REMARQUES ET RECTIFICATIONS

L>ans l'article 12 du texte se trouve indiquée une classification des différentes formes que peut affecter la courbe d'intersection de deux quadriques. Les résultats que je donne sur cette question ne sont pas nouveaux comme je le pensais, et se trouvent dans le Mémoire de f/eome'frte pure sur les surfaces du troisième ordre de M . Cretnoua.

Le théorème donné a l'article 19, et d'après lequel les quatre points d'intersection d'une cyclique et d'un ceivle peuvent éh-e pris pour foyers d'une nouvelle cyclique passant pai' quatre foyers de la première, a déjà été donné par MM. Clifford et Crofton. Voir le Mémoire de M. Crofton. On various Properties, etc., dans la liste qui suit. Nous étendons, du reste, ce théorème à la fois pour les courbes et pour les surfaces dans la Note XVI. Ajoutons qu'il est implicitement compris dans celui que nous avons donné (avril et août 1864) relativement aux propriétés métriques des focales des cycliques.

La propriété des coniques sphériques, énoncée et démontrée à l'article 21, se trouve indiquée d'une manière incidente et sans démonstration dans un Mémoire de M. W. Roberts (Journal de Liouville, t. X, page 313 : Mémoire sur quelques propriétés géométriques, relatives aux intégrales elliptiques).

Des deux constructions données pour la tangente aux cycliques (art. 24 et 31), la première a été indiquée, au moins pour les cycliques planes, par M. Clifford (voir le Mémoire de M. Crofton cité plus haut). Quant à la seconde, que j'avais donnée depuis longtemps pour les ovales de Descartes {Annales de l'École Normale, 1867), elle me paraît nouvelle. Je saisis cette occasion pour en indiquer un énoncé plus précis.

Etant donnés quatre points A , B , C , D , sur un cercle, les tangentes aux deux cyclides passant en M et ayant A , B , C , D pour foyers se déterminent de la manière suivante :

Construisons l'une des deux bissectrices de l'angle des droites

336 SLK UNE CLASSE KKMAKg'JABi.E

AB , CD, et appelons y , /3 , y , o , V les angles que font avec cette droite les lignes MA . MB , MC , MD et la tangente en M. On aura

li est à remarquer que, si deux des foyers A et B devienneut imaginaires, on peut les roraplacer sans inconvénient dans la construction par les foyers réels A', B', qui leur sont associés.

Dans les Comptes Rendus du 25 juin 1872, M. Ribaucour a donné un théorème intéressant sur les cyclides :

Les plans norraaux à une pyclide en tous les points d'une ligne de courbure sont tangents à une quadriqn<; homofocale aux déférentes de la cyelide.

Ce théorème de M. Ribaucour est un cas particulier de celui que nous avons donné (Note XVI, Théorème lU).

En supposant, dans notre théorème, que la cyelide inscrite se réduise à une quadrique, l'une des séries de sphères doublement tangentes se réduira aux plans tangents, et l'on obtient ainsi la proposition suivante ;

^^oient deux cyclides orthogonales (a) , (^) , se courant suivant une lifjne de courbure. Les plans normaux à («) en tous Us points de cette ligne de courbure enveloppent une quadrique homofocale à la déférente de («) , et inscrite dans [p] suivant une courbe spnérique.

Cette proposition complète un peu l'élégant théorème de M. Ribaucour.

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRfQLKS. XM