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et ç> (X) , -^ (à) seront du 3* degré seulement. L'équation (10),

(23) (,c'^,7.= (/^d'i/^')vr?-?7)

demeurera du 12® degré. Si Ton y considère À comme fixe et les Xi comme variables, elle représente la surface du 4® ordre à conique double, étudiée dans la Note précédente, lieu des centres des sphères de même rapport anharmonique, tangentes à la cyclide.

La conique double de cette surface est définie par les équations

Nous allons maintenant indiquer la signification géométrique des différents facteurs du discriminant.

Les Q,-, égalés à zéro, représentent les cinq surfaces déférentes de la cyclide.

En effet, pour chaque point M d'une déférente, on peut mener deux normales correspondantes à une même valeur deX, et dont les pieds sont les points de contact de la sphère de centre M doublement tangente à la surface. L'équation en X a donc une racine double.

2', égalé à zéro, représente l'enveloppe des quadriques homofocales aux cinq déférentes. Pour tout point M de (2), deux normales à la cyclide viennent se confondre avec la génératrice rectiligne de (I) passant en M, et qui, considérée comme normale, a son pied sur le centre de l'infini.

G, égalé à zéro, représente la surface des centres de cour-

bure. D'après les remarques que nous avons faites, G est du 24^ ordre par rapport aux binômes

Xi Xj Si — Sy

qui sont des fonctions du premier degré des coordonnées ordinaires du point. Donc

La surface des centres de courbure est du 24^ ordre.

Enfin, le facteur M . qui est la résultante des équations

se décompose ici de la manière suivante. Les fonctions y et <^ sont du 3* degré. Si donc on a

les trois premiers membres des équations (24) se réduisent au 4® degré, et l'équation (23) en A s'abaissera du 12® au 8® degré. Elle aura quatre racines infinies. Donc le facteur

lî

doit figurer dans le discriminant, et, en appliquant la méthode générale déjà indiquée, on trouve qu'il y est à la puissance sixième. On a donc ici