FO = GE) +50) G) FO

Dans la première, on peut supposer ls] N 1.

Les équations (4) et (5) peuvent d’ailleurs se ramener l’une à Pautre par le changement de variable y — log x. Mais il faut remarquer qu’à une fonction quelconque

8) Poisson, Mémoire sur les équations aux différences mélées [Journal de l'École Polytechnique, t. VI, 13° cahier (1806), pp. 126-147].

de y correspond ainsi une fonction multiforme de x ayant l’origine pour point critique et qu’à une fonction uniforme de x correspond une fonction périodique de y.

Ces équations n’ont guère été étudiées que pour les fonctions de variables réelles par M. Ernarp ScHmipr et ses élèves. Mlle OLGA PoLossucHIiN a ramené l'équation (2) à une équation intégrale moyennant une hypothèse convenable sur la fonction w (x) ©). M. E. ScHMir. a étudié l’équation (5) lorsque a(y) est une constante, et les équations analogues d’ordre supérieur *). Enfin M. Guino HoueisEL a étudié les mêmes équations lorsque les coefficients sont des polynômes du premier ou du second degré M) En ce qui concerne les fonctions analytiques, M. LEAU a donné dès 1894, le théorème d'existence des solutions d'équations de la forme (1) (et d'équations plus générales, non linéaires, ou d'équations fonctionnelles aux dérivées partielles) moyennant des hypothèses convenables. Il a récemment simplifié la démonstration 7). D’autre part, dans un chapitre de sa thèse, Mlle PorossuciN a déterminé des solutions de Péquation (5) où

: I a(y) est une constante, ce qui correspond pour l'équation (4) à 4(x) — a [b(x)

pouvant être multiforme autour de l’origine].

C’est l’équation (4) que j’étudie dans le présent travail, dont je vais indiquer ici les grandes lignes, en mettant en relief les analogies et les différences qu’elle présente avec l'équation différentielle ordinaire correspendant à 6 — 1.

Dans le chapitre [*, j’établis d’abord par la méthode des approximations successives le théorème d’existence dû à M. LEau. L’équation (4) admet une solution, et une seule, prenant à l’origine la valeur donnée c , et par suite il y en a une, et une seule, qui prend une valeur donnée en un point donné. L’analogie avec l'équation différentielle semble complète à première vue; elle est pourtant imparfaite; dans le cas le plus simple où a(x) et b(x) sont holemorphes à lorigine, f(x) est déterminée quand on lui impose, outre l’équation, deux conditions: être régulière à l’origine et prendre une valeur donnée soit à l’origine, soit en un autre point. Si on lui imposait comme conditions celles d’être régulière en un point autre que l’origine, et d’y prendre une valeur donnée, lunicité de la solution ne serait plus démontrée; j’ajoute, en anticipant sur un résultat du chapitre IT, que, dans le cas |5| > 1, il resterait une grande indétermination. Le

4) O. PorossucHiN, Über eine besondere Klasse von differentialen Funktionalgleichungen (Inaugural Dissertation, Zürich, 1910).

5) E. ScamipT, Über eine Klasse linearer funktionaler Diferentialgleichungen [Mathematische Annalen, Band 7o (1911), pp. 499-524].

6) G. HoneiseL, Lineare Junktionale Differentialgleichungen I. Mitteilung [Mathematische Zeitschrift, Band 14 (1922), pp. 35-98] (ou Inaugural Dissertation, Berlin, 1920).

7) L. LEAU, Sur les équations fonctionnelles [Comptes-rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 119 (2° semestre 1894), pp. 901-902] et Sur l'emploi de certaines fonctions majorantes dans les théorèmes d'existence [ibidem, t. 178, [(1® semestre 1924), pp. 453-458].

point double attractif de la substitution (s +) joue donc un rôle très remarquable.

Je donne ensuite quelques généralisations du th£orème d’existence et d’unicité, dont une seule nouvelle: celle relative au cas où les équations et les fonctions inconnues sont en nombre infini. Puis j’étudie pour léquation unique (4) les solutions dont l’existence vient d’être établie; je cherche en particulier quelles sont leurs singularités lorsque b(x), régulière à l’origine, admet un point singulier x, de nature assez simple. Les points X,5 5X,s SX) --. SOnt tous singuliers pour f(x) (de même nature que x, pour l’in-

tégrale d’une équation différentielle ordinaire), ce qui conduit à distinguer trois cas sui-

est supérieur ou égal à 1, et quand il y a égalité, suivant que & est ou

vant que non racine de l’unité. Dans chacun de ces cas, et pour chaque espèce de point singulier envisagé, J'ai obtenu une représentation analytique de f(x) valable dans tout son domaine d’existence et mettant en évidence la position et la nature des points singuliers. Dans le dernier cas, la fonction admet pour coupure le cercle de rayon |x,]| et elle est en général continue jusque sur ce cercle, sauf en un certain nombre de points.

Le chapitre IT est consacré à la résolution de certains systèmes d’équations linéaires à une infinité d’inconnues qui se présenteront au chapitre III.

Dans celui-ci, je détermine des solutions de Péquation (4) lorsque l’origine est point singulier de b(x), a(x) étant toujours régulière. En supposant que a(x) ne s’annule pas à l’origine, j’ai pu y étudier des points singuliers de nature plus générale que ceux

considérés au chapitre I”; par exemple en ce qui concerne les points isolés autour

desquels la fonction reste uniforme, j’ai traité seulement le cas d’un pôle lorsqu’il n’est pas à l’origine, tandis qu’à l’origine j’ai envisagé aussi le cas d’un point singulier essentiel.

Les résultats obtenus sont très différents suivant que [6] est supérieur ou égal à 1. Le dernier cas est entièrement analogue à celui de l’équation différentielle ordinaire, les solutions ont leur partie irrégulière complétement déterminée; par suite elles ne dépendent que d’une constante arbitraire et se déduisent de l’une d’elles en lui ajoutant la solution générale de l’équation homogène définie au chapitre I.

Dans le premier cas au contraire, la partie irrégulière dépend d’une constante arbitraire, ce qui fait connaître pour l'équation homogène des solutions irrégulières qui admettent l’origine pour point critique. La solution donneë par le théorème d’existence du chapitre I* ne représente donc que l’ensemble des solutions régulières à l’origine; on peut l’appeler solution générale régulière, mais ce n’est pas la solution absolument générale.

Cette étude est évidemment incomplète. Je signale en particulier le point suivant. Lorsque |5| est plus grand que 1 et que b(x) a un point singulier x, non situé à lo-

: ; : , SEX rigine, on peut concevoir des solutions ayant pour points singuliers FA > “ac et

ne rentrant par conséquent pas dans la solution régulière à l’origine obtenue au chapitre sl Par exemple, on vérifie aistment que l’équation à coefficient constant pie,

fo = af(+) +

: À : X x © a j admet une solution ayant le pôle simple —2, le pôle double —% etc. Je compte faire G G

ultérieurement l’étude de ces solutions.

Les principaux résultats nouveaux contenus dans ce mémoire ont été communiqués à l’Académie des Sciences de Paris (séances des 26 décembre 1923 et 12 mai 1924) *).

Je suis heureux de remercier ici M. Emize BoREL qui m'a incité à entreprendre un travail de recherches, et M. GEORGES VALIRON qui a bien voulu suivre la présente étude avec le plus bienveillant intérêt.