi56. + 7 = a(6, — p)(&.— f.),

et, en adoptant les notations suivantes.

l'équation de la courbe prendra la forme

OE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. i87

OU

y<.p) ^ ik^}

Dans cette équation, les variables sont séparées, et, en raisonnant comme à Tarticle 27, on reconnaîtra qu'on peut la mettre sous la forme

'^^^ ^{p) «If.)

où Ton a

La nouvelle équation (40) contient une arbitraire nouvelle, à laquelle on peut donner toutes les valeurs possibles. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Si une courbe d'ordre n passe par les w' points d'intersection de deux faisceaux de n tangentes à la conique (K) , elle contient une infinité d'autres systèmes de îi' points formant les intersections de deux faisceaux de n tangentes à la conique (K) .

Par exemple, si une conique contient les quatre sommets d'un quadrilatère circonscrit à une autre conique, elle contient aussi les sommets d'une infinité d'autres quadrilatères circonscrits. Mais nous n'insistons pas sur ces cas particuliers,, et nous allons démontrer un deuxième théorème général.

Considérons les courbes d'ordre n passant par tous les points d'intersection de n -h 1 tangentes À , A, , . . . , A^ à la conique (K) . L équation de ces courbes peut s'écrire

oii a , a, , . . . <i„ désignent n constantes arbitraires.

488 SLil USE CLASSE REMARQUABLE

Mais, ies droites A, étant des Ungentes à la conique (K), on aura

Ai — «(&i -—/»)(&(— ^,) , et réquation (il) pourra s'écrire

on, en muitipliaiit par p — p^.,

équation qui est de la forme

f (p) étant un polygone de degré inférieur à celui de w (p) .

Réciproquement, toute équation de la forme précédente pourra être ramenée à la forme (12), et elle représentera une courbe d'ordre n^ contenant tous les sommets du polygone circonscrit à ia conique (K) , et dont ies côtés sont définis par réquation

Mais l'équation (14) peut être écrite

w ^ nh) ,

9(p)+icr{p) f(p,)+iAf.)

et, cette nouvelle équation étant de même forme que la précédente, la courbe sera circonscrite au polygone dont l'équation est

On peut donc énoncer la proposition suivante ;

Quand une courbe d'ordre n contient tous les sommets d'un polygone d£ n-\- \ côtés, tous t<ingents à une conique^ elle est circonscrite de la même manière à une inanité d'autres polygones de n -ir i côtés, formés avec d'autres tangentes à la même conique.

Par exemple, quand une cwjrbe du ¥ ordre contient tous les sommets d'un pentagone, comme un pentagone est toujours circonscrit à une conique, elle contient aussi tous les sommets d'une infinité d'autres pentagones, tous circonscrits à une même conique. D'où il suit, comme l'a fait remarquer M. Lùroth (Matkematische Annalen, t, i), qu'étant donnée une courbe du 4*" ordre, on ne peut en général lui inscrire un pentagone dont elle c<întienne tous les sommets.

La proposition précédente peut être complétée, et nous

allons démontrer qu'étant donnés deux polygones, Vun de m,

fun de n côtés (« = t» ou < m) , circonscrits à une même conique,

m (m— 1) n (n~-4) on peut toujours par leurs — —;^ 1 x — sommets faire

passer au moins une courbe de degré m — \ , gui sera circonscrite de la même manière à une infinité d'autres polygones de m côtés circonscrits à la conique.

En effet, soient

/(^)=rO , ?(/.)== 0

les équations de degrés wt , n , qui définissent les côtés de ces deux polygones, et soit i (p) un polynôme quelconque de degré m — n» L'équation

définira une courbe satisfaisant aux conditions indiquées, dont l'équation se ramènera à la forme (44), et contiendra m — n paramètres arbitraires. La proposition est donc démontrée.

Par exemple, étant donnés deux triangles quelconques circonscrits à une conique, on peut, par leurs 6 sommets, faire passer une conique qui contiendra les sommets d'une infinité d'autres triangles circonscrits à la même conique que les deux premiers.

