PREMIÈRE PARTIE

De la transformation par rayons vecteurs réciproques, des foyers et des focales.

De la transformation par rayons vecteurs réciproques dans le plan.

On sait que les foriiiiiles de la traiisforiiiîilion par rayons vecteurs réciproques, prises dans le cas le plus simple, sont les suivantes,

où ^ , i/ , X , Y désignent les coordonnées ordinaires de deux points correspondants. On peut les éci-ire de la manière suivante,

x — yi x-+-y<

et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu'à un point, pris dans Tune des figures, ne correspond qu'un point de 1 autre.

La transformation précédente olfre le cas le plus simple, et

2 SUR UNE CI.ASSR HKMABQUABI.F.

auquel peuvent se ramener -tous les autres, des iransforinations du second ordre. On définit ainsi Ic-^ transformations dans lesquelles à un point lApond un seul point, et à une droite une conique. Désignons par I et .1 les points à rinfmi sur le cercle, et par 0 le pôle de transformation; à une droite correspond, en général, un cercle passant par le pôle, c'est-à-dire une conique passant par les trois points 0 , 1 , J. Mais il y a trois séries de droites auxquelles correspondent d'autres droites : 1° les droites passant par le pôle 0 ; 2» les droites passant par le point I, auxquelles correspondent des droites passant par le point J; 3° les droites passant par le point J, auxquelles correspondent des droites passant par le point 1.

D'après cela, à un cercle de rayon nul, formé de deux droites passant, l'une par le point I, l'autre par le point J, correspondra aussi un cercle de rayon nul. Toutes ces remarques sont, d'ailleurs, des conséquences immédiates des formules de transformation (1).

Désignons par n l'ordre d'une courbe à équation réelle, et qui passera le même nombre de fois par les points imaginaires conjugués I et J. Soient i le nombre des branches de courbe se croisant en un des points I ou J, o le degré de multiplicité du pôle (o sera nui, si la courbe ne passe pas au pôle). Désignons pra' v\o\i' les nombres analogues pour la courbe transfoiniée. Ces nombres vérifient les formules suivantes, qui s'appliquent à toutes les transformations du second ordre,

i' =^ il — ? — 0 , o' = n — 2/ , n' ^=2.71 — 2^ — 0 .

Ainsi, à une conique quelconque correspond une courbe du quatrième ordre ayant trois points doubles, le pôle et les deux points l et J; mais si la conique passe au pôle, la transformée est une courbe du troisième ordre ayant un point double au pôle, et passant une seule fois par les points ï et J. Si elle est un cercle, la transformée est un cercle, ou une ligne droite. si. ce cercle passe au pôle.

DE r.OL'RBf.S ET DE SURFACES .«iLCKBBliîUES. 3

Des foyers.

On sait qu'on nomme foyers d'une courbe plane les points pour lesquels deux des tangentes menées à la courbe ont 4- i et — t pour coefficients angulaires, c'est-à-dire passent par les deux points 1 et J. En d'autre.-? termes, si des points ï et J on mène deux faisceaux de tangentes à la courbe, les points d'intersection des droites do ces deux faisceaux sont les foyers de la courbe. Si celle-ci est de la m*""" classe, et qu'elle passe i fois par chacun des points I et J, on ne pourra lui mener de chacun de ces points que m — 2t tangentes. Il y aura donc en tout {m — 2ty fayers; mais m — 2t seulement de ces foyers seront réels ; car sur chacune des tangentes à la courbe menées d'un point I, il y a uu foyer réel, et un seul, qui est à l'intersection de. cette droite et de la droite imaginaire conjuguée.

Par exemple, les courbes du second degré ont quatre foyers, et deux seulement sont réels. Il est bien entendu d'ailleurs que, dans les formules préc-édentes, les points I et J sont des points multiples ordinaires pour la courbe considérée. Nous allons donner un exemple.

Considérons les courbes du A*^ ordre qui admettent pour points doubles les deux points I et J. Ces courbes sont de la 8® classe, et de chacun de ces points on pourra leur mener 4 tangentes, qui se couperont en 16 points. Ces courbes auront donc 16 foyers, dont 4 seulement sont réels. Ces 4 foyers réels détermineront d'ailleurs tous les autres.

Au contraire, les ovales de Descartes ont, d'après une remarque faite par M. Cayley, les deux points 1 et J pour points de rebroussement. De chacun de ces points, on ne pourra leur mener que trois tangentes. Ces courbes auront donc seulement 9 foyers, dont 3 seront réels.

Quand la courbe passe par les d(Mix iioitils I et J, les tan-

4 SUR UNE Cl.ASSE REMARQUABLE

gentes à la courbe menées en ces deux points forment deux faisceaux de i droites, qui sont des asymptotes de la courbe. M. Laguerre a proposé d'appeler foyers singuliers les points d'intersection des droites de ces deux faisceaux. Il y a donc i' foyers singuliers; i seulement sont réels et peuvent être considérés comme des cercles de rayon nul, à centre réel, doublement tangents à la courbe aux deux points I et J.

Le cercle, par exemple, a un foyer singulier à son centre ; les courbes du quatrième ordre, ayant pour points doubles les deux points I et J, ont deux foyers singuliers réels, etc.

Les foyers ordinaires jouissent d'une propriété très importante. Si on transforme une courbe par rayons vecteurs réciproques, les transformées des foyers sont les foyers de la courbe transformée. Cela est évident, si l'on considère les foyers comme des cercles de rayon nul. Cependant, si l'on place le pôle en un des foyers, ce foyer disparaît, et est remplacé par un rebroussement (deux branches tangentes en I et J).

La proposition précédente ne s'applique d'ailleurs qu'aux foyers ordinaires ; les foyers singuliers d'une courbe ne deviennent pas les foyers singuliers de la transformée.

De la transformation par rayons vecteurs réciproques dans l'espace.

Voici comment on peut définir géométriquement cette transformation, qui est comprise comme cas particulier dans Vinvolution quadriqxie de M. Hirst.

Considérons une surface du second degré, et le cône du second degré circonscrit à cette surface suivant une conique (C) et ayant son sommet en 0. Menons, par le point 0, une droite quelconque qui coupe la surface aux deux points M , M', et prenons sur cette droite deux points A , A', divisant harmoniquement le segment MM'. Nous aurons une transfor-

mation dans laquelle ù un point a correspondra un seul point a' , et réciproquenaent. D'ailleurs, cette transformation sera, d'après une heureuse expression de M. Transon, une transformation involutive, c'est-à-dire qu'au point a considéré, soit dans la première, soit dans la seconde ligure, correspondra toujours le même point a' .

Si l'on suppose maintenant que la surface du second degré

soit une sphère, que 0 soit le centre de cette sphère, on obtiendra la transformation par rayons vecteurs réciproques. En effet, si par le centre d'une sphère on mène un diamètre MM', deux points a , a', conjugués par rapport au segment MM', sont tels que

Oa . Oa' ~K' ,

R étant le rayon de la sphère. On peut donc supposer que la surface du second degré considérée plus haut devienne une sphère, que 0 soit le centre; alors la courbe de contact (C) du cône de sommet 0 circonscrit à la sphère sera le cercle imaginaire à l'infini, et l'on aura la transformation par rayons vecteurs réciproques.

Étudions d'abord la correspondance entre les points :

1"* Au pôle 0 correspondent tous les points du plan de contact, c'est-à-dire du plan de l'infini.

2*» Les seuls points qui se correspondent à eux-mêmes sont situés sur la surface du second degré, c'est-à-dire sur la sphère.

3" A tout point a situé sur le cône circonscrit (c'est-à-dire sphère de rayon nul ayant son centre au pôle) correspond un point a' situé sur le cercle de l'infini (G).

() SUR UNE CLASSK RKMARQUABI-E

Mais au point a' correspondent tous ie.< points de la droite Oa'. Car les points d'intersection de la surface et de la droite Oa' sont confondus en a', et par conséquent le conjugue harmonique de a' est indéterminé sur la droite Oa' .

On voit donc qu'il existe des points pour lesquels le point homologue est indéterminé : le pôle, auquel correspondent tous les points d'un plan, le plan de Tinfini; et les points du cercle de Tinfini (G), auxquels peuvent correspondre lous les points d'une droite, celle qui les joint au pôle.

Nous allons étudier maintenant les transformées de quelques figures simples, et nous commencerons par la ligne droite.

Considérons d'abord une droite mnpq , rencontrant la sphère fondamentale en m , n , et son (x^ne asymptote en p , q . h. cette droite correspondra une courbe plane, une conique située dans ie plan de la droite et du pôle. Les points m et n se correspondent à eux-mêmes. Les points p , q ont leurs homologues p\q' sur le cercle de l'infini. Enfin, le point à l'infini sur la droite a pour homologue le pdle 0 . On voit donc qu'à la droite correspond la conique passant par les cinq points 0 , m , w , p', ^'. Celte conique est un cercle, puisqu'elle coupe aux deux points p\q' le cercle de l'infini. Examinons dans quels cas elle se décompose.

1" SI la droite proposée passe par le pôle, elle se correspond à elle-même.

2° Si la droite coupe le cercle de l'infini en un point a , à ce point correspondront tous ceux de la droite Oa. Le cercle correspondant à une droite se décomposera : 1° en la droite Oa; 2** en une autre droite qu'on détermine de la manière suivante ; la première coupe la sphère fondamentale en un point m, qui se correspond à lui-même, et le cône asymptote en un point ô qui a pour homologue le point b' situé à l'infini sur le cercle (C) et sur la droite 06. Ainsi à la droite ynba correspond une droite mb' rencontrant aussi le cercle (G). Oii voit donc qu'à une droite coupant le cercle de Tinfiiii

UE COIHBES ET bt StRFACKS ALGÉBRIQUES. 7

correspond une autre droite coupant le cercle de T infini en un autre point.

Tels sont, comme on s'en assurera aisément, les seuls cas dans lesquels à ùûe droite corresponde une autre droite.

Les lignes que nous venons de trouver jouent d'ailleurs un rôle des plus importants dans la géométrie métrique; nous aurons ù les employer fréquemment et à les considérer soit comme les génératrices rectilignes imaginaires des sphères, soit comme jouissant de cette propriété que la distance de deux quelconques de leurs points situés à distance finie est nulle. Nous ?tllons établir ces propositions.

Une sphère contenant toujours le cercle (C), on voit que toutes les génératrices rectilignes des sphères seront assujetties à rencontrer ce cercle. D'autre part, étant donnée une droite A rencontrant le cercle (C), il est clair qu'on pourra construire une infinité de sphères contenant cette droite, et dont les centres seront dans le plan tangent mené par la droite /^ au cercle (G).

En particulier, toute droite rencontrant le cercle (C) pourra être placée sur une sphère de rayon nul (cône ayant (G) pour base), ayant son centre en un quelconque de ses points, et par conséquent tous les points situés à distance finie sur cette droite seront à une distance nulle de l'un d'eux.

Après avoir examiné les droites, considérons une courbe quelconque, et supposons qu'elle rencontre le plan de l'infin! on p points non situés sur le cercle (C), et en i points sur ce cercle. Son ordre n , c'est-à-dire le nombre de points dans lesquels elle est rencontrée par un plan sera doncp-f-i. Supposons, en outre, qu'elle coupe le cône asymptote de ki sphère en r points, et que le nombre de ses branches passant au pôle soit égal à q . Désignons par des lettres accentuées les mêmes nombres pour la transformée. On aura

îNuus écartons, bien entendu, les particularités.

Appliquons les principes précédents à la courbe d'interseciion d'une sphère et d'une surface du second ordre. L'ordre de cette courbe est 4; elle coupe le plan de l'infini en quatre points situés sur le cercle (G), le cône circonscrit (OC) en quatre points. On a donc généralement

et, par suite,

La transformée sera donc une courbe sphérique analogue, et nous verrons que cette nouvelle courbe se trouve aussi sur une infinité de surfaces du second degré.

Si, au contraire; on prend pour pôle un point de la courbe, la transformée est une cubique plane, passant par les deux points à l'infini sur le cercle, ou cubique circyidaire. Nous reviendrons d'ailleurs sur ces questions.

