Soit l’équation 7) FO) = a) + ex

g étant un nombre réel ou complexe, autre qu’un entier réel; a(x) et c(x) étant holomorphes dans un domaine D contenant l’origine à son intérieur. Nous allons chercher une solution de la forme

(18) JG) = CG) + x 9)

o(x) et (x) étant uniformes. On 1:

FCI = 86) + Te QG) + 40]

(a) ) ras)

Les conditions nécessaires et suffisantes sont donc : ; é (19) p'(x) = a(x) 9? ms

(20) xp C) +40 = DCE) + cc

Le fait que la fonction multiforme (18) vérifie l'équation (17) étant entendu conformément au n° 1 du présent chapitre, c* désigne un nombre parfaitement déterminé calculé à partir de la valeur choisie pour log c.

Les fonctions @(x) et Ÿ(x) sont ici définies A a Pune de lautre; o(x) est holomorphe et dépend d’un facteur constant arbitraire.

Pour déterminer une solution holomorphe de léquation (20), nous procéderons par approximations successives, à partir d’une fonction arbitraire g(x) en posant

MOTO ES TOETO ep G) + 9,00 = 4 (E) + 60

HR et als Veutellrile 7e tel (eue le Mel: Aer aniP ets ee iante Leie

Nos stle tel ete (ete ah altpiien ete ve el eut ARE EE 4 ete

70 P'A UIL UF L'A'M'ANUT:

Une équation différentielle de la forme

3 CEE UTON) EEE où v(x) est régulière à l’origine, admet une seule intégrale uniforme autour de lorigine; cette intégrale est holomorphe dans le même domaine que v(x) et peut être re-

présentée par

Si g(x) a été prise holomorphe dans D, les 4,(x) sont holomorphes dans le même

domaine. Les fonctions u, (x) = 4, (x) =) CET CG) CO Em ENV A CNE)

sont uniformes et vérifient les équations

xu (x) ua Co :%, u (+) DOUTE

Elles s'expriment donc par

2) = [OT (EE) — co ex

fo. (=) j G* G

Nous allons reprendre les raisonnements du ch. [*, n° 2, avec les notations définies à cet endroit, en remplaçant les formules (5) et (6) de ce chapitre respectivement par (22) et (23), ce qui est possible dans le cas où il existe des nombres positifs fixes w, k, K tels que l’on ait 7)

(24) RQ LIL ATOPF.

17) Ordinairement, les chemins y seront tels que le rapport AL » qui est moindre que 1, reste

aussi supérieur à un nombre fixe non nul. La double inégalité (24) équivaut alors à FR ZA ZAR.

Losque # est réel, on à w —u: la méthode s'applique donc au cas où & est positif. Lorsque p est imaginaire, en posant p. = x + Bi, ? — pe, la double inégalité ci-dessus équivaut

à une autre de la forme

R+ple LOCK" +pLe qui exprime que les chemins y sont comparables à une spirale logarithmique, la condition est alors

2—pB>o

Dans ces conditions, on peut prendre y(x) pour chemin d'intégration dans (22) et (23), x” tendant vers o avec z sur un tel chemin. Posons

z (= — :@) dans D.

2, — |5}, Arena a (0) M = max

La formule (22) nous donne

Se I K[s(]° 4 ee M KAs(x) | «( ) = 260) A 2, ee & ar pr I RE,

(cree

D'après formule (23) (=72):

KT[s(x)]° 4 M KAs(x)

(x) << IFOP 1 s, AUS RE, as (2) “4 M ANNE 1 fe W+1 LR = pas) sor L, Force M KAs(x)}° lu, (x) < GED 1 | et He M [KAs (T° LE cena Es, F En continuant ainsi on trouve na M K ASC EC) < (o + 1)(o + 2) ... (0 + | kE,

s(x) étant plus petit que Z, u,(x) est le terme général d’une série normalement convergente dans D. Ce mode de convergence permet de passer à la limite pour # infini dans les équations (2). La somme Ÿ(x) est donc une solution holomorphe de Péquation (20).

Cette équation n’admet qu’une seule solution holomorphe autour de lorigine, car toute solution holomorphe à l’origine de l’équation homogène Ha (x) x

HAC)AMRAGESS (=)

est identiquement nulle.

