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d'une quantité a . Le discriminant devra contenir une certaine puissance de a, que l'on déterminera comme il suit.

Lorsque a devient infiniment petit, plusieurs racines de l'équation sont aussi infiniment petites, et l'on sait, d'après la règle du parallélogramme de Newton, les développer en séries ordonnées suivant les puissances de a. Quant aux autres racines, elles demeurent finies et, en général, inégales. En substituant dans le discriminant (19) les expressions des racines infiniment petites, expressions qu'il suffit en général de limiter à leurs premiers termes, on verra quelle est la puissance de a qui se trouve en facteur.

Faisons d'abord une application de cette règle à la démonstration d'un théorème de Joachimsthal sur le discriminant. Supposons que l'on ait

Alors, pour a = 0, deux racines deviennent nulle$, et, pour a très petit, ces racines sont fournies par l'équation

qui donne

x = kv., a-, = ,?'«, X — Xi = (k — k')(K .

Donc !e discriminant contient a' en facteur. Or, si on Fécrit sous la forme

Mfl„ i-N,

N étant formé des termes qui ne contienRent pas a,, , N devra être divisible par a', et par conséquent contenir fl\i en facteur. Donc le discriminant est de la forme (*) (20) M«„-i-M,fl*„, .

Dans le cas où Téquation proposée aurait une racine multiple x^ différente de zéro, on serait ramené au cas précédent par la substitution x=^x^-{- x'.

Faisons l'application de la méthode précédente à l'étude de la question proposée. Le degré des facteurs Q.- résulte immédiatement du théorème de Joachimsthal. Cherchons le degré du facteur M , qui est la résultante des trois équations A = ^i' — i»' = 0 ,

Si, pour une valeur de À , que nous pouvons supposer égale à zéro, on a

Ar:=0,

(M Si l'on suppose que les termes

On , On 1 , On~t , • . •

soient on » des degrés

on arrive à cette proposition plus générale :

Si l'on considère, dans une équation, les p derniers termes comme étant des ordres p ,p — 1 ,p — 2 . ... , et les autres de l'ordre 0 , tous les termes du dtVcriminant sont au moins de l'ordre p (p — 1}.

en vertu de Tideûtité

fPi + oB-h'hC — O, on aura

B« , C» , 9o , ^0 désignant les termes constants des fonctions correspondantes. Bo , Co auront donc un facteur commun, que j'appelle a, et qui sera un facteur simple de la résultante. L'équation (10) en X étant

on volt que son terme constant contiendra a* en facteur, et le coefficient précédent a . Donc le discriminant sera seulement divisible par a* ; et comme a est un facteur simple de M , le discriminant, qui contient a au carré, doit aussi contenir le carré de la résultante M en facteur.

Nous allons faire l'application des résultats analytiques qui précèdent à deux problèmes de géométrie.

Le problème des normales menées d'un point à la cyclide est compris comme cas particulier dans celui que nous venons d'examiner. Il suffit de supposer que les deux sphères w, , vi\ soient concentriques. Alors toutes les sphères m, -h km',- auront même centre que les deux premières, et la recherche de celles qui sont tangentes à la cyclide revient à la détermination des normales menées de leur centre commun à la surface. On peut encore procéder comme il suit.

Soient a-, les coordonnées du point M d'où l'on veut mener des normales, et prenons

Alors les sphères ?», + km'i auront pour centre le point M Les fonctions /", ? , 'f auront ici pour expressions