Sin une CS,*SSK ItKMAUQDABI.E
Les cyclides ayant pour focale la courbe définie par les équations
(18) Sm,x, = Q.
(19) y 8,^,^ = 0,, ont pour équation générale
Cette équation nous montre ({ue la cyclide (G,) , représentée par l'équation précédente et correspondante à la valeur À , est inscrite à la cyclide (G) , représentée par l'équation
Si maintenant on donne à À la valeur À', on aura une nouvelle cyclide (G',), homofocale à (G,), inscrite dans une nouvelle cyclide (C)
homofocale à (G) . Notre premier théorème est donc complètement démontré (*).
{') Si, dans l'équation (50), on fait
on obtient
Cette équation peut s écrire
i(X-+-A,)(x-f-A,) Elle représente dune des quadriques, et ces quadriquen sont homofocales.
DR COUP.RES ET DR SURFACES ALGKBRfQL'ES. 333
Le théorème ï conduit à un grand nombre de conséquences. On peut signaler les suivantes.
Toutes les cyclides à deux points doubles (réciproques de cônes), inscrites à une cyclide générale (C), ont leurs cercles focaux sur des cyclides homofocales à la proposée (C; .
Si une cyclide à deux points doubles (P) a pour focales deux cercles d'une cyclide (G) , situés sur une même sphère, toutes l^'s cyclides à deux points doubles, homofocales à (D) et ayant par ooi): équent les mêmes points doubles, seront inscrites aux cychr'es homofocales à (C) (V-
Deux cercles d'une cyclide faisant partie du système le plus général de surfaces homofocales ne viennent se confondre que si la cyclide s'aplatit et vient se réduire à une des cinq sphères directrices. Donc
Toutes les cyclides à quatre points doubles inscrites à une cyclide générale ou passant par une cyclique ont leurs cercles
Or, si l'on compare ^ux équations il6) de la Note XI, on voit qui?. pour les cinq valeurs > = A,-, les surfaces représentées par l'équation précé'lenle deviennent les déférentes de la cyclide
Ces cinq déférentes sont donc homofocales.
On obtient leurs trois focales, qui sont les focales singulières de la cyclide, en donnant à > les trois valeurs qui satisfont à la condition
Alers la quadrique s'aplatit indéfiniment, et l'on trouve pour les équations de la focale
LR,(A,-f-)i) ' ZrfA,4-X
On voit aussi que les surfaces homofocales aux déférentes sont inscrites dans les cyclides homofocales à la proposée. Ce fait sera expliqué et généralisé.
{*) Dans un travail antérieur déjà cité, Sur le.s théorèmes d'Ivory, etc., j'ai déjà donné ce théorème; mais par une inadvertance que je ne puis m'expliquer, j'ai écrit cyclide à quatre points doubUa dans l'énoncé, au lieu de cyciide à deux points doubles.
focaux sur une des sphères contenant les focales Ces cercles sont doublement tangents à la ibcaie, et leurs points de contact sont des points doubles de la cyclide.
Voici des conséquences d'un autre ordre.
Les quadriques inscrites dans une cyclide ont leurs focales sur une cyclide homofocale à la proposée. Or les seules cyclides contenant des coniques sont les cyclides du troisième ordre. Donc
Les focales de toutes les quadriques inscrites dans une cyclide ou dans les cych'des hom&fiïcaks engendrent les trois cyclides du troisième ordre homo focales aux proposées.
En particulier, les focales de toutes les fpiadriques passant par une cyclide sphérique (ÎJ) engendrent les trois cyclides du troisième degré ayard (II) pour focale.
On a ainsi, en transformant par Thomographie, un mode de génération des surfaces du troisième ordre, qu on peut énoncer comme il suit :
Étant données deux quadriques (Q) , (R) et une conique (H) sur (Q) , les lignes doubles des développables circonscrites à (H) et aux différentes quadriques passant par l'intersection de (Q) et de (R) décrivent chacune une surface du troisième ordre contenant la conique (H) .
Si une quadrique contient la focale d'une cyclide, les quadriques homofocales seront inscrites aux cyclides honaofocales. Plus généralement,
Soit (Q) une quadrique inscrite à une cyclide (C); les quadriques homofocales à (0) seront inscrites aux cyclides homofocales
Ces exemples suffisent à dénaontrer la portée des théorèmes qui précèdent.
DR COURBES ET DR SURFACES ALGÉBRIQUES. 33b