Les formules relatives aux surfaces se trouveni aussi sans difficulté. On pourra consulter un article de M. Moutard sur la transformation par rayons vecteurs réciproques. {Nouvelles Annales de Mathémo tiques, 1864.)

Des focales des courbes et des surfaces.

Nous avons vu que, dans la transformation par rayons vecteurs réciproques, les droites qui rencontrent le cercle de l'infini se transforment en des droites rencontrant le même cercle. Ainsi les surfaces réglées formées de ces droites se transforment en surfaces réglées.

On peut compléter ce résultat, et démontrer que les surfaces développables formées de ces droites se transforment en surfaces développables. Car de telles surfaces développables peuvent être considérées comme les enveloppes des sphères de rayon nul (ou cônes ayant (G) pour base), ayant leurs centres sur

DE COURBES El DE SURFACES ALGÉBRIQUES. 9

l'arète de rebroussement de la développable. Or ces sphères de rayon nul se transforment en sphères de rayon nul : ce qui démontre la proposition.

Les développables remarquables que nous venons de considérer se présentent dans un grand nombre de questions. Nous les appellerons développables focales, et nous allons d'abord nous en servir pour donner la définition des focales d'une surface.

On ne connaissait les foyers que dans les courbes du second degré, quand Plucker donna de ces points une définition qui s'étend à toutes les courbes. On généralise de même, et sans difficulté, la notion de focale due à M. Chasles pour les surfaces du second degré, en donnant des focales la définition suivante, que nous avons proposée dans une Note insérée en I86i aux Comptes rendits de l Académie des Sciences.

Circonscrivons à une surface quelconque cl au cercle (G) une surface développable. Cette surface aura des lignes doubles (jui suffiront à la déterminer, et qu'on appellera les focales de la surface. Par chaque tangente de la focale on peut mener deux plans tangents communs à la surface et au cercle de l'infini.

Nous appellerons foyer d'une surface tout point de la focale. 11 est clair que le foyer peut aussi être défini le centre d'une sphère nulle doublement tangente à la surface.

Il est inutile d'indiquer que la définition précédente concorde avec celles qui ont été adoptées pour les surfaces du second degré.

Propriétés des développables focales.

Étudions d'abord les propriétés principales des développables singulières qui nous ont permis de définir les focales. Leurs plans tangents sont circonscrits au cercle de l'infini que

10 SUR LNE CLASSE REMÀRQUABLli

nous appellerons aussi le cercle (G). Ce cercle (G) d'ailleurs intervient, comme on sait, dans la définition des angles et de la perpendicularité. Si un plan coupe lo plan deTiniini suivant une droite A -, toute perpendiculaire à ce plan vient rencontrer le plan de l'infini au pôle de A pyj' rappor-t au cercle (G). Il suit de là qu'un plan devient parallèle à sa perpendiculaire dès qu'il passe par une tangente au cercle (G).

On voit donc que les normales à nos surlace^ développables focales coïncideront avec les génératrices rectilignes de ces surfaces.

D'ailleurs, l'arête de rebroussement de la surface étant telle que sa tangente va toujours rencontrer le ceicle de Tinfini, en tout point de cette courbe on aura

Js-.-r^O ,

et, par conséquent, un arc quelconque de cette arête de rebroussement sera nul.

En partant de cette propriété de l'arùte de rebroussement, on peut iodiquer la forme caractéristique que prend sur les développables focales la formule qui donne la distance de deux points infiniment voisins. Gar soient œ ,y ,z les coordonnées, fonctions d'un paramètre u, d'un point de rebroussement, on aura

et d'ailleurs tout point de la développable focale est défini par les valeurs suivantes des coordonnées :

^ dxi du du

d'où l'on déduit ou

3) 4S'= '/.\{U)du- .

DR COUafiES Kl DE .SliP,FACLS ALC.tBRiaLKS. 11

On voit que, si l'on change de variable, on a la ferme plus générale

(4) dS=iado^ + bd^)^.

Cette forme est d'ailleurs caractéristique des développablcs étudiées; car elle entraîne cette propriété, qu'en chaque point de la surface il y aura une seule direction pour laquelle dS sera nul; en d'autres termes, le plan tangent sera constamment circonscrit au cercle de l'infini.

ToîUes les lignes tracées sur la surface seront des lignes de courbure; car les norn^ales à la surface en tous leurs points, engendrant la surface elle-même, formeront toujours une surface développable.

Il suit de là que, si l'on circonscrit à une surface quelconque une développable focale, la courbe de contact des deux surfaces sera une ligne de courbure commune aux deux surfaces; d'où le théorème suivant :

Sur loule surface, on peut déterminer en termes finis une ligne de courbure imayinarre, et celle ligne est la courbe de contact de la surface avec la développable focale circonscrite (*).

Il est facile de s'assurer que cette ligne de courbure est distincte de l'enveloppe des lignes de courbure (quand les lignes de courbure ont une enveloppe). Elle donne donc une solution particulière de l'équation différentielle des lignes de courbure.

Considérons, par exemple, la surface du second degré dont l'équation est

Exprimons que le plan tangent est parallèle aux plans asymptotes de la sphère; nous trouvons

(') Voir la communication aux Compter rendus, 1864, et un travail de l'auteur dans les Annales de l'ÈuAe iSormak, inèu:c aniicc.

Cette équation leprésente un cône, qui coupera la surface suivant une ligne imaginaire, laquelle sera ligne de courbure. En effet, prenons Tintersection de la surface précédente (5) avec une autre surface hornofocale

r^t yt 2*

a — y b — a' c — L'intersection des deux surfaces se trouve sur le cône

et lorsque / se rapproche de /,', on a la ligne de courbure indiquée plus haut, qui est, comme on voit, l'intersection de la surface avec la surface hornofocale infiniment voisine.

La considération du cercle de Tinfini permet encore de trouver une classe importante de lignes géodésiques. Supposons que, sur une surface donnée, on sache intégrer Téquation

On obtiendra sur cette surface deux séries de lignes de longueur nulle. Je dis qu on doit les considérer comme des lignes géodésiques, correspondantes au cas où la force vive est nulle. En effet, le plan osculateur de ces lignes est parallèle à deux tangentes infiniment voisines, c'est-à-dire à deux génétrices infiniment voisines du cône asymptote de la sphère. Donc, si l'on mène dans le plan tangent à une surface en M la droite ^ allant rencontrer le cercle de l'infini, le plan mené par cette droite tangentiellement au cercle de l'infini sera le plan osculateur de la ligne de longueur nulle passant en M et tangente à la droite $. Ce plan osculateur, étant normal à la droite o, sera donc normal au plan tangent. Les lignes de longueur nulle considérées possèdent donc la propriété caractéristique des lignes géodésiques.

Le calcul conduit au même résultat. Soit, sur une surface,

(7) ds*=l{dx* + (ly*)

l'expression (!(.' la distance de deux points infimment voisins.

On a, pour trouver les lignes géodésiques, à intégrer Téquation

Cette équation s'intègre, quel que soit /, quand c est nul, et elle conduit aux lignes

dx'' + dy^=0 .

Revenons aux surfaces développables, et imaginons une courbe quelconque tracée sur ces surfaces. Cette courbe aura pour normales les génératrices de la surface. Donc

L'arête de rebroussement de la développalde est une développée commune à toutes les courbes tracées sur cette surface.

Si l'on prend, en particulier, une section plane quelconque, il résulte de la proposition précédente que sa développée sera la projection, sur le plan de la section, de Tarête de rebroussement de la surface, et, par conséquent, les sections de la développable par des plans parallèles se projetteront sur l'un de ces plans suivant des courbes parallèles.

De même, si Ton coupe la développable par une sphère, la développée sphérique de la courbe de section sera la projection conique de l'arête de rebroussement, le centre de projection étant le centre de la sphère. Cela résulte de ce que la surface polaire (ou lieu des développées) d'une courbe sphérique est un cône.

Il résulte de là que les sections par des sphères concentriques se projettent coniquement sur une de ces sphères suivant des courbes sphériques parallèles C).

Ces remarques vont nous permettre de donner quelques propriétés et en quelque sorte la représentation de la surface développable circonscrite à deux surfaces du second degré. Cette développable a pour ligne double une conique. Son arête

l*) Voir des cas particuliers de ces propositions énoncés par M. Moutard fNouvelles AnnalesJ, par M. Laguerre fBuUetin de la Société PhilomathiqueJ , et par l'auteur dans le travail cité de 1864 (Annalen de l'École Normale supérieure!.

i4 SIR INF. GLASSR RKMAROl AIX.K

'it' rebroassement se projette suivant la développée de cette conique, et, pour avoir un point de cette arête, il faudrait élever en chaque centre de courbure une perpendiculaire légale au rayon de courbure multiplié par zbK — 1. La développée étant du 6^ ordre, Farèlé de rebrousseinent est du 12 . Quant à Téquation de la surface, elle est en quelque sort^ identique à celle des courbes parallèles à Tellipse. Si R désigne la distance comptée sur chaque normale de l'une de ces courbes à l'ellipse, il faut remplacer R par zV — 1 .

L'arête de rebroussement de la développable focale circonscrite à une surface fait évidemment partie du lieu des centrer de courbure de la surface. Il résulte de là que toutes les surfaces des centres de courbure d'une série de surfaces homofocales contiennent une même courbe, de longueur nulle, ligne géùdésique singulière pour chacune d'elles.

Applications des propositions précédentes à des problèmes conuua.

Avant de continuer cette étude, nous allons indiquer l'emploi qu'on peut faire des remarques précédentes soit pour expliquer quelques résultats obtenus par le calcul, soit pour simplifier la solution de certaines questions.

Proposons -nous d'abord le problème traité par Euler : Résoudre l'équation

dx^+ dy^ = ds' ,

c'est-à-dire trouver des expressions de x,y,s en fonction dun paramètre 6, débarrassées de tout signe d'intégration,

et satisfaisant à l'équation précédente.

En changeant dans l'équation précédente s en zl^ — l , elle deviendra

djn' + dy'-hdz^=:0,

et nous serons ainsi ramenés à la question suivante : Trouver

DE rOUURRS ET ORT SUIlPA^rS Al.r.f.BHIQUES. 15

dans r espace les équations en termes finis des courbes de Imigueiir nulle.

La solution de ce problème est une conséquence immédiate de ce qui précède.

On prendra un plan

(9) c^.x + py -^iyz + ^ — ^ ,

où les coefficients a , ^ , y , (î seront des fonctions d'un seul paramètre, satisfaisant à l'unique équation

L'arête de rebroussement de la développable, enveloppe de ce plan, sera la courbe cherchée.

On peut résoudre dune infinité de manières l'équation (10), par exemple, en posant

■y r= 1 , « = cos • , |S = sine; l'équation (9) deviendra, dans ce cas, en y remplaçant iz par s (H) a;cose H- ysin © + .s + /'(e) = 0.

Il ne reste plus qu'à prendre les deux dérivées successives par rapport à y ,

~ X sin & H- y ces e + /* (O) = 0 ,

— .rcose — y sin ô 4- fia) -— 0 , qui donjieront

(12) I a; :== /^'f «) sin e + f (e) ces e ,

[y — — p*{Q) CCS e 4- f"{Q) sin e .

C'est la. solution connue.

Mais ou peut encore obtenir d'autres formes en résolvant d'une autre manière Téquation (10), par exemple, en posant

p étant le paramètre variable, etc.

|(î SUR UNE CLASSF. ÏIEMARQIÎABI.E

La ijiôme uiotiiode s'étend, par analogie, à Téquation plus compliquée

inlrigrée par M. J.-Â. Serret (Journal de Liouville, t. XUi, p. 355). Si l'on considère la fonction

(43) 0LX-\-py -i-'^z-'r Ss + î ,

où

y' + P' + Z— ô'^rrrO,

et où a , ^ , /, d , - sont des fonctions d'un seul paramètre, en joignant à l'équation (13) les trois premières dérivées, on aura ainsi quatre équations qui donneront x ,y ,z ,s an fonction d'un seul paramètre, et qui contiendront deux fonctions arbitraires d'une seule variable. Par exemple, on pourra prendre :

(7=1, K = ces 6 , jS — sin e cos ?» , y = sin 9 sin y , = = m. ? = F(^), et l'on trouvera des formules plus compliquées que celles d'Euler, ayant cependant avec elles une analogie indiquée par la similitude des méthodes. Mais il convienl de léserver les développements que j'aurais à présenter sur ces questions et sur d'autres analogues pour un travail spécial.