Étant donnés un triangle et un quadrilatère circonscrits à une conique, on peut par leurs 9 sommets faire passer une infinité de courbes du 3® ordre, circonscrites à une infinité d'autres quadrilatères circonscrits à la même conique, etc.

190 SUR UNE CLASSi: IIEMARÛLABLE

Les théorèmes do Poncelet sont, dans toute leur généralité, une conséquence directe des propositions précédentes. Car ?upposons qu'une conique (C) contienne les fî -h 1 sommets d'un polygone de ?i + 1 côtés, circonscrit à la cuiiiqu!' (K), et foi-mé des droites A ,Â, , ... , A„. Alors on pourra disposer des constantes contenues dans l'équation

de telle manière que la courbe représentée par cette équation ait n points nouveaux sur la conique (C);et, comme elle contient aussi les n-r-i sommets du polygone silués sur la conique (C) , cette courbe du degré w aura en tout 2n + 1 points communs avec la conique (C), et par conséquent la contiendra tout entière. Ainsi, avec des valeurs convenables des constantes a., l'équation (17) représente une courbe formée de la conique (G) et d'une autre courbe (C) de degré n — 2 . Cette courbe composée (CC) contient d'ailleurs, d'après ce qui précède, les sommets d'une suite continue de polygones tous circonscrits à la conique (K). Par conséquent, la conique (C) sera circonscrite à chacun de ces polygones; elle contiendra sur chaque côté deux sommets de ce polygone. Les théorèmes de Poncelet se trouvent ainsi démontrés.

Quant à la courbe (C) , on démontrera de la manière suivante qu'elle se compose de coniques (et d'une droite dans le cas des polygones d'un nombre pair de côtés).

L'équation particulière de la conique (C) étant de la forme

^^8^ jA(p'-hp,') + B.p, + C,./.,(p4 .,) + D(. + c,)

une tangente f> = a la coupera en deux points, déterminés par les valeurs f*', p" de p . Ces deux valeurs sont les coordonnées d'un autre sommet du polygone, et comme il y a entre ces

deux racines une relation de même forme que l'équation (18), le nouveau sommet décrira aussi une conique.

En continuant ce raisonnement de proche en proche, on verra que tous les sommets décrivent des coniques, et que la courbe (C) se décompose en coniques. La théorie des équations déduirait, au reste, ce résultat très simplement du ftiit que l'équation (14), dans le cas qui nous occupe, admet un facteur de la forme (18).

Avant de continuer ces recherches, je reviens sur un point de l'article précédent, qui est susceptible d'être présenté avec une plus grande simplicité. On peut démontrer d'une manière directe et élémentaire le théorème suivant :

Étant donné un polygone formé den-i- \ droites A , A, , . . . , A„ , et inscrit dans une section conique (C), potir tout point de la conique, il y aura entre les polynômes A , A, , . . , , A„ , qui, égalés à zéro, représentent les côtés désignés par les mêmes lettres, une relation de la forme

D'abord, le théorèine est connu potjr un triangle. On sait que l'équation de la conique (G) , circonscrite à ce triangle, est de la forme

Considérons maintenant un quadrilatère AAjAjAj, et soit B une diagonale de ce quadrilatère. La conique (C) , étant circonscrite à la fois aux deux triangles A A, B , B Aj A3 sera représentée par deux équations de la forme :

192 SÎJR UNE CLASSK REMAROUAlil-E

et, en ajoutant, on voit que réquation

conviendra à tous les points de la conique (C) .

En passant au pentagone, à l'hexagone, etc., et en raisonnant de la même manière, on établirait pour un poKgcne d'un nombre quelconque de côtés, n 4- 1 , l'équation citée plus haut,

C'est la proposition que nous avions établie d'une manière moins élémentaire dans rarticle précédent.

yn.

On voit avec quelle simplicité le système de coordonnées employé met en évidence les théorèmes de Poncelet, et même des propositions plus étendues. Nous devons maintenant exposer d'autres remarques, qui nous conduiront h des théorèmes analogues, relatifs surtout aux courbes de degré supérieur.

