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L’équation (14) admet une solution holomorphe contenant un facteur constant arbitraire. Le terme connu de lPéquation (15) a un pôle ou un point essentiel à l’origine à cause de c(x). Etant donnée une solution du système (7) attaché à (15), on peut profiter de la constante que contient y (x) pour que l'équation (8) soit vérifiée; on a ainsi pour (15) une infinitt de solutions uniformes distinctes. L’équation (16) se présente de la même manière. D’où l'existence d’une infinité de solutions de la forme (13), ou au moins d’une lorsque [5] = 1; y (x) est holomorphe, o(x) et L(x) admettent un point essentiel ou peut-être un pôle à l’origine.

L'existence de solutions distinctes de cette forme entraine celle de solutions analogues pour l'équation homogène. On verrait aisément qu’il existe des solutions qui sont

des polynômes de degré quelconque en log x dont les coefficients sont des fonctions uniformes de x.

Point critique algébrique, et généralisation.