Dans un autre Mémoire inséré au Journal de Liôuville (t. XIII, p. 361), M. Serret a aussi été conduit à des surfaces réglées formées avec les droites rencontrant le cercle de l'infini, et dont la courbure est constante. Ce fait s'explique naturellement. La sphère est, comme on sait, une surface réglée à génératrices imaginaires. Les surfaces trouvées par M. Serret sont précisément toutes les surfaces réglées applicables sur la sphère.

Le problème est donc, à notre point de vue, une application particulière de cette question, qu'on sait maintenant résoudre généralement : trouver toutes les surfaces réglées, applicables sur une surface réglée donnée.

Knfin, considérons dans respace une courbe gauche quelconque (K), et menons par chaque tangente à la courbe les

DE COURBES ET DE Sl.'KFACES AI.(JÉB«IQl]ES. 17

plans tangents au cercle (C). On formera ainsi deux développables, dont les deux arêtes de rebroussement seront des lignes de longueur nulle, développées de la courbe (K). Or un calcul des plus simples montre que la recherche des développées se ramène à une équation de Riccati, et comme on connaît deux solutions particulières de cette équation, d'après ce qui précède, nous voyons que le problème sera ramené aux quadratures (''). Nous emprunterons un dernier exemple à la théorie des surfaces applicables. On sait que le problème principal de cette théorie consiste dans la détermination de l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée. En d'autres termes, étant donnée l'équation différentielle

(14) dx' + éy' + dz' = kdu^-h^Edudv + A'dv^ ,

on demande de déterminer l'une quelconque des coordonnées X, y, z en fonction de u et de v. La méthode suivante, pour former l'équation différentielle du problème, qui nous paraît plus précise et plus générale que les méthodes connues, explique en outre un fait singulier qui a été signalé par Bour. L'équation (14) peut s'écrire

dx"" -h dif — Xdu- + ^Bdudv + A'dv' — dz', ou

Si donc on suppose z connu et exprimé en u et en v , l'expression contenue dans le second membre de l'équation précédente sera le ds' d'une surface développable. Nous

(') Cette remarque m'a été communiquée par M. 0. Bouiiel, à qui l'on doit une méthode simple pour la recherche des dr^veioppées. (Voir BEUTnANi), Calcul dilférentiel, § r.23.)

18 SUR INE r,î,^<;SE UFMAltOUAHtT

n'avons donc qu'à éoriie Féquatiou ronnuti qui exprime que la surface définie par la loimule

est développablp, c'est-à-dire a sa courbure nulle, et nous Ibimerons ainsi Téquation nécessaire et suftisante à laquelle doit satisfaire ;. Cette équation sera du bccond ordre.

Buur a remarqué un fait qui, dan.-, sa uietiiode. restait inexpliqué : c'est qur cette équrition dittérentielle du second ordie admet cofunie ijUégr'ilr jjiirliciihèrc réquatiou aux. différentielles p.irlielles du premier ordre à laquelle se ramène le pioblème des ligues géodésiques. La métliode suivie explique ce résultat; car, pour trouver le^ lignes géodésiques, on a à ramener Texpression

à la forme

£[, pa'^ suite.

devant è(re égal à Hrfp, a devra satisfaire à la niéme équation différentielle que ?, Texpression qui donne la mesure de la courbuie devenant nulle quand l'élément <ls'- devient un cairé parfait Hi^' ^erfiit même lélénjent d'une développabk- loi'ale de li-i nature de celles qui ont été considérées plus haut.

Des fo^'aies singulières des surfaces.

Quand une surface algébrique contient le cercle de l'infini, il est avantageux de joindre aux focales ordinaires les focales nommées singulières par M. Laguerre. Ces focales sont les

DE '.OlilîRIvS Kf bi: î.i Ki-^i Fn Ai.Cril'.RIQtF.S. 19

lignes doubles de la développalîW' circonscritt- a ia surface suivant le cercle (C). La considération de i-es focales per-met d iMioncpp avec précisioti Ibs» théoi'èoies siiivants relatifs aux i;i)nes circoiisci'iî>.

Soit lin côm circonscrit à une surface. Pour avoir ses rocale.>, il iaut lui meiicj' des pions tangents c.irconsoits au .•en le \C'. \.r>, li^iies d'intersection de ccs plans seront les f(.n.ait'S du cAijc. Ccb plans sont évidemment les plans tangents uiiN deux di.'Vcloppables foc^des, ordinaire et singiiîièro, de la surface menés par le somrnrd du cdne. On voit donc que les focales de tous les cônes circoiiscrit.\ $onl les droites d'inier section 'Icii plans t'iiujeuls nux deux déreloppables focales de la surface mènes par le soniriici dii cône.

l>es droites focaltîs déduites de la focale singulière d-' îo surface peuvent être appelées focales singulières du conc. On voit que le cône circonscrit es! tangent en un certain nombre, de points nn ce\rle (C), et les plans tang*;'!rts an cône eii ces jiomts soid. ceux qui se coupent suivant les focales singMlière.>

Entinja définition des focales étant iangeniielle (c'cst-à-dirf n'employiiiil qii^ les pluns tangents;, !» - focales d'une cour}>e quelconque se déterminent comnu' celles des surfaces : ce sont les lignes doubhs de la développablc circonscriie à la courbe et au cercle (C). Celle développablc aura pour lignes double.^ h'. courbe proposée et d'autres courbes qui seront les focales de la première.

On voit que les différentes lignes doubles d'une dévcloppable focale sont les focales les unes des autres.

Des propriétés focales des systèmes orthogoiiao.

Les développables focales jouent un rôle important dans la théorie des systèmes ortlio^'onanx. J'ai indiqué, daji>^ les travaux antérieurs déjà cdes, quelques propriétés focales des systejnes orthogonaux que je nn^ propose détendre et de préciser ici.

Soient d'abord deux systèmes orthogonaux représentés par une équation unique

f(oc,y ,Z,Ï) T--: 0 ,

du second degré en A. L'enveloppe commune de ces deux systèmes est une surface évidemment imaginaire, mais qui est dans tous les cas une développabie focale.

En effet, deux plans orthogonaux coupent le plan de l'infini suivant deux droites conjuguées par rapport au cercle (C). Pour que ces deux plans coïncident, il faut donc que leur trace commune sur le plan de l'infini soit tangente au cercle (C). L'enveloppe, ayant tous ses plans tangents au cercle de l'infini, sera donc une développabie focale.

C'est ce qu'on peut vérifier pour les systèmes orthogonaux doubles, compris dans une seule équation. Un de ces systèmes, par exemple, peut être défini de la manière suivante. Considérons toutes les surfaces telles que la somme ou la difterence des normales menées de leurs points à deux surfaces fixes (S) , (S') soit constante. Ces surfaces forment un système double orthogonal, et les normales en un point M de l'espace aux deux surfaces du système qui y passent sont les bissectrices de l'angle formé par les normales Mm ,Um' aux deux surfaces fixes (S) , (S') . Pour que ces deux bissectrices, qui sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux normales Mtn , Mm' et au cercle (C), coïncident, il suffit que l'une des deux normales Mm , Mm' aille rencontrer le cercle de l'infini. Donc l'enveloppe des surfaces du système double contient les deux développables focales circonscrites aux deux surfaces fixes.

Un de ces systèmes, formé des surfaces dont l'équation est

Vx'-hz' ± Vy^ + z' = u,

a été découvert et étudié par M. J.-A. Serret. Les surfaces dont il se compose sont telles que la somme ou la différence des distances d'un de leurs points à deux droites fixes soit constante. Leur enveloppe se compose des deux systèmes de deux plans

passant par les deux droites fixes et tangents au cercle (C). Ces plans sont tangents à chacune des surfaces en tous les points d'une section conique.

Considérons maintenant trois systèmes orthogonaux et supposons que les deux premiers seulement soient représentés par une seule équation; alors, l'enveloppe du système unique, formé par les surfaces des deux premiers systèmes, sera une développable focale. Je dis que cetie développable sera coupée suivant des droites par les surfaces du S' système.

En eflet, soit M un point de l'enveloppe développable. En ce point passent deux surfaces du système double, tangentes à la développable, et ayant pour normale la génératrice rectiligne de cette développable. Par suite, la troisième surface normale aux deux premières coupera leur enveloppe développable suivant une courbe tangente en chaque point à la génératrice rectiligne. Cette courbe ne peut donc se composer que d'un certain nombre de génératrices rectilignes, et exceptionnellement de'l'arête de rebroussement. Donc,

Quand on a trois systèmes de surfaces orthogonales, et que les deux premiers sont compris dans une seule équation, les surfaces des deux premiers systèmes sont, au moins en partie, honiofocales ; leur enveloppe est une développable coupée suivant des droites par les surfaces du troisième système. Ces droites sont évidemment, sur chaque surface du troisième système, des enveloppes des lignes de courbure de cette surface.

Ces théorèmes s'appliquent a /"or^ïort au ca& où les trois systèmes orthogonaux sont compris dans une s€ule équation, comme il arrive pour les surfaces du second degré, et pour les surfaces du quatrième degré que nous étudierons plus loin. Alors toutes les surfaces sont homofocales. Chacune d'elles touche l'enveloppe commune suivant une courbe (qui est une ligne de courbure, intersection avec la surface infiniment voisine), et la coupe suivant plusieurs droites. Les points d'intersection de ces droites sont des ombilics, puisque l'indicatrice de la surface en ces points est un cercle.

22 SUR UNE r.LASSK REMAJtOLABLE

Ces propositions sojit naturelleinerit sujettes à beaucoup d'exceptions, comme toutes celles qui sont fondées sur la théorie des enveloppes et de la continuité. Aussi ne faui-il pas leur donner une valeur absolue, et, si nous les avons exposées, c'est ([ue le procédé de démonstration qui les donne nous a paru susceptible d'être employé dans les cas où elles sont en défaut, et conduit alors, pour chaque cas particulier, à des remarques rigoureuses et précises. Nous les vérifierons pour un système orthogonal remarquable dans la suite de ce travail. On peut dès à présent reconnaître ({u'elles sont exactes pour les surfaces du second degré.

La développable focale circonscrite aux quadriques homofocales est du 8^ ordre. Elle est coupée par chaque plan principal suivant une conique, qui est une courbe double, et suivant 4 droites, qui sont les enveloppes de toutes les sections principrdes des surfaces homofocales.

Elle touche chaque quadrique suivant une courbe du 4* Cidre, intersection de cette surface, et de la surface homoibcale infiniment voisine, elle coiipe la quadrique suivant 8 droites se croisant aux 12 ombilics, et ces droites sont l'enveloppe de toutes les lignes de courbure de la quadrique. Ces ditïérents résultats ont été établis par MM. Cliasles, Cayley, Grernona dans la géométrie projective.

Des îjystèmes orthogonaux, et des lignes de courbm-b sur une surface quelconque.

Quel(]ues-unes des propriétés focales di>s systèmes orthogonaux dans le pian, découvertes par M. Kurnmer, s' ('tendent aussi aux systèmes orthogonaux tracés sur des surfaces continuer =

DE COURKIiS KT T>F, SURFACKS ALGÉBRIQUES. 23

Par exemple, si Ton a sin- une suriace <ipux systèmes de lignes orthogonales représentées par une seule équation, ces lignes admettent pour envelojipe une ligne géodésique.

Un des exemples les plus remarquables est fourni par les lignes de courbure et Ton peut démontrer le théorème suivant :

Quand les lignes de courbure ont une eMveloppe, celte enveloppe se compose nécessairement de plusietus lignes droites lUlanl rencontrer le ce.rcle de Vlnfini, à moins qu'elle ne soil la ligne de courbure singulière, lieu des points où le 'plan langent à la surface est tangent au cercle de l'infini.