Un des caractères distiirctifs du système actuel de coordonnées consiste en ce que les deux variables au moyen desquelles nous déterminons la position d'un point ne sont pas, en quelque sorte, séparées l'une de l'autre. On ne peut pas les distinguer, comme dans d'autres systèmes de coordonnées; elles sont plus que symétriques, liées, conjuguées l'une à l'autre. D'après cela, l'équation

où X désigne un paramètre variable, fera connaître pour chaque valeur de l un certain nombre n de valeurs de p . Ces n valeurs de o déterminent n tangentes à la conique (K) . La

DE COI RBKS ET DE SrRÎ'Af.ES ALCÈBRJQLES. 193

courbe décrite par les points d'intersection de ces tangentes, quand on fait varier X, aura pour équation le résultat de l'élimination de X entre les deux équations

(21) m,p)^0, ra,/=.)=0.

Mais on peut retenir l'équation (20), qui détermine aussi bien les propriétés de la courbe. On voit qu'à chaque valeur de / correspondra un polygone de n côtés, qui se déplacera en demeurant circonscrit à la conique, ses sommets décrivant la courbe considérée. Cherchons Tordre de cette courbe.

Supposons que l'équation (20) soit du degré m en > , et du degré n en p . k une valeur a de p correspondront m valeurs >, , X, , . . . , X„ de > ; à chacune de ces valeurs correspondront n — 1 nouvelles valeurs dep, c'est-à-dire que la droite » = « coupera la courbe en w (n — 1) points. Ce dernier nombre est donc l'ordre de la courbe correspondante à l'équation (20).

Si «t est égal à 1 , l'équation est de la forme

et, en éliminant X entre les deux équations (2i), on trouve

Ce sont les équations considérées en premier lieu Nous allons examiner d'autres hypothèses.

Si « ~ 2 , l'équation (20)^81 de la forme

(22) Af.' -hBp + C=:V = Q ,

où A , B , C sont des fonctions de > .

A chaque valeur de X correspondent deuK valeurs de p , et un seul point par conséquent de ht courbe (V) , par les formules

La courbe (U) est donc unieursale; tuais la forme précédente d'équation offre TaY-^ntage de conduire presque sait? efîorl à un théorème signalé rapidement par Jacobi dans une lettre à M. Hermite, et qui se rapporte à rintroduction des fonctions ultra-elliptiques dans cette théorie.

C'est un théorème bien connu d'analyse, que, si dans l'équation (2ÎJ}, contenant une des deux variables p au second degré, et l'autre À au degré m, on donne à p une valeur quelconque, à cette valeur de p correspondent m valeurs, /, , À, , . . . , X« de X , telles que la somme des intégrâtes

J kîv^~4â;^

[où ki.Bi , C< désignent ce que deviennent A , B , C , quand on substitue À, a la place de X, et oii rj (A) est un poixnôrne d'un degré iuféxneur à m — 1], étendue à toutes les racines, soit constante, quelle que soit la valeur donnée à la variable p .

Lii appliquant ce théorème à la question de géométrie que ïîous avons à étudier, nous voyons que,

Si Con coîipe hi courbe unicursaie (U) d'ordre n par les tangentes à une conique CfUelconque (K), la somme des intégrales ultraeilipîiqnes (24), correspondantes aux n poinu dHnte^^section de la tangente et de la courbe (l') , demeure comîante quand la tangente se déplace.

Si Jes fonctions À , B , C sont du serond degré, la courbe (CI) sera une conique. La somme des deux intégrales elliptiques, correspondantes aux points où elle e^t rencontrée par une tangente à la conique (K) , demeurera constante. C'est le point de départ de Jacobi dans son Mémoire sur les cercles. Nous ne poursuivrons pas ce mode.de démonstration.

Supposonfç maintenant que l'équation (^0) soit du second

DK COURBES ET DR SLHKACES ALCÉBRICJL'ES. iîtô

degré en A . et d'un degré quelconque « en |^ . On pourra récrire sous ia forme