En effet, elle vérifie l'équation différentielle obtenue en remplaçant au premier mem-

bre seulement (x) par une fonction inconnue. On a donc aussi

(25) 1G= rt fr (dx

Soit m la borne supérieure de y (x) sur F(h) (notation du ch. [*, n° 3); en raisonnant sur la formule (25) comme un peu plus haut sur (22), on trouve

MINEREAS (2) KAZb ONE mn rs ET GER

pour x sur F(2h), qui conduit à une contradiction si m n’est pas nul (voir ch. I”, n° 3).

Lorsque la double inégalité (24) est vérifiée, il existe donc une infinité de solutions de la forme (18) où o(x) et 4 (x) sont des fonctions holomorphes la première contenant un facteur constant arbitraire et la seconde complètement déterminée.

9. La condition (24) ne fait intervenir que les chemins y et la constante y: lorsqu’elle n’est pas satisfaite, nous supposerons qu’elle le devient lorsqu'on augmente d’un entier assez grand ‘).

Il est évident que, dans l’équation (17), on peut augmenter l’exposant t d’un entier n en remplaçant c(x) par une fonction ayant en général un pôle d'ordre # à lorigine. Nous allons donc étudier léquation (17) en supposant remplie la condition (24), dans le cas où c(x) admet Porigine pour pôle ou même pour point essentiel isolé. Pour obtenir une solution de la forme (18), il faut toujours résoudre les équations (19) et (20).

Nous allons chercher pour l’équation (20), dans le cas où c(x) admet l’origine pour pôle ou pour point essentiel, une solution présentant le même caractère. Pour cela, essayons de réduire lPéquation au cas où c{x) est holomorphe par le changement de fonc-

tion inconnue:

LG) = dx) +) RO "UE

de) re

La nouvelle inconnue W(x) satisfait à l’équation

ev()+er()= Ov e |] + 6x) — [xd (0) + wd(x)] +#Pa(=)

dont le terme connu doit être holomorphe dans D. Il l’est nécessairement, sauf peutêtre à l’origine, comme 4(x), c(x) et d(x). Il sufht donc de choisir les coefficients de d(x) de façon que les termes infinis des différentes parties se détruisent. Posons

a(x)=4a Ha x<+a,x +... + ax" +...

b, Here b, RATS

c(x) = partie régul. + 1e +

18 ñ , : ie ñ ) C'est ce qui a lieu pour x réel; et sous des conditions assez larges imposées aux chemins t» pour 4 imaginaire [voir note 17].

Les d, doivent vérifier le système d’équations linéaires à une infinité d’inconnues

b+G—mu)d, +a os td, La, 07 des. ae POUR b, de ART +. Ce Ur mA

MR Se Ne TE PR Se RE te 6 0e 2, DO RIT eue ne Te. D dE TS ES CSN. cel ave ler sanlae roulé a Rire

Ce système est du type (1) du chapitre II, et pourra se mettre sous la forme (2) pourvu que 4, ne soit pas nul. Toute solution de ce système constituant les coefficients d’une fonction entière permet de faire le changement de fonction inconnue; on obtient alors une fonction holomorphe W(x) unique, et par constquent une fonction Ÿ (x) unique. Nous dirons que deux solutions f(x) de la forme (18) sont distinctes lorsqu'elles correspondent à deux fonctions $(x) différentes. Chaque fonction (x) fournit une infinité de fonctions f(x) non distinctes, en prenant pour ®(x) la solution générale régulière de l’équation homogène (19).

Étant donnée une équation (17), où a(x) et c(x) désignent des fonctions holomorphes dans un domaine D (défini au ch. I”, n° 1), sauf c(x) à l’origine où elle peut avoir un pôle ou un point essentiel; en supposant

elle admet une infinité de solutions distinctes de la forme (18) lorsque |o| est plus grand que 1 et une seule lorsque |5| est égal à 1. Y(x) est la solution générale régulière de ‘équation (19); (x) admet en général l’origine pour point singulier essentiel et est holomorphe dans tout le reste de D. Lorsque l’origine est un point régulier ou un pôle de c(x), c’est aussi un point régulier ou un pôle de Y(x) dans l’une des solutions. REMARQUE. — Lorsque [5] est plus grand que 1, la différence de deux solutions distinctes de l'équation (17) est une solution, multiforme autour de l’origine, de l'équation homogène (19). Les nouvelles solutions ainsi obtenues dépendent d’un facteur constant

arbitraire.

Vu et approuvé :

Strasbourg, le 4 juin 1924.

LE DOoYEN DE LA FACULTÉ DES SCIENCES,

PNOLLER

Vu et permis d'imprimer :

Strasbourg, le $ juin 1924.