On sait, en effet, que. pour construire en chaque point M les directions des lignes de courbure, il l'aut mener les droites conjuguées à la fois par rapport au couple de tangentes principales et par rappori au cercle de rinfini ou aux deux droites qui joignent le point M aux deux points du cercle de Cinfiiii situés dans le plan tangent. Les deux directions des lignes de courbure ne viemient donc se confondre que ^i une des tangentes principales au point M va renconti-er le cercle (C). Donc, si les lignes de courbui'C ont une enveloppe, cette enveloppe sera à la fois une ligne asymptotiqne. et une Ugiie géodésique ds^ ~ 0 . Il faudra donc que son plan osculateui soit à la fois tangent et noi'nud ^ la surface. Cela ne peut arriver que de deux manières diftéi entes :

!° Si le plan osculateur cin indélermuié, alors Tenveloppc esl une ligne droite;

"2<* Si le plan tangent est aussi norinal à la surface, et, dans ce second cas, il faudra i(uê renveloppe coïncide jv ec la courbe de contact de la developpablc focale circonscrite à la surface. Cette courbe de contact devra être une ligne

,JS' r^.- 0 .

Il ne f *ut pas oublier, dans lapplication de oc théorème,

24 SUK UNE CLASSE REMAHUlJABLE

que généralement il n\ a pas d'enveloppe pour le système des ^ lignes de courbure (^).

Des foyers des courbes sphériques et de la iransforniation par rayons vecteurs réciproques des focales.

Les focales des courbes sphériques se définissent comme celles de toutes les autres courbes. Mais on peut aussi définir directement les foyers d'uïie courbe silnée sur la sphère sans sortir de cette surface, et par la considération de ses génératrices rectilignes.

Étant donnée une courbe sphérique (G), menons les génératrices rectilignes des deux systèmes qui lui sont tangentes. Ces génératrices formeront évidemment deux faisceaux dont les points d'intersection seront les foyers de la courbe. Ces points pourront, en effet, être considérés comme des cercles de rayon nui doublement tangents à la courbe, et ils seront à l'intersection de la focale complète, et de la sphère qui contient la courbe (G). Ils resteront les foyers, quand on effectuera une transformation par rayons vecteurs réciproques.

Plus généralement, les développables focales se transforment, nous l'avons vu, en développables focales, et par suite les transformées des focales seront les focales de la nouvelle surface. Ce théorème s'applique évidemment aux courbes et aux surfaces.

(M Voir à ce sujet deux noies de l'auteur dans les Comptes rendus de 1870 sur les solutions singulières des équations difrérentielles, et des observations de M. Catalan, publiées dans le même Recueil. Depuis la publication de ces Notes, M. Moutard a bien voulu me rappeler que, dans une conversation particulière, il m'avait indiqué, ce dont je n'avais nul souvenir, que les lignes de courbure n'ont pas en général d'enveloppe. C'est, comme on voit, un cas particulier important de la proposition générale (jue j'ai signalée.

Soit donné, par exemple, un cercle (H). Les plans tangents à ce cercle et au cercle de l'infini enveloppent deux cônes, qui sont les sphères de rayon nul, passant par le cercle. Soient 0 , 0' les centres de ces sphères, qui tiennent heu de la focale du cercle. Le système formé du cercle et des deux points 0,0' sur son axe demeurera invariable par toute transformation par rayons vecteurs réciproques. Les focales d'un cône contenant le cercle et ayant un point M pour sommet seront les droites MO, MO', etc. 0).

Nous terminerons ici cette étude sur les focales, que le lecteur aura peut-être trouvée trop longue. Il nous a semblé que, les imaginaires ayant été nettement introduites en géométrie, il convenait d'en faire une analyse détaillée dans toutes les questions où on les rencontre.

Nous espéroni> que les exemples déjà donnés, et ceux que nous développerons dans la troisième partie de ce travail, montreront qu'il y a avantage à préciser et à développer les notions admises implicitement par un très grand nombre de géomètres.

(') Ce système, qui a élé considéré par MM. Chasies, Cayley, Laguerre, etc , donne lieu à plusieurs propriélés. J'en ai signalé quelques-unes dans un Mémoire inséré aux Annales de l'École Normale pour 1870, t. I, 2^ série.

SLR tiNE CLASSE REMARU' ABLE

DtliXIÈfflE PAHTIE.

Etude d'une classe remarquable de courbes du 4« ordre.

Introduction. — Défiuitiofl des courbes à éîudier.

Les coufbes dont nous aHoiis essayer de fairo luip théorie sont les eourbes du i* ordre qui résulttMit de riutersenUoii d'une sphère et d'uue surface quelconque du second degré, et les courbes planes qui se déduisent de C(dles-ci au moNen de la transformation par rayons vecteurs réciproques.

Ces courbes sont très importantes; on les rejicoidre dans un grand nombre de questions. Peut-être n'avail-on pas étudié d'mie manière coinpiète leurs propriétés métriques et focales, quand j'ai donné, dans les Coinptes Rendus et daii> les NouveUes Annales de 1864, quelques théorèmes i;éncraux qui s'appliquent a toutes ces courbes, et qui les rapprochent, par leurs propriétés focales, des courbes du second degré.

Le plus important de ces théorèmes consiste dans la déferiTiinatioii àe leurs focales, et dajis les mopri':tf's nichiques de ces foealfts, qui constituent une généralisation du beau théorème de M. Dupin sur les coniques focales ou excentriques Depuis 1864, elles ont été étudiées par un grand nombre de géomèfres, MM. de la Gourntrie. Laguerre, Moutard, "te. \)u pourra consulter pour l'historique de la ijuestion nn Mémoire de M. dr la Gonrnerie, insé.é en 1869 dans !e Juainai de Liouviile. Elles ont fait aussi l'objet des recherches de plusieurs ^B'.nicrlrei anglais, au Jiombre desquels je citeial MM. CaseV;

I)E {;0UUBKS ET UK SLlHrA(.ES ALGI^UKiyuRS. 27

Cayley, Crofton, Sylvester. Auprtravanl. elles avaient été éiudiées par MM. Yan Rees, Quetelct, Chasl<^s, Oandelin, etc., sous le nom de spiriqnes. Quelques-unes d'eiUre elles ont même été considérées par les anciens géom.ètres. On voit que rhistorique des recherches relatives à ces courbes t^st une tâche ardue et délicate. Je me contenterai de citer les travaux dont je me serai inspiré ou (|ue je connaîtrai. S'il y a lieu, une note placée à la fin du Mémoire contiendra une liste des Mémoires et des travaux se lapportant à ces courbes, que j'appellerai cycliques dans la suite de ce travail. Il y aura donc les cycliques planes et les cycliques sphériques. Les premières tJtant les transformées des secondes, c'est des courbes spbfn {ues que je m'occuperai d'abord et d'une manière plus complète,

ïl ne sera peut-être pas inutile, pour donner une idée de Fintérèt qui s'attache à ces courbes, d'en signaler plusieurs d'une espèce particulière. Les cycHques planes comprennent la cubique circulaire, la focale à 7iœud, les ovales de Descartes, la cissoide, la lemniscate, Vellipsc de Cassini, les podaires ou réciproques de coniques, les sections planes du lore ou spiriqucs^ le !iru des sommets des angles corjstants circonscrits à une conique, etc.

Li'S cycliques sphériques comprennent les coiiiqucs spiuhiqafs ^ la fenêtre de Viviani, les courbes employées paî' M. William iioberts pour la l'eprésentation des fonctions elliptiques ; les sections sphériques du tore, de la cyclide de M, Dupln, de toutes les surfaces du -4^ ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et on particulier des podaires ou transformées par rayons vecteurs réciproques des surfaces du second ordre.

Étude des cycliques sphériques.

On sait que, par l'intersection d'une sphère el d'une surface du second degré, on peut toujours faire pa^iser quatre cc'>iies réels ou imaginaires, distincts ou confondus.

Dans le cas que nous avons à examiner, deux de ces cônes au moins sont toujours réels. On pourra donc substituer à la surface du second degré un cône réel.

En effet, les sommets des quatre cônes, passant par l'intersection des deux surfaces, forment un tétraèdre conjugué, commun à la surface et à la sphère. Si l'un des sommets est imaginaire, il y aura un autre sommet imaginaire, conjugué du premier, et la droite passant par ces deux sommets sera réelle. On peut donc toujours placer les quatre sommets sur deux droites réelles, qui sont polaires Tune de l'autre dans la sphère.

Une de ces deux dioites ne rencontre donc pas la sphère; prenons sur cette droite les deux points qui divisent harmoniquement les deux segments qu'elle intercepte dans la sphère et dans la quadrique. L'un des deux segments, celui qui est intercepté dans la sphère, étant imaginaire, les deux points seront toujours réels, et seront les sommets de deux cônes réels (quand la courbe sera réelle) passant par la courbe. Ces deux sommets seront évidemment extérieurs à la sphère.

Donc, par la courbe d'intersection de la sphère et de la surface passent quatre cônes. Deux de ces cônes au moins sont réels quand la courbe est réelle, et ont leurs sommets extérieurs à la sphère.

Mais il est nécessaire d'examiner cette question d'une manière plus complète, a/in d'avoir une idée plus précise des formes qu'affectent les cycliques dans tous les cas possibles.

On sait que les quatre cônes passant par l'intersection de deux surfaces quelconques du second degré se déterminent par la résolution d'une équation du 4* degré. Dans les Nourvelles Annales de Mathématiques, 1868-69, M. Painvin a repris rétude de cette équation, et il a examiné d'une manière détaillée les différentes formes de la courbe d'intersection, le nombre de cônes réels, la réalité de la courbe dans les différents cas. On peut ajouter aux résultats obtenus par ce géomètre les suivants, que nous donnerons ici sans démonstration. Nous nous bornerons au cas où l'équation du 4^ degré a ses racines distinctes.

DR COURBFS RT DE SURFACRS ALGÉBRIQUES. 29

Si cette équation a ses quatre rarines réelles, deux des quatre cônes au moins sont réels (voir le Mémoire cité). Il ne peut donc se présenter que les deux cas suivants :

i^ Les quatre cônes sont réels, et alors la courbe est réelle. Nous ajoutons qu'elle se compose de deux branches. C'est le cas d'arrachement.

2" Deux cônes seulement sont réels. La courbe est entièrement imaginaire.

Si deux racines seulement sont réelles, alors les deux cônes ayant leurs sommets réels sont réels ; les deux autres sont imaginaires. Nous ajoutons que, dans ce cas, la courbe se compose d'une seule branche. Il y a pénétration des deux surfaces.

Enfin, si les 4 racines sont imaginaires, d'après M. Painvin, la courbe est toujours réelle; mais on peut remarquer de plus qu'elle se compose de deux branches distinctes.

En résumé, nous voyons que le tétraèdre conjugué commun a toujours deux arêtes réelles. Quand deux seulement de ses sommets sont réels, il y a pénétration. Quand les quatre sommets sont imaginaires, on a une courbe réelle à deux branches distinctes. Enfin, quand les quatre sommets sont réels, la courbe se compose de deux branches réelles distinctes, ou est entièrement imaginaire.

Ainsi, dans les deux cas où les quatre cônes sont tous réels ou tous imaginaires, la courbe se compose de deux branches distinctes. On peut cependant effectuer une distinction géométrique très importante entre ces deux cas. Quand les quatre cônes sont imaginaires, la courbe réelle d^intersection se compose de deux branches coupées chacune en un nombre impair (1 ou 3) de points par un plan quelconque. Au contraire, quand les cônes sont réels, chacune des branches est coupée par un plan en un nombre pair (0, 2, 4) de points.

On voit que la courbe d'intersection, dans le cas où les 4 cônes sont imaginaires, possède les propriétés de la cubique gauche, complétée au moyen d'une de ses sécantes (elle se réduit, en effet, à Tensemblc de ces deux lignes quand les

'iO SL'h UNK ClASbE RlMARUb'AHI.F.

deux l'acines qui étaient iinaginairfR àtviennent «égales). Dai.s ce cas d'ailleurs touit^s les sipiaces passant par ia rour-bt^ sont des hyperijoloïdes, tout j^lau, rt eu particuliei' le plan de fiaiilni, otiupe la courbe au luouis en deux points, an plus en quatre pointrs.

