INTRODUCTION

J'ai été conduit au problème qui fait l’objet de ce mémoire en voulant généraliser la notion d’équation différentielle linéaire. La condition imposée à la fonction inconnue f(x) par une telle équation peut s’énoncer ainsi: en effectuant sur f(x) une suite déterminée d'opérations (dérivations, multiplications par des fonctions données, additions), on doit obtenir une fonction donnée.

La généralisation naturelle des opérations en question est constituée par les opérations fonctionnelles distributives de M. S. PINCHERLE, étudiées ensuite indépendamment par CarLo BoURLET sous le nom de transmutations additives *).

Avec C. BourLeT, j'appelle fransmutation toute opération faisant correspondre à une fonction f(x) une autre fonction g(x); cette dernière, la transmuée de f(x), est, si l’on veut, une fonctionnelle de f(x), dépendant en outre d’une variable x, ce que j'écris:

gx) = UTFG)x]

Avec M. HapamarD *) je dis que la transmutation est linéaire, si elle possède les

1) S. PINCHERLE, Sulle operazioni funxionali distributive [Rendiconti della Reale Accademia dei Lincei, serie 5°, vol. IV, 1°° sem. 1895, pp. 142-149] et Mémoire sur le calcul fonctionnel distributif {Mathematische Annalen, Bd. 49 (1897), pp. 325-382].

C. BoURLET, Sur les opérations en général et les équations différentielles linéaires d'ordre infini Annales de l’École Normale Supérieure, 3° série, t. XIV (1897), pp. 133-190].

2) J. HapamaARD, La série de TAYLOR et son prolongement analytique, ch. VIIT, p. 76 (Paris, Gauthier-Villars, collection Scientia, série PM, n° 12, 1901).

FLAMANT. ; 1

deux propriétés suivantes:

U[S, © + 2, @k] = UT Ok] + ULZ OK] Ufcf GO] = cUTFG]

c étant une constante réelle ou complexe. Comme Pexplique fort bien M. PINCHERLE dans l'introduction de son mémoire, le point de vue actuel est très différent de celui de Panalyse fonctionnelle ordinaire et du calcul des variations. À ce dernier point de vue, le fait dominant est que g(x) dépend de toutes les valeurs de f(x) que l’on considère comme des variables indépendantes; on cherche donc à déterminer pour ainsi dire la part d’influence sur g(x) de chaque valeur de f(x); ce point de vue s’impose pous les fonctions de variable réelle. Le point de vue de Bourrer et de M. PINCHERLE met au premier plan la nature de lopération qui permet de passer de f(x) à g(x); on compare la façon dont g(x) dépend de x à la façon dont f(7) dépend de z, ce qui conduit à désigner habituellement par la même lettre les deux variables indépendantes ; ce point de vue n’est guère possible que pour les fonctions analytiques qui ont une individualité bien marquée et ne sont pas simplement des collections de valeurs.

La plupart des transformations qu’on a appliquées effectivement aux fonctions analytiques sont des transmutations linéaires; citons la dérivation et intégration, le changement de variable, la multiplication par une fonction donnée, le calcul des différences finies, la dérivation d’ordre fractionnaire, etc.

La généralisation naturelle de lintégration d’une équation différentielle linéaire est donc l’inversion d’une transmutation linéaire donnée. Ce problème extrêmement général, a été abordé par BouRLET dans le mémoire cité, et ramené à l'intégration d’une équation différentielle linéaire d’ordre infini.

Ce résultat n’a guère qu’une valeur formelle, car les questions de limites et de convergence manquent totalement de rigueur. D'ailleurs, sauf dans le cas où Péquation d'ordre infini a ses coefficients constants, la transformation du problème ne semble guère avantageuse.

Au lieu d'aborder le problème dans toute sa généralité, il me semble nécessaire d'étudier en détail des cas particuliers nouveaux, comme lont déjà été les équations différentielles linéaires, les équations intégrales, les équations fonctionnelles linéaires telles que celles d’ABEL et de ScHRôDER.

J'ai particularisé la question en supposant que la’transmutation qu’il s’agit d’inverser peut être réaliste en effectuant un nomhre fini des opérations suivantes: dérivation, substitution d’une fonction donnée à la variable, multiplication par une fonction donnée, addition. Le problème se traduit donc par l'équation:

QG) Ze Ge, 6) + À a, Cf Le, C9) + 2 + Ya, GS" Lo, = 5)

qu’on peut appeler équation différentielle fonctionnelle linéaire. Elle admet pour cas par-

ticuliers les équations différentielles, les équations aux différences finies et les équations fonctionnelles ordinaires, ainsi que les équations de la forme

a, GC) + AG) + D) + a, GP CG) + A GP CG + D) = g(x)

qu’on peut écrire encore, en posant Af(x)=fG +) —f(G) € AfGH=fG+h)—F(x) La) + AG) + 4,60)4/09) + [2,0 + 24,610) + 4,4) = 80),

et qui ont été appelées équations aux différences mélées parce qu’elles contiennent des dérivées et des différences finies; elles se recontrent dans certains problèmes de géométrie, et leur intégration a été étudiée par Poisson ).

J'ai restreint beaucoup plus le problème en prenant une équation (1) de la forme

a, (x) Le, @)] + a, G)f' Te, GI = 8).

En exprimant x en fonction d’une nouvelle variable 7 — «w (x) et en résolvant par rapport à la dérivée, cette équation s’écrit

(2) FO = aGQ/LeQ)] + PC.

’étude des singularités de la fonction f(x) définie par cette équation fait intervenir les itérés successifs d’un point par la substitution [7, w(z)] et la substitution inverse: le cas le plus simple sera donc celui où cette substitution est bi-univoque, ce qui donne l'équation :

ex + 2 F0 MW - G) HOELOTESS Par un changement de variable homographique, on peut amener les points doubles de ax b

fini lorsqu'ils sont confondus; l’équation est alors réduite à lune des formes:

la substitution (x ) à l’origine et à l’infini lorsqu'ils sont distincts, ou à lin-