TROISIÈME PARTIE
mude de certaines propriétés dôs imaginaires en géonié trie, et d'une classe générale de courbes algébriques, comprenant comme cas particulier la courbe de Cassinl.
Des points associés dans le plan.
Soient, dans un plan, des points rapportés à des coordonnées rectangulaires. La distance d'un point (a: , y) à uri point fixe du plan s'exprime par la formule
qu'on peut écrire
5« z={x + yi — a — bi) {x-^yt — a-i-b i) .
On voit donc que le carré de la distance se décompose en deux facteurs, et Ton est ainsi conduit à un système de coordonnées symétriqties fréquemment employé.
Substituons aux quantités x ,y\es coordonnées u ,v , définies par les formules
(35) nz=.v + yi, v—x — yi.
Si Ton pose, de même,
K=za-hbi , p~a — bi,
on obtient
Cela posé, soient deux points P,Q; par ces deux points menons dos droites aux points à l'infini sur le cercle; ces droites se rencontrent en deux nouveaux points P',Q'. Nous dirons que ces nouveaux points sont associés aux premiers.
62 SLR UNE CLASSE RRMARQUABI.K
Réciproquement, P,Q sont associés à P',Q'. Si les points P , Q sont réels, les points P', Q' sont imaginaires conjugués, et inversement. On peut dire que deux couples de points associés sont deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère, dont les deux autres sommets opposés sont les deux points I et J à rinnni sur le cercle.
Soient
u = a ,v = ^ les coordonnées du point P; M = a', v = ^' celles du point Q.
Le? coordonu'-es des points associés seront, par exemple,
pour le point P', u = y. , v—-^'; pour le point Q' , m = a' , r = ^ .
Considérons un point quelconque M du plan. On aura les formules suivantes
M P' = {u — «) (v — p) , M Q* = (m — a') [V — PO ,
MP'*rz:(M — «j(l- — p') , MQ" = (m — «')(t' — ^) •
On déduit d'abord de ces formules
(37) iVIP .MQ — MP'.MQ'.
Donc le produit des distances d'un point quelconque du plan à deux points fixes est égal au produit des distances du même point au.r. deux points associés.
On peut déduire de nouvelles relations de la signification géométrique des facteurs u — a ,v — '^. Soitt'i l'angle que fait MP avec Taxe des a;; on a
a; — rt = M P . ces w , y — & — M P . sin w ,
et par suite
(38) u — a = M P . e'^' , r - p = MP . e-"^' , d'où
V — fi
L'angle PMQ, sous lequel on voit le segment PQ, est évi-
DR COIRHES ET DE SURFACES ALfJÉRRIQUES. 63
demment égal à la différence des angles w, w', que font les droites MP , MQ avec Taxe des j; . On a donc
et, en extrayant la racine carrée,
De même,
/^ MP AÏQ
Donc le rapport ûes distances d'un point M du plan à deux points est égal à e'^, V désignant l'angle sous lequel on voit du mêrae point le segmejit formé par les points associés.
Cette proposition est importante (^); elle permet, quand deux points sont imaginaires conjugués, do remplacer les éléments imaginaires relatifs à ces deux points par des fonctions d'éléments réels, correspondants aux points associés.
Nous allons donner deux applications. Prenons d'abord deux points fixes A , B sur un cercle. On sait que Tangle sous lequel on voit d'un point du cercle le segment AB est constant. Donc le rapport des distances du même point aux deux points A', B', associés à A et à B , est aussi constant. Si les points A et B
(') Celle proposition se déduit, comme on voit, très simplement de l'équation
v — ^'v — ^'' et cette dernière équation exprime que l'angle de deux droites MA ,MB multiplié par 2i , est le logarithme du rapport anharmonique des quatre droites M A , M B , MI , M J . Ce fait remarquable, contenu implicitement dans une formule du Traité de Géométrie supérieure de M. Chasles, a été pour la premii^re fois énoncé d'une manière explicite par M. Laguerre [Nouvelles Annales de Malhéinaliques 1853, p. 57), et appliqué par ce géomètre à une question importante, la transformation des relations contenant des angles dans rtiomographie. On pourra consulter à ce sujet le liapport sur h.s progrés de la Géomvlrie, de M. Chasles, p. 313.
deviennent imaginaires, A', B' deviennent réels, et on retrouve une propriété connue du cercle. Mais nous allons traiter un exenriplo moins simple.
On sait la difficulté qu'ont rencontrée les auteurs de Traités de sections coniques dans l'étude des propriétés focales des courbes du second degré. II est difficile, quand on prend pour point de départ les beaux théorèmes généraux relatifs aux sections coniques, de rattacher à ces propositions générales, d'une manière directe, la démonstration des propriétés métriques focales. Les remarques précédentes permettent, il nous semble, de lever simplement cette difficulté.
Nous nous appuierons seulement sur un des deux théorèmes généraux que M. Chastes a pris pour base de sa Théorie des sections coniques. Le rapport anharmonique des quatre points oij une tangente mobile rencontre quatre tangentes fixes est constant.
Prenons deux tangentes quelconques se coupant en A , et deux autres tangentes imaginaires passant par les deux points
à l'infini sur le cercii', et se coupant on un point réel F, qui, d'après la définition générale, sera un foyer. Soit une tangente mobile MM'PP'. Elle coupe les deux tangentes imaginaires en deux points imaginaires P , P' représentés pour plus de clarté sur la figure, et ayant pour associés le foyer F et son symétrique f par rapport à la tangente. Écrivons que le rapport anharmonique des quatre points M , M', P , P' est constant; nous aurons