Ht'Vfr-uons au oas parliculior que nous avons à oxanwner et où l'une des snrfaees ost une spiure, deux cônes -seroul toujours réels; on ne peut doucfaire que les hypotlirses suivaules ;

l" Les quatre cdues sont réels, la courbe sera réelle, et composée de deux bran«:lie.s coupées chacune par un plan en mi nombre pair de pûiiits;

^ Les sommets des quatre cônes sont réels et deux des cônes seulement réels, la courbe sei-a unaginaire;

S" Le tétraèdre conjugue a deux sommets' réeis et >.U;ux itnaginaires, la courbe se Composeia d"une seule branche.

Do la ^ciiération des cyoliqnes (').

Nous désignerons par fO) , (D,) , (D,) , (D,) les quatre c^nes contenant la courbe, par rt , o, , n, . a^ leurs soiniuets respectifs. Si l'on mène tous ies plans tangents au cône (li) par exemple, ces plans tangents coupent ta sphère suivant des cercles dont {'enveloppe est la courbe que nous étudions. Tous c*'S cercles coupent évidemment à angle droit un cercle fixe de la sphère, le r,ercle de conlact du cône circonscrit à la sphère et ayant le point c pour sommet. Houe, la cyclique peut '''ire considérée comme Tenvehqtpe de cercles sphériques ortui-iionaux à un cercle fixe, et, pour déterminer ce système de ceicics, il sutfira de

Ci On pourra con.^iUlt'i-. s\ir ceite qoesUon, fli(l<j rentes coninimîii-.uions iinpoiluules de MM. Moutar.l, La^iUt'rre, Mannheini, dans le Baliehn iie la Société Phiiijinathiqti-^ , dans le Journal de LioauiUe, et les travaux de l'auteur (liua \t&. Xuuvellss Annafei <le 18B4 et «laus les Annales de i'Éiuk Wonnalg supériturCj t. IL III f»t IV.

\-y roijRHRs ET nr. scrfahes \i,r.ftnruo('Ks. .'H

trouver In lieu de Jeiirs pôles ou eenircs !^j)héfi()ue<. Gr ces pôles sphériques sont n rintersection de ia sphère et dfs perpendieulairt'H abaisséps du eentre de la' sphère sur les plans tangents. Us sont done à l'intersection '^e la sphère, et du cône supplnnienlaiic du cône (D) mené [lar le centre 0 de la sphè-rc. Le lieu des polos de ces cercles est donc une conique spliérique (K). Nous dé.>iç:nerons do même par (K,) , (K,) , (K,) , les 3 autres coni(iues correspondant aux cônes {b,} . (D, > , (D,\ . Donc :

Une cydiqw' peut être conndrrée, Pt dei manières différentes^ comme 1^ enveloppe d'' cerdes orlho/jonn.' ■ à un ccrde stphérique et ayant leurs pôles sur une conique splurique.

Les (ycli<iues ont une propriété très Jmportarle. Kllcs demeurent, sous certaines conditions, invariables pai' unf' Iransfoprnation par rayons vecteurs réciprfuiues. Si l'on prend, eu effet, pour pôle de !a traiisibrniation Jc sommet de I un des quatre cônes, a par exemple, et pour module de la trun^Corniation la tangente menée de ce puinl à la >^phèrH, le cône et la sphère ne seront pas changés, et par conséquent leur courbe d'intersection demeurera aussi invariable. Les (ïycliques sont donc sur la sphère des courbes planes analogues aux courbes nommées (inaUaijnHUiques par M. Moutard, et qui ont la propriété de se transformer v\\ elles-mêmes quand on emploie une translbr;nalion pai- ravons vecteurs réciproques tMjnvenabiement choisie.

Si Ton transforme par rayons vecteurs réciproques, en prenant un pôle et un module quelconques, la cyclique «^c transforme en une autre cyclique. En effet, la sphère se ti aiisfovme en une sphère, la surface du secorid degré se transforme en une surface du 4*= ordre, ayant le cercle de l'infini pour li.Lrne double. Or on sait que les sections sphérifjuus d'une telle surface peuvent toujoui-s être placées sur un cône dn second degré.

Cependant, si le pôle est placé suj' la sphère qui contient la cyclique, celle-ci se transforme, si le pôle nVst pas sur ia

cyclique, en une courbe plane du 4' ordre, ayant pour points doubles les deux, 'joints à l'infini sur le cercle. En effet, soit a le pôle choisi. Les deux génératrices de la sphère passant en a coupent la courbe en quatre points m , n ,m^,n^, qui sont rejetés à l'infini sur les cercles du plan; et d'ailleurs, tout cercle du plan, étant la perspective d'un cercle de la sphère, coupera la courbe plane eu quatre points seulement.

SI on prenait le pôle a sur la courbe, la projection stéréographique de la c^Tlique serait une cubique circulaire, c'est-àdire une courbe du 3^ degré passant par les deux points à l'infini sur le cercle.

Réciproquement, toute courbe plane des deux espèces indiquées est coupée en 4 points seulement par un cercle, et par conséquent est la réciproque d'une cyclique sphérique, intersection de la sphère et d'un cône du second degré.

Classification des cycliques.

La classification des courbes précédentes dérive naturellement de leur mode de génération.

1" Le cône peut être doublement tangent à la sphère; alors la cyclique se compose de deux cercles.

2<» Le cône peut être simplement tangent ; alors le point de contact a est un point double de la cyclique. On sait que dans ce cas un des cônes passant par la courbe compte pour deux, et a son sommet au point a. Prenons ce point pour pôle, et faisons la projection stéréographique de la courbe. Nous obtiendrons évidemment une conique plane Donc la cyclique à 'poinl double est une transformée par rayons vecteurs réciproques de conique plane.

3° On peut encore établir des divisions d'après la nature des points d'intersection de la courbe ou du cône avec le cercle de l'infini.

Si le cône est doublement tangent au cercle de Tinfini, il sera de révolution; la conique (K) sera un cercle, les autres coniques (K,) , (K,) , (K,) seront des cercles, que nous reconnaîtrons être concentriques au premier. La cyclique sera donc Fenveloppe d'un petit cercle orthogonal à un cercle fixe, et dont le pôle décrit un autre petit cercle. Elle sera doublement tangente au cercle de l'infini. Nous l'appellerons dans ce cas une cartésienne; elle se rattache en effet par les analogies les plus étroites aux ovales de Descartes.

4'' Enfin la cyclique la plus générale est l'intersection d'un cône quelconque et de la sphère. On pourra distinguer dans cette classe comme dans les précédentes les courbes par lesquelles passent un, deux, ou trois cylindres.

Danis le plan, les divisions se font de la même manière. On a:

1** Les réciproques ou podaires de coniques ;

2*> Les ovales de Descartes, qui ont deux points de rebroussement à l'infini ;

3° La cyclique du 3' degré ou cubique circulaire;

4" La cyclique générale.

D'autres divisions se présenteront naturellement dans la suite.

Propriétés générales des cycliques.

Puisque les cycliques sphériques sont l'intersection d'une sphère et d'un cône du second degré, leurs propriétés pourront se déduire de celles des surfaces du second degré

Par exemple, considérons deux points m , n de la cyclique. On peut toujours par la cyclique faire passer une surface du second degré qui ait la droite mn pour génératrice rectiligne. Tout plan passant par mn sera tangent à cette surface et la coupera suivant une autre génératrice, sur laquelle seront deux points m', n' de la courbe. D'ailleurs, les quatre points m , n ,

■m',n', étant dans un plan, se trouveront sur un petit cercle de la sphère. D'autre part, le plan, passant par m'n' et par le centre de la sphère sera tangent à la surface du second degré, et enveloppera un cône circonscrit à la surface. Donc,

Si, par deux points quelconques de la cyclique, on fait passer un petit cercle, ce petit cercle coupera la cyclique en deux autres points, et l'arc de grand cercle qui joint ces deux points enveloppera svr la sphère une conique sphérique.

11 est aisé de voir que cette conique sphérique sera tangente en quatre points à la cyclique proposée. En faisant varier les points m ,n , on aura une suite simplement infinie de coniques sphériques inscrites dans la courbe.

On démontrerait de même que si, par les deux points m' ,n' , définis plus haut, on fait passer un petit cercle coupant à angle droit un cercle fixe, ce cercle variable enveloppera une cyclide.

Prenons, sur Tune des surfaces réglées contenant la courbe, quatre génératrices formant un quadrilatère gauche. Ces quatre génératrices coupent la cyclique en 8 points qui sont 4 à 4 en des plans et par conséquent sur de petits cercles. Nous obtenons donc la proposition suivante :

Si on coupe une cyclique par un cercle quetcmique, quepar deux des quatre points d' intersection on fasse passer un cercle, et par les deux autres un autre cercle, les deux nouveaux cercles iront couper la cyclique en quatre points nouveaux situés sur un cercle.

Cette propriété très générale s'étend naturellement aux cyclides planes, qu'on peut déduire de leurs analogues sur la sphère, en augmentant indéfiniment le rayon de cette sphère. Les théorèmes précédents pourraient être beaucoup étendus. Nous allons passer à une autre question.

Des relations aatre les différents inodes de génération d'une cyclique.

Nous avons vu qu'une cyclique peut être considérée de quatre manières différentes comme l'enveloppe de petits cercles ayant

leurs centres sphériques sur une conique (K), et coupant à angle droit un cercle (A). Nous désignerons par (K) , (K,) , (K,) , (Kj) les quatre coniques auxquelles nous donnerons, à l'exemple de M. de la Gournerie, le nom de coniques déférentes, et par (A) , (A,) , (A,) , (Aj les cercles correspondants que nous appellerons cercles direcleurs.

Les coniques (K<) sont à l'intersection de la sphère et des quatre cônes qui ont leurs sommets au centre de la sphère, et qui sont supplémentaires des quatre cônes (D) , (D,) , (D,) , (D3) passant par la cyclique. Ces quatre cônes (D.) , coupant le cercle de l'infini au même point, sont homocy cliques; les quatre coniques (K,) sont donc homofocales.

Les quatre cercles (A,) étant dans les faces d'un tétraèdre conjugué à la sphère seront orthogonaux deux à deux.

Mais pour mieux approfondir les relations de ces différents modes de génération, nous allons résoudre le problème suivant :

[}n mode de génération étant connu, c'est-à-dire une conique déférente et le cercle directeur correspondant étant donnés, trouver les trois autres modes de génération.

A cet effet, soient donnés la conique (K), le cercle directeur (A), et prenons un des cercles mobiles, ayant son centre en m , et orthogonal au cercle (A).

L'axe radical de ce cercle et du cercle infiniment voisin ira passer au point 0 , centre du cercle (A) . La position-limite de cet axe, perpendiculaire à la ligne des centres, sera donc l'arc

36 Sl-P. liNFr CLASSE REYARQUABLE

de grand cercle Opp' mené par le point 0 perpendiculairefr/enl à Tare t^ lisent en m . Les deux points de contact du cercle avec son enveloppe seront p ,p' .

Ces deux points de coptact viennent se confondre quand Tare tangent en m devient tangent au cercle (A). La cyclique coupera donc le cercle directeur (A) aux quatre points de contact a ,a, ,a^ya^ des arcs tangents communs au cercle et à la conique, et elle coupera ce cercle directeur à angle droit.

Il résulte de là que si, des points 6,6' comme pôles, on décrit deux cercles passant le premier en a, a,, le second en a^ , a^ , ces deux cercles seront doublement tangents à la cyclique et appartiendront évidemment à un même mode de génératioii. Les deux arcs oa^ , a^a, iront donc se couper au pôle du nouveau cercle directeur en 0'. Ce cercle directeur est donc déterminé, puisqu'on connaît son pôle, et qu'il est orthogonal au cercle (A), Appf^lons-le (A,) , et remarquons que son centre 0' a même polaire dans le cercle et dans la oonique,

La conique (K,) correspondanfc doit être homofocale à la conique (K). et passer par les points b ,b' . Elle est donc aussi déterminée. On connaît même ses tangentes en h , b' , qui sont les bissectrices des angles b , b' du quadrilatère.

On voit que nous rencontrons ici, sans avoir à le démontrer, un des plus beaux théorèmes de M. Chasles sur les coniques sphériques :

Si l'on mène les quatre arcs de grand cercle tangents à une conique sphenque eC à un pdit cercle, les sommets opposés du

quadrilatère formé par ces arcs tangents sont sur une conique, homofocale à la proposée.

