AB' . BC . CB' = BA' . CB' . BC

Telle est la relation qui unit les distances mutuelles de trois couples de points correspondants.

On trouvera dans un travail antérieur de l'auteur (*) les conséquences de cette formule qui conduit aux propriétés nics^Hnnes focales des cyclides.

On a vu (art. 19) que quatre points situés sur un cercle quelconque d'une cyclique sont les foyers d'une nouvelle cyclide qui contient les foyers de la première (^). On peut étendre ces propriétés à Tespace, et démontrer les deux théorèmes suivants :

Théorème I. La courbe d'intersection d'une cyclide et d'une sphère quelconque peut être prise pour la focale d'une nouvelle cycli(U' passant par une quelconque des focales de la première.

Plus généralement, si deux cyclides sont inscrites l'une à l'autre suivant une courbe sphérique, les focales de l'une d'elles sont sur une surface homo focale à l'autre^ et toute surface homofocale à la première est inscrite suivant une courbe sphérique à une cyclide homofocale à l'autre.

Théorème II. Si deux cyclides sont tangentes en quatre points et se coupent suivant deux courbes sphériques, toute cyclide homofocale à la première coupera suivant deux courbes sphériques distinctes une cyclide homofocale à la seconde. Les focales de chaque surface seront tangentes en quatre points à une des cyclides homofocales à l'autre.

Ce dernier théorème est une conséquence du premier.

(') Sur les théorèmes d'Ivory relatifs aux surfaces homofocales. p. 44. — (Mém. de la Soc. des Se. phys. et nat., t.. "VIII, p. 240.)

(*) Plus généralement, toute cyclique ayant ces quatre points pour foyers touche on quatre points une des cyclideb homofocales à la proposée.

Car soient (C) , (C) deux cyelides se coupant suivant des courbes sphériques {g), (g,). Soit (D) une cyclide auxiliaire, ayant (g) pour focale. D'après le théorème I, il y aura deux cyelides (G,), (G',), homofocales l'une à (G) , l'autre à (C) . qui seront inscrites dans (D) . Ces deux cyelides, inscrites à une troisième, se couperont par conséquent suivant deux courbes sphériques.

Tout se réduit donc à la démonstration du théorème I.

Soient

réquatioji d'une cyclide (C), et

(2) S = 7 tw.-a-,- = 0

celle d'une sphère (S) . L'équation

représente une cyclide inscrite à la première en tous les points de la courbe (C , S) . Cherchons les focales de cette cyclide.

A cet effet, nous prendrons d'abord une sphère quelconque (S'),

et nous chercherons la condition pour qu'elle soit doublemeni tangente à la ,cyclide inscrite (C). En employant un artifice dont nous avons déjà fait plusieurs fois usage, nous pouvons, de l'équation (4.), tirer j;M-i/*H-2* en fonction linéaire de X , y ,z, et porter cette expression dans les j?, . Alors ces coordonnées se changeront en des fonctions linéaires a, de a; , y , -j , ft les deux équations

(.6) 2;A.a,*— (Zw,-«,V = 0

représenteront, la première la sphère sécante (S'), la seconde une quadrique passant par la courbe [ (C) , (S') ] . L'équation

(7) i:{\i + i)c.('—{ir)u<i,y=:0

DE COURBES El DE SURFACES ALGÉBRJQUKS. 320

représentera donc toutes ies quadrlques passant par cette courbe, et, si Ton veut que la sphère (S') soit doublement tangente à la cyclide (C), il faudra que, pour une valeur convenable de X . Téquation (7) représente un système de deux plans.

Or les a, sont liées par Téquation identique

qu on obtient en remplaçant x par a, dans l'équation (4). Cherchons d'abord la condition pour que l'équation (7) représente un cône, c'est-à-dire une quadrique à point double.

Si la quadrique (7) a des points doubles, les coordonnées de ces points satisferont évidemment aux équations

(>. + A,>i — Wi (S/».- 5'.-) = srii ,

qu on obtient en exprimant que ies premiers membres de (7) et de (8) ont leurs dérivées par rapport aux a, proportionnelles. Posons, pour abréger,

(9) P^l/y^^,-; on aura

(10) { ). 4- A .) a.- — nii P = p w,- ,

et par suite, en miiltipliant ces équations par -r — ~ et les aioutant.

p Si cette équation détermine le rapport -, les équations (9)

détermineront les rapports des quantités a, , et par conséquent la quadrique pourra bien avoir un seul point double, mais non se réduire à un système de deux plans, qui doit avoir une ligne de points doubles. Il faut donc que l'on ait

330 M'R UNE CLASSE REMARyUABLE

En exprimant, de plus, que les quantités a, satisfont à l'équation de la surface, on aura

Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire les coordonnées des sphères doublement tangentes. La première (II) fera connaître cinq valeurs de À. A ces cinq valeur? correspondront les cinq séries de sphères doublement tangentes.

Si ces sphères se réduisent à des points, alors on doit remplacer n, par les coordonnées Xi de ces points, et l'on obtient le résultat suivant ".

L'équation (H) fait connaître cinq valeurs de À, et les suivantes

md À --f- A,-

(16) yj^^o

représentent, quand on y substitue les cinq valeurs de À, les cinq focales de la cyclide (C) .

Or la seconde des équations peut être écrite ainsi,

ou

^rf 1 1

elle représeîite donc une cyclide homofocale à la proposée (C) . Ainsi les focales d'une cyclide (C) inscrite à (C) sont sur des surfaces homofocaîes à (C) .

C'est la première partie du théorème qu'il s'agit de démontrer. Avant d'achever la démonstration, nous allons indiquer une proposition qui résuite des calculs précédents.

DE COURBES ET DE SUftFAfiES ALGÉBRIQUES. 331

Les sphères doublement tangentes à (C) sont définies par les équations (11), (12), (13). On peut, au lieu de supposer qu'elles se réduisent à des points, les assujettir à d'autres conditions, chercher, par exemple, celles qui sont simplement tangentes à la proposée (C), et qui enveloppent par conséquent une surface à lignes de courbure circulaires. Désignons par Xi les coordonnées du pornt de contact de l'une de ces sphères avec la cyclide(C); on aura

hj ha

et aussi

(17) tii = {K + (i)^-i,

d'après la formule (7) de la Note XI.

En substituant ces valeurs de «, dans l'équation (13), celle-ci se réduit à

Le premier facteur donne les sphères tangentes à la fois à (C) et à (C) aux points do contact de ces deux cyclides. Écartons ces sphères : il restera

). ■+- Ai

d'où résulte la proposition suivante :

Théorème lïl. Étant données deux cyclides (G) :, (C)^ inscrites l'une à l'autre suivant une courbe sphéri(jue, les focales de (C) sont sur cinq cyclides (G,) , homo focales à (C) , et, en outre, les sphères doublement tangentes à (G') d'une même série et simplement tangentes à (C) touchent cette dernière cyclide suivant une ligne de courbure située à V intersection de (G) £t de l'une des surfaces (G,).

Gette dernière surface (G,) est celle qui contient la focale de (G') associée aux sphères doublement tangentes considérées.

Achevons maintenant la démonstration du théorème I. En changeant les notations dans le^ calculs qui précèdent, nous obtenons le résultat suivant :