Comme on a six sommets qu'on peut grouper deux à deux de trois manières différentes, nous obtiendrons bien les trois nouveaux modes de génération. Nous apercevons de plus une relation de réciprocité remarquable entre les quatre cercleF (A.) et les coniques correspondantes. Étant donnée une quelco»ique des quatre coniques, les trois autres s'en déduisent toujours par les mêmes constructions géométriques.

Remarquons qu'étant donnés une des coniques (K.) et le cercle (A,), les centres des trois autres cerelei sont les sommets du triangle conjugué commun au cercle et d la conique.

Au point de vue de la réalité des ditrérents éléments, il y a deux cas à distinguer, quand la courbe est réelle.

Quand deux cônes réels seulement passeront par cette courbe, les deux mod^s de génération correspondants seront formés d'une conique et d'un cercle jpéel. Cette conique et ce cercle se couperont en deux points réels et auront deux tangente^ réelles; les deux autres modes de génération seront entièrement imaginaires, les coniques et les centres des cercles correspondants étant imaginaires. C'est le cas de la cyclique à yne seule branche.

Au contraire, si les quatre cônes passant par la courbe sont réels, les quatre modes de génération seront réels. Une des coniques (A,) sera coupée en quatre points réels par le cercle (K); les trois autres coniques n'auront aucun point commun avec le cercle qui leur associé. Ces conclusions résultent d'un examen ne présentant aucune difficulté.

Des différents modes de génération pour ks diverses espèces de cycliques.

L'examen des cas particuliers de la construction précédente conduit naturellement aux diverses espèces de cycliques.

Supposons d'abord que ie cercle (A) se réduise à un point. Alors les petits cercles, ayant leur centre sur la conique (K), passeront par le point fixe A, et leurs points de contact avec Tenveloppe s'obtiendront en prenant les symétriques du point A, par rapport à toutes les tangentes de la conique (K).

Donc, si Ton double les arcs vecteurs menés du point double d'une podaire de conique à un point quelconque de cette podaire, on obtient une cyclique ayant même point double que la podaire.

La podaire elle-même est-elle une cyclique? On peut s'assurer que c'est une courbe généralement plus compliquée.

Les autres modes de génération de notre cyclique se détermineront de la manière suivante. Les trois points ayant même polaire dans le cercle de rayon nul A et dans la conique,

sont le point A et deux points 0' ,0", situés sur l'arc polaire de A . Des six somm.ets du quadrilatère, quatre se confondent en A , Les modes de génération sont déterminés de la manière suivante :

1® Une des coniques passant en A et homofocales à (K), ayant pour normale AO' ,et le cercle décrit de 0' comme pôle avec A 0' pour rayon ;

2° L'autre conique passant en A , ayant pour normale AO", et le cercle décrit de 0" comme pôle et tangent en A à la conique ;

3*" et 4** Le premier mode de génération comptant pour deux.

On obtient ainsi une cyclique à point double, réciproque de conique plane, ou podaire de cône, toutes les fois que le cercle directeur se réduit à un point ou devient tangent à la conique déférente correspondante.

Des cartésiennes.

Dans ce cas, le cône (D) étant de révolution, chaque conique (K) est un cercle, et tous ces cercles ont pour pôle le point où l'axe de révolution mené par le centre de la sphère perce la sphère. C'est ce qu'on va reconnaître par l'application de la

construction générale.

Construisons le quadrilatère circonscrit au petit cercle (K) et au cercle (A). La conique (K,), homofocale à (K) et passant

par b' , b\ n'est autre chose que le cercle de centre G passant par ces 2 [points. Le cercle directeur (A) correspondant aura son centre sur la ligne OC, au point d'intersection de aa' et de a" a'".

De même, la conique (K,) sera le cercle de centre C passant par 6', b", et le cercle (A,) correspondant aura son centre au point d'intersection de aa", a' a" sur OC. Mais la conique (K3) , passant par b et b", se réduit à l'arc de grand cercle 6 6" OC. Le cercle directeur (A3) correspondant se réduit à ce même arc de grand cercle. Il y a donc un mode de génération qui

40 Sl'R UHE CLASSE REMARQUABLE

devient illusoire, fl se présente ici une indétermination, que nous lèverons en parlant des courbes d^intersection d'un cylindre et de la sphère. Toute cartésienne, en effet, a un plan de symétrie, qui passe par l'axe du cône et le centre de la sphère. Elle se trouve donc sur un cylindre parabolique, ayant son axe perpendiculaire à ce plan de symétrie.

Cette indétermination se présente dans le cas général, toutes les fois que deux sommets opposés du quadrilatère par lesquels doit passer une courbe homot'ocale à la proposée se trouvent sur l'axe focal. On voit bien d'ailleurs que, toutes les fois que la cyclique sera sur un cylindre, les plans tangents au cylindre couperont la sphère suivant des petite cercles ayant leurs pôles sur un grand cercle, celui auquel ils doivent être orthogonaux. La génération iniliquée ne peut donc ici nous servir.

Des propriétés focales des cycliques.

Nous avons vu, dans la Première Partie de c^e travail, que le foyer d'une oourbe sphérique peut être cbFisidéré comme un cercle de rayon nul, doublement tangent à la courbe. Gomme nous avons trouve les quatre séries de cercles doublement tangents à la cyclique, il suffira d'examiner ceux de ces cercles dont le rayon devient nul.

Considérons l'un quelconque des cônes (D') par lesquels passe la cyclique. Tous les plans tangents à l'un de ces cônes coupent la sphère, nous l'avons vu, suivant des cercles doublement tangents à la cyclique. Donc les plans tangents au cône et à la sphère couperont la sphère suivant des cercles de rayon nul, doublement tangents à la courbe; ce seront les foyers. Ces, foyers seront à la fois sur le cercle directeur (A,) et sur la conique déférente (K,). Gela résulte aussi de la génération de la courbe au moyen des éléments (A,) , (K,) .

On a quatre foyers sur chaque cercle directeur, en tout

DE COURBES ET DE SURFACES ALI.i^SRlL-i'ES. 4!

16 foyers. U est clair que ces foyers sont les i6 points d'intersection de deux faisceaux formés avec quatre génératrices de système différent.

En effet, si l'on considère les p génératrices d'un même système de la sphère, tangentes à la courbe, il y en aura p imaginaires conjuguées, de l'autre système, tangentes aussi à la courbe. Ces droites donneront par leur intersection p' points, qui seront des foyers. Ici p=A. Cela indique d'ailleurs une nouvelle relation entre les quatre coniques (K,) et les quatre cercles (A,). Les quatre points d'intersection des coniques el des cercles correspondants sont situés sur quatre droites de deux manières différentes.

Il est clair, d'après ce qui précède, que quatre foyers seulement pourront être réels. Mais, 1° dans le cas où la cyclique aura une seule branche, deux des foyers réels seront sur un cercle (A,), les deux autres sur un autre cercle (A,); 2° dans le cas où ta cyclique aura deux branches, les quatre foyers réels seront sur un môme cercle. Cette distinction, qui résulte de l'art. 12, devait être faite ici.

Les foyers jouissent de plusieurs propriétés remarquables, qu'on déduit du théorème de Poacelet. Voici le principe très simple qui conduit à ces relations.

Soit une sphère, et menons-lui un plan tangent en A. Pour tout point M de cette sphère, le carré de la distance au point A sera proportionnel à la distance du même point M au plan tangent en A. On aura, en appelant p cette distance au plan tangent,

(17) ÂM' = r' = 2a/>.

Plus généralement, si l'on prend un plan (P) et une sphère (S') passant par le cercle de la première sphère situé dans le plan (P), il y aura, pour tout point M de la première sphère, un rapport constant entre le carré t' de la tangente menée de M à (S') et la distance p du même point M au plan (P). On aura

(Î8) t'-=:zia'p.

Ces remarques, extrêmement simples, suffisent pour la démonstration des théorèmes que nous avons en vue.

Considérons d'abord trois plans tangents communs au cône (D) et à la sphère. Ces plans toucheront la sphère en trois foyers situés sur un même cercle directeur (A), et en appelant P, P',P" les premiers membres des équations de ces trois plans, on aura, pour féquation du côae,

(19) ll/P-i- fx|/F-i-vl/F=0.

Pour tous les points de la courbe d'interjection, et d'après la formule (17), on pourra remplacer k^P, l^P', l^P" par r, r',r" , ces dernières quantités représentant les distances d'un point de la cyclique aux trois foyers. On aura donc

(20) Ar-i-^r' + vr' =0.

Il existe donc une relation linéaire et homogène entre les dislances d'un point de la courbe à trois foyers situés sur un même cercle directeur.

Soient P , P', deux des plans tangents communs au cAne (D) ot à la sphère, et Q le plan de contact dans le cône. L'équation du cône sera

D'ailleurs, les trois plans P, P', Q coupent la sphère suivant li'ois cercles orthogonaux au cercle directeur (A), et si, par CCS trois cercles, on fait passer trois sphères fixes, mais quelconques, en appelant t ,t\T les tangentes menées à ces trois sphères d'un point de la courbe, on aura, d'après l'équation (20),

Ktt'=T.

Les sphères t ,t' sont doublement tangentes à la courbe, et leurs quatre points de contact sont sur la sphère T.

En général, si une surface quelconque passant par la courbe est définie par une équation de la forme

/•(P,P',P%...) = 0, on pourra, par tous les points de la cyclique, remplacer

P> P' , P% • • • V'^^ ^î^s quantités proportionTielies aux carrés t\t'\... des tangentes à des sphères fixes menées par T intersection de la sphère et des plans P,P',... L'équation sera

f{at\a' t'\a"V\ ..) — 0.

a , a', a\ . . . étant des constantes dont la détermination n'offre aucune difficulté.

Par exemple, prenons trois plans tangents quelconques au cône (D) contenant la cyclique. L'équation du cône sera

et, par suite, on aura pour la courbe une équation de la forme

entre les tangentes l,i',i" k trois sphères d'une même série doublement tangentes à la courbe.

Donc il y a une relation linéaire et homogène entre les longueurs des tangentes menées d'tm point de la courbe à irais .sphères doublement tangentes à la cyclique et appartenant à ta même série.

Cherchons celles des sphères doublement tangentes qui se réduisent à des points. Leur ensemble constituera une focale de la cyclique proposée.

Les centres de toutes ces sphères sont évidemment sur les^ perpendiculaires abaissées du centre de la sphère (S) contenant la cyclique sur les plans tangents du cône (D), c est-àdire ces centres sont sur le cône (E) supplémentaire de (D) . ayant son sommet au centre 0 de la sphère (S) contenant la cycHque. D'ailleurs, le centre radical commun de toutes les sphères doublement tangentes est le sommet 0' du cône (D) ; elles sont orthogonales à la sphère (S') décrite de ce point 0' comme centre et coupant la sphère (S) à angle droit. Pour qu'elles se réduisent à des points, il faut que leurs centres soient sur la sphère {S') , et par conséquent sur la courbe de

rencoritio de cette sphère (S') et du cône (E). Nous avons donc une focale de la cyclique, et cette focale est elle-même une cycliqu*^. D'ailleurs la relation entre les deux courbes est évidemrni.nt réciproque; les sphères qui les contiennent sont orthogoaiiles, et les cônes ayant leurs sommets au contre de chaque sphère, supplémentaires. Il y a donc réciprocité entre les deux courbes. Chacune d'elles est la focale de fautre, ce (jui justifie la proposition générale énoncée dans \di Première Partie de ce travail. Aux quatre modes de génération ou quatrw cônes (D.) correspondront quatre focales situées sur des sphèi^s ayant leurs centres aux sommets des cônes et orthogonales entre elles. Nous avons ainsi un système de cinq cycliques focales les unes des autres et situées sur cinq sphères orthogonales.

Ainsi, étant donnée une cyclique sphérique, cette cyclique a quatre focales, qui sont des courbes de même espèce, situées sur quatre sphères orthogonales entre elles et à la sphère contenant la cyclique, ayant leurs centres aux sommets des quatre cônes contenant la cyclique et coupant la sphère qui contient cette courbe suivant les quatre cercles directeurs.

Dans le cas où la cyclique primitive se composera de deux branches, les sommets des quatre cônes seront réels. Un seul sera intérieur à la sphère contenant la cyclique, et par conséquent trois des quatre aphères contenant les focales seront réelles. Quant aux focales elles-mêmes, une seulement sera réelle.

Au contraire, dans le cas où la cyclique se compose d'une seule branche, il n'y a que deux sphères réelles orthogonales à la proposée; ces deux sphères contiennent chacune une focale réelle de la proposée.

En résumé, on n'a que deux systèmes : l'un pour lequel quatre sphères et deux focales sont réelles, l'autre pour lequel trois sphèi^es sont réelles et contiennent chacune une focale.

Les cinq focales, réelles ou imaginaires que nous venons de rencontrer, sont les lignes doubles d'une développabîe focale que nous étudierons dans la suite de ce travail.

Si nous nous reportons à i'équation (21;. et que noua pre- . nions sur une (G) des einq focales trois points quelconques, ces trois points pouvant être considérés comnie des sphères de rayon nul tangentes à toute autre des cinq cycliques (C), il y aura entre les distances d'un point quelconque de (C) aux trois points (choisis sur (C) une relation de la forme

Les roetfu'ionts a, a', a" changent d'ailleur-s, et avec la cyclique (C) et aussi quand on change les trois foyers fixes pris sur (C). Ainsi,

Étant donnée l'une quelconque (C) des cinq focales, trois points quelconques pris sur cette focale seront des foyers des autres courbes et posséderont les propriétés métriques exprimées par Véqualion (22; ; c'est-à-dire qu'il y aura entre les distances d un point variable de Vune quelconque des quatre autres courbes (C) au£ trois points choisis sur (G) une rel-ilion linéaire el homogène de la forme

ar + br' 4-cr'' = 0 .

Le théorème précédent correspond évidemment dans la théorie des cycliques à celui de M. Dupin sur les coniques focales.

La relation métrique que nous venons de rencontrer est d'une forme moins simple que celle qui se rapporte aux foyers d'une courbe du second degré. Gependant, elle se prête à la généralisation d'un théorème relatif aux coniques planes ou sphériques.

On sait qu'étant donnés deux points A , B sur une conique de foyers F, F', réciproquement A et B peuvent être pris comme foyers d'une conique passant par F et F'. On peut étendre ce théorème aux cycliques planes et sphériques.

Étant donnés trois points A , B , G sur une cyclique de foyers F , F', F", on peut prendre ces trois points A , B , G pour foyers d'ime cyclique qui contiendra les trois points F , F', F".

Appelons, en effet, B^ , Rt , Rc 'es distances des points

46 SliR USE CLASSE REMARQUABLE

A , B , G au foyer K, et désignons par ics mêmes lettres accentuées les distances aux foyers F', F". Puisque les trois points A , B , C sont sur une cyclique de foyers F , F', F", on aura trois relations de la forme :

).Rà+aR'j-hvR"6~0, >Re + ftR'c4-vR"e=:0,

et par conséquent l'équation de condition

Ra R'a R'

R* R'6 R Rc R'o R'

exprimera que les trois points A , B , C sont sur une cyclique de foyers F , F', F". A cause de la symétrie de cette équation, il est clair qu'elle exprime aussi que F , F', F" sont sur une cyclique de foyers A , B , C , ce qui démontre la proposition énoncée plus haut.

Mais on peut compléter cette démonstration d'une manière remarquable, et donner une proposition plus étendue que la précédente :

Etant donnés quatre points A , B , C , D , intersections d'une cyclique quelconque de foyers F , F', F", F" et d'un cercle, il y aura une seconde cyclique ayant pour foi ers les points A , B , G , D. et passant par F ,F',F", F". On suppose, bien entendu, que ces quatre points sont les foyers situés sur un même cercle dt^ la première cyclique.

Pour démontrer cette nouvelle proposition, il nous suftlra évidemment, en nous rappelant la précédente, de prouver que la cyclique de foyers A,B,G passe par F", et admet pour quatrième foyer le point D. Or, les trois points A , B , G étant sur la cyclique de foyers F , F', F', on aura

Ro Ri R*

DK COLRBF.S ET DE SURFACES Al.GÉRRIOUES. 47

et cette équation exprime que la cyclique de foyers A , B , C , passant par F , F', contient aussi le foyer F".

D'ailleurs, le quatrième foyer D de cette cyclique satisfait également à l'équation

R» Rft Ri j

qui exprime qu'il est sur la cyclique de foyers F , F',F", et passant parles points A et B. Cette cyclique étant la proposée, la proposition est démontrée; le quatrième foyer D sera à l'intersection de cette courbe et du cercle contenant les trois points A , B , G (i).

Un cas particulier de la proposition précédente, relatif aux ovales de Descartes, a été énoncé par M. Sylvester, j'ignore dans quel Recueil.

Des cycliques situées sur des cylindres.

Nous avons vu que, pour les courbes d'intersection d'un cylindre et de la sphère, les éléments d'un des modes de génération deviennent indéterminés. Fn effet, les plans tangents au cylindre coupent la sphère suivant des petits cercles dont le pôle est sur le grand cercle perpendiculaire aux arêtes du cylindre. La conique sphérique correspondante se réduit donc

^) L'équation

prise en elle-même, conviendrait à une surface renfiarquable, comprise comme cas particulier dans d'autres que nous étudierons plus tard. Celte surface a, comme les cycliques, un quatrième foyer, et elle donne lieu à la proposition suivante, analogue au liiéorème indiqué dans le texte : Étant donnée une surface définie par Vénaailun flR +6R' -f cR" =rO,

un cercle quelconque la coupe en quatre points qui peuvent être pris pour les foyers d'une surface de même définition, pa^isaru par ks quatre foyers de la première.

au même uercie, et il faut déterminer d'une manière directe les rayons des petits cercles enveloppant la cyclique.

A cet effet, on peut modifier légèrement la définition que nous avons donnée de la cyclique, et définir les cercles par les pôles de leurs plans. Considérons, par exemple, les plans tangents au cône (D) ; les pôles de ces plans tangents décriront une conique, et cette conique (H) pourra servir à déterminer la série des cercles doublement tangents, La cyclique sera la ligne de contact de la développable circonscrite à la sphère et à la conique (H). Elle sera aussi fenveloppe des petits cercles situés dans les plans polaires des points de (il).

Dans le cas d'une courbe située sur un cylindre, cette nouvelle génération, toujours équivalente au fond à celles que nous avons données, ne devient plus illusoire. Si par le centre de la sphère on mène une section droite du cylindre, le plan de cette section droite contiendra la conique (H) , polaire réciproque du cylindre et définissant la série des cercles doublement tangents à la cyclique, contenus dans les plans tangents du cylmdre.

Il y a aussi une des focales situées dans le plan df: la section droite du cylindre, et pour laquelle notre consli action devient illusoire. On opérera de la manière suivante .

Soient (E) la section droite du cylindre. (C) le grand cercle,

section de la sphère par le plan de la section droite. Soit mK la trace d'un plan tangent au cylindre. Pour obtenir les splières de rayon nul passant par l'intersection de ce plan et de la sphère, il faudra évidemment abaisser du centre 0 une perpendiculaire Opp' sur »iK, et prendre l'intersection de cette perpendiculaire avec le cercle orthogonal au cercle (G) et décrit du point m comme centre. Le lieu des points p ,p' sera donc une cyclique plane, définie par un mode de génération semblable à celui que nous avons adopté, et admettant la base du cylindre (E) pour conique déférente et le grand cercle (G) pour cercle directeur.

Les coniques sphériques font partie de la classe que nous étudions, et l'on voit qu'elles auront, en réalité, trois focales planes situées dans les trois plans principaux. Ces focales couperont la sphère aux foyers de la conique sphérique.

Une seule d'entre elles, d'ailleurs, sera réelle. On sait qu'une conique sphérique se projette sur les trois plans principaux r 1" suivant une ellipse intérieure à la sphère, 2" suivant une hyperbole, 3® suivant une ellipse coupant la sphère en quatre points. Gette dernière courbe seule donnera lieu à une focale réelle, qui coupera la sphère aux quatre foyers réels de la conique sphérique.

Avant de passer à l'étude de certaines propriétés des coniques sphériques, nous ferons remarquer quelques équations simples des courbes générales situées sur un cylindre, qu'on pourrait appeler sphéro-cylindriques .

Si le cylindre sur lequel se trouve la courbe est hyperbolique, il satisfait à l'équation

d'où pésulte, pour la courbe, l'équation (24)- tr=^K,,

Si les plans asymptotes ne rencontrent pas la sphère, on peut

écrire

(25) rr' = K, .

SI le cylindre est elliptique, on aura, et d'une infinité de

manières,

Des coEÎques sphériqnes.

Dans le cas des coniques sphériques, les propriétés focales que nous avons indiquées prennent une forme que nous allons développer, par suite de l'importance toute particulière de ces courbes.

A cet effet, reprenons la relation

at+ a't +a'r = 0, qui lie les tangentes menées d'un point de toute cyclique à trois sphères doublement tangentes d'une même série.

Chacune de ces sphères peut être supposée, pour plus de simplicité, orthogonale à la sphère primitive, et alors, si Ton mène d'un point M un arc de cercle T tangent au petit cercle suivant lequel elle coupe la sphère primitive, on aura

f^2sin- •

On obtient donc la relation

(26) asin - -I- a'sin -3- + a'sin— — U,

qui relie les longueurs des trois arcs tangents menés de tout point M de la cyclique à trois petits cercles doublement tangents d'une même série.

Soit maintenant une conique sphériquC; et prenons quatre petits cercles doublement tangents à cette conique et deux à deux symétriques par rapport au centre; on aura, en désignant par T , T', T", T% les longueurs des quatre arcs tangents,

sm -— = a sm - -f- h sm — '

sin "S- = ^ sm - + 0' sm — •

DE COUBBES F.T HE SURFACES ALGÉBRIQUES. bi

D'ailleurs, si ï et T' correspondent à des cercles symt'triques, on aura

de même

Les relations précédentes prennent donc la forme

sm-r- =:asui - + y CCS — '•

cos— • = a' sui - + y' CCS - '

d'où Ton déduit

>sin — -+-pcos~ = {al+ a' a) sin - ^- (6>4- 6» cos -^ •

On peut évidemment disposer du rapport - de manière que cette relation prenne la forme

. T' +« . T + fi sm — ^— = sm —j^ '

d'où

(27) T±T'=rK.

Ainsi, xme conique sphérique peut être considérée d'une infinité de manières comme le lieu des points tels que la somme ou la différence des arcs de grand cercte menés de ces points langentiellement à deux petits cercles fixes soit constante.

Les coniques sphériques sont les seules courbes qui jouissent de cette propriété; car elle suppose qu'on peut mener à la cyclique quatre cercles doublement tangents, symétriques deux à deux par rapport au centre de la sphère. La cyclique sera donc sur un cylindre concentrique à la sphère; ce sera une conique sphérique.

Nous avons vu que toute conique sphérique se trouve sur un cylindre hyperbolique. Nous serons ainsi conduit à déduire, de l'équation

PQ — consl.

de ce cylindre, réquation

(28) .siiijo?inp'=K

entre les arcs de grand cercle abaissés d'un point de la conique sur deux arcs de grand cercle iixes. Ces deux arcs de grand cercle sont les arcs cycliques de la conique sphérique. En adoptant la méthode de Tarticle 19, on pourra d'ailleurs indiquer un très grand nombre de formes d'équations remarquables des coniques sphériques.

Des cycliques planes.

Les propriétés des cycliques planes sont comprises comme cas particulier dans celles des cycliques sphériques. On peut indiquer deux moyens principaux pour déduire leurs propriétés de celles que sous venons de trouver.

D'abord, on peut supposer que le rayon de la sphère contenant la cyclique croisse indéfiniment; le mode de génération que nous avons adopté, les propriétés métriques et focales subsisteront sans modification.

Mais on peut aussi transformer la courbe par rayons vecteurs réciproques, et en faire la projection stéréographique en mettant le pôle en un point quelconque de la sphère qui la contient. Nous allons obtenir ainsi toutes les propriétés des cycliques planes.

B appelons qu'une cyclique sphérique est à l'intersection d^une sphère et d'une surface du second degré. En transformant cette définition par la méthode des polaires réciproques, on voit qu'une cyclique est aussi la courbe de contact avec la sphère de la développable circonscrite à la sphère et à une autre surface du second degré. Cette développable a quatre coniques doubles, lieux des pôles des cercles doublement

nK COURBES ET DE SURFACES ALGtBBÎOUES. 53

tangents à la cyclique. Appelons ces coniques (H) , (H,) , (Hj),^!^). Elles sont inscrites dans une développable, que nous appellerons A, et qui touche la sphère, suivant îa cyclique.

Si Ton fait la projection stéréographique en se plaçant en un point a de la sphère, la cyclique se projettera suivant une cyclique plane, et, d'après un théorème bien connu relatif au.s projections stéréographiques, les quatre séries de cercles doublement tangents se projetteront suivant dos cercles dont les les centres seront sui' les coniques (H') , (II',) , (H'^) , (H'J , perspectives des coniques (H), ... , (Hj) de l'espace. Par le point a passent deux génératrices de la sphère, et par chacune de ces génératrices on peut mener deux plans tangents de la développable A contenant les quatre coniques. Ces deux couples de plans tangents se projetteront évidemment suivant quatre tangentes communes aux coniques (H') , (H',) , (H'j), (H'j) , passant par les deux points sur le cercle de l'infini. Ces quatre coniques seront donc homofocales. On retrouve, on le voit, la génération signalée d'abord par MM. Moutard et Laguerre, et que nous avons employée pour les cycliques sphériques.

Quant aux cercles du^ecteurs dans le plan, ils seront les perspectives des cercles directeurs de la sphère, et par conséquent leurs centres seront les perspectives des sommets des quatre cônes (D.) contenant la cyclique.

On voit que si le point de vue est pris sur la cyclique, la projection stéréographique sera du o^ degré et les sommets des quatre cônes seront projetés sur la courbe plaae ellemême.

Quant aux coniques déférentes (H',), elles deviennent dans ce cas, et dans ce cas seulement, des paraboles, puisqu'elles sont alors tangentes à la droite de l'infini.

Revenons aux cycliques planes du 4^ ordre. Si l'on considère toutes les surfaces du second degré passant par la cyclique sphérique, les perspectives de leurs contours apparents sont

des coniques quadruplement tangentes à la cyclique, et pour lesquelles subsiste le théorènie donné, article 15, pour les cycliques sphériques.

Des cartésiennes.

Nous avons vu que ces courbes très intéressantes, qui sont à r intersection d'une surface de révolution et de la sphère, peuvent toujours être placées sur un cône de révolution. D'ailleurs, toutes les surfaces du second degré qui les contiennent seront aussi de révolution. L'une d'elles seulement est un cylindre parabolique, qui peut être considéré comme un cas limite des surfaces de révolution.

Examinons donc les cartésiennes, en les considérant comme intersections de la sphère et d'un cylindre parabolique. La section droite du cylindre, passant par le centre, contiendra une des focales (art. 20), et cette focale, ayant pour conique déférente une parabole, sera du 3° degré. Ainsi :

Les cartésiennes se distinguent des autres cycliques par la propriété d'admettre pour focale une cubique circulaire.

Inversement, une cubique circulaire admet pour focales des cartésiennes.

Les propriétés métriques des cartésiennes sont plus simples que les propriétés générales que nous avons signalées.

Comme elles sont sur un cylindre parabolique, leur équation peut être ramenée, et d'une infinité de manières, à la forme

(29) V = at' , ou sin*3=^Ksin-- •

En second lieu, elles sont sur une infinité de surfaces de révolution, et ces surfaces de révolution ont leurs foyers sur

la cubique circulaire, à rintersection de cette cubique et d'une parallèle à Tasymptote réelle. L'équation de la courbe, rapportée à ces deux foyers, prendra la forme

Au moyen de la relation précédente, on peut toujours réduire l'équation focale de la courbe, de telle manière qu'elle ne contienne que deux foyers quelconques, pris sur la cubique, et soit de la forme

(30) «R + pR'=:l.

Ainsi, étant donnée une cartésienne, si l'on prend deux foyers quelconques sur la focale cubique, il y a une relation linéaire (30) entre les dislances d'un point de la cartésienne à ces deux foyers.

On a a = ^ (juand les deux foyers sont sur une parallèle à Tasymptote réelle de la focale cubique.

On pourrait ajouter beaucoup aux propriétés des cartésiennes. Nous pourrons y revenir.

De la transformation par rayons vectenrs réciproques dans les cycliques, et des transformations de ces courbes les unes dans les autres.

Supposons d'abord qu'on prenne le pôle en un des foyers de la cyclique. Désignons par r la distance à ee foyer, et par r',r" les distances à deux autres foyers situés sur le même cercle directeur que k premier. L'équation de la cyclique,

ar + br' + cr" = 0,

se transformera en une équation de la forme

flR+ &R'~G .

En d'autres ternies, la cyclique transformée qui est une courbe plane sera formée des ovales de Descaries. Ainsi,

Toute cyclique se transforme dans les ovales de Descartes ^ quand on place le pôle de transformation en un des foyers situés sur la sphère contenant la cyclique.

Plaçons maintenant le pôle de transformation, non plus en un des foyers situés sur la sphère, mais en un point quelconque de l'une des focales. Alors cette focale deviendra une cubique r/irculaire, et par conséquent la courbe elle-même se transformera en une cartésienne. C'est ce qu'on peut voir aussi de la manière suivante :

Le pôle a étant un foyer, le cône ayant pour sommet ce point et pour base le cercle de l'infini sera doublement tangent à la cyclique, et par conséquent la transformée par rayons vecteurs réciproques, d"après les principes de la Première Partie, sera doublement tangente au cercle de l'infini. Ce sera donc une cartésienne.

Si l'on prend le pôle de transformation sur l'une des quatre sphères contenant les focales, une de ces focales deviendra plane, et par conséquent la courbe sera sur un cylindre. Si le point est à l'intersection de deux des sphères contenant les focales, la courbe sera sur deux cylindres, et aura deux plans de symétrie. Enfin, si le pôle est en un des points d'intersection de trois des sphères contenant les focales, la transformée sera une conique sphérique.

Ainsi, toute cyclique peut être considérée comme la transformée par rayons vecteurs réciproques d'une conique sphérique.

II résulte de là une première construction simple de la tangente.

La tangente à une conique sphérique est la bissectrice de l'angle des arcs de grand cercle joignant le point de contact aux foyers. Ces arcs de grand cercle passent par deux foyers. Donc

Si par un point de la cyclique on fait passer deux cercles passant chacun par deux des quatre foyers situés sur un cercle

DE COURBES ET DE SURFACES ALGÉRRiQUES. 87

directeur, la tangente est la bissectrice de l'angle de ces deux cercles.

II importe de remarquer toutefois que, pour les cycliques se composant d'une seule branche, deux seulement des sphères contenant tes focales sont réelles. La transformation en une coni(iue sphérique ne peut donc être faite qu'avec un pôle imaginaire. Ainsi, une cyclique ne peut réellement être transfojniée en une conique sphérique que s-i elle a deux branches, ce qui entraîne quatre foyers réels sur un même cercle directeur, trois sphères réelles contenant les focales, et se coupant en deux points qui doivent être choisis comme pôles de la transformation. Par exemple, les ovales de Descartes à trois foyers réels sont seuls les transformées d'une" conique sphérique réelle.

La propriété que nous venons de signaler n'en est pas moins importante, puisqu'elle permet d'étendre aux cycliques bien des propriétés des coniques sphériques. Citons seulement celle-ci :

Les cycliques homo focales se coupent à angle droit.

On a donc un système orthogonal formé de cycliques homofocales. Nous reviendrons sur ce système orthogonal, ainsi que sur d'autres systèmes formés de cycliques. Mais nous devons indiquer une dernière transformation par rayons vecteurs réciproques, s'appliquant à toutes les cycliques.

Il suffira de prendre le pôle aux points d'intersection de la sphère contenant la cyclique, et de deux autres sphères réelles contenant deux focales. La courbe se transformera en une cyclique plane ayant deux axes de symétrie. Ainsi, toutes les cycliques peuvent dériver par une transformailon réelle des cycliques planes à deux axes de symétrie.

Si l'on prenait le pôle à l'intersection de la sphère contenant lu courbe et d'une autre sphère contenant une focale, on aurait, une cyclique ayant un seul axe de symétrie. C'est à cette classe qu'appartiennent généralement les sections du tore, ou spiriques.

Du systèmô ortliogonal formé par les cycliques îiomofocales.

Etant donnée une sphère et une développable A de h" classe circonscrite à cette splière, on pourra inscrire dans la développable une suite de surfaces qui couperont la sphère suivant des cycliques. Les foyers de ces cycliques, étant à l'intersection des coniques doubles de la développable A et de la sphère, demeureront les mômes. Elles seront donc homofocales. Nous allons démontrer que ces cycliques se coupent à angle droit.

On sait en effet qu'étant donné un système de surfaces du second degré inscrites dans une même développable, on pourra faire passer trois de ces surfaces par chaque point de l'espace, et que les tangentes aux trois courbes d'intersection seront conjuguées dans chacune de ces surfaces. H suit de là que par chaque point de la sphère on pourra faire passer deux surfaces inscrites dans la développable A ; ces surfaces couperont la sphère suivant deux cycliques, et les tangentes à ces cycliques seront conjuguées dans la sphère, c'est-à-dire orthogonales. Ainsi,

Var chaque point de la sphère on peut faire passer deux cycliques de foyers donnés, et ces deux cycliques se coupent à angle droit.

Le système des cycliques homofocales comprend quatre courbes infiniment aplaties.

Pour obtenir ce système de cycliques, il suffira évidemment de prendre tous les cônes ayant même sommet et tangents à quatre plans tangents de la sphère. Il y a deux systèmes de cycliques homofocales : ceux dont les quatre foyers réels sont sur un même cercle, et ceux dont les

foyers réels sont disposés par couples sur deux cercles orthogonaux.

On voit qu'il n'est pas plus général de prendre des surfaces du second degré quelconques au lieu de cônes. Ce fait met en évidence une proposition très générale, qu'on peut énoncer ainsi :

Si Von a une série de surfaces inscrites dans une même développahle circonscrite à une surface (A) , elles couperont la mrface (A) suivant des courbes par lesquelles on pourra faire passer d'autres surfaces du second degré inscrites dans une nouvelle développable circonscrite à la surface (A).

La démonstration analytique de cette proposition ne présente aucune difficulté. Considérons des surfaces inscrites dans une développable. Leur équation sera de la forme

p! p'ï pp2 pw2

Soit

l'équation de la surface (A) inscrite dans la même développable, et que l'on obtient en faisant

Si l'on retranche de l'équation (31) l'équation (32) multipliée par 1 — h, on trouve

m^ P'(«-/0 . P'^^'-/0 , P"'{a'~h) , P'-^(a'-fe)^ ^^'^^ \-a ^ l-a' "^ l-a' ^~ l-a^ -^'

équation qui représente des surfaces passant par les courbes situées sur la surface (A), et inscrites, elles aussi, dans une développable.

Nous ne développerons pas la théorie analytique des cycliques; elle est comprise dans celle que nous donnerons pour les surfaces du 4" ordre, qui sont, dans l'espace, les analogues des cycliques planes.

60 SUR UNE CLASSE REMARQliABLn

ûes cycliques anaiogues à l'ellipse de Casaini.

Le système orthogonal formé de cycliques homofocaies n'est pas le seul qu'on puisse former avec ces courbes. Il existe un autre système orthogonal, formé do cycliques analogues à i'ellipse de Gassini. Certaines de ces courbes ont été étudiées par Yan Rees dans un beau Mémoire sur les focales, M. Laguerre les a considérées sous le nom de cassiniennes, et en a donné plusieurs belles propriétés. Dans la Troisième Partie de ce travail, nous rattacherons Télude de ces courbes à celle d'autres courbes plus générales, et nous déduii'oiis leurs propriétés de quelques théorèmes généraux relatifs à l'emploi des imaginaires en géométrie.

DE COUHBF.S ET DE SURFACES ALGI^IBRIQUES. 64