INTRODUCTION

4. « Si l'on jette un coup d'œil sur le début d’un Cours d'Analyse classique, une chose ne manquera pas de frapper l'esprit. Les notions fondamentales sont présentées tout d’abord au moyen d’une définition extrêmement générale; puis, immédiatement après, des restrictions sont apportées à ces défimitions, de manière à limiter le champ d’études, et c’est grâce à cette limitation qu'il est possible d’aller de l’avant et de construire les différentes théories qui constituent la Science mathématique. »

Ainsi s'exprime M. René Baire au début de la Préface à ses célèbres Leçons sur les fonctions discontinues (1905). Comme :l le laisse entendre, la tendance qu’il signale n’affecte pas seulement l'Analyse pure, mais aussi bien la Géométrie. À l’appui de cette affirmation, le rénovateur de la théorie des fonctions de variables réelles pouvait citer la découverte, due à M. Henri Lebesgue, de surfaces applicables sur le plan bien que ne contenant aucune portion de droite (*). On a longtemps enseigné que la catégorie des développables était exclusivement formée de surfaces réglées engendrées, les cônes et les

(!) H. LeBesque, Thèse, Paris, 1902, Chap. V, n°‘ 81 et suiv. THÈSE G. DURAND. {

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cylindres mis à part, par les tangentes à une courbe gauche. Ce résultat était le produit de la composition, avec l’hypothèse d’apphcabilité sur le plan, d’hypothèses de commodité (existence et continuité de certaines dérivées) faites en cours de route pour permettre aux méthodes cartésiennes de s'exercer sous leur forme usueile. Beaucoup de théories géométriques nécessitent à l’heure actuelle une révision à la faveur de laquelle la causalité, masquée par les restrictions de commodité, soit remise en pleine lumière (").

2. L'étude des lignes planes et des surfaces convexes est l’un des sujets les plus familiers où apparaît le mieux la nécessité d’une étude directe, basée sur cette hypothèse unique : Existence en chaque point de la ligne ou de la surface d’un demi-plan ou d’un demi-espace non pénétré par cette ligne ou par cette surface. On peut considérer ce problème comme actuellement résolu : un Ouvrage récent de M. Bonnesen (?) donne une idée d’ensemble des résultats acquis par d’éminents géomètres, et notamment Minkowski, dans cet ordre d'idées.

(*) Ces idées résument une tendance de plus en plus marquée et désignée sous le nom de Géométrie infinitésimale directe par M. G. Bouligand. Elles ont été systématiquement dégagées par celui-ci dans plusieurs publications : Sur l’évolution des idées géométriques (Revue scientifique, 8 octobre 1927); Sobre una Conceptiôn de la Geometria (Revista matemätica Hispano-Americana, n° 4-5 de 1928); Sur quelques points de méthodologie géométrique (Revue générale des Sciences, 31 janvier, 30 juin et 15 novembre 1930).

J’emprunte à M. Bouligand l’exemple particulièrement typique d'un problème (d’ailleurs solidaire du problème cité de M. H. Lebesgue) dont le caractère est bien différent, suivant qu'on y apporte ou non des restrictions de commodité. II s’agit, dans le plan des axes rectangulaires Ox, O y, de la recherche des courbes telles que l’abscisse curviligne s soit liée à l’ordonnée y d'un point par une rela-

tion de la forme s—f(y). Bornons-nous au cas suivant s—y\/2. Les seules solutions à tangente continue sont des droites parallèles à l’une des bissectrices. Si l’on ne suppose plus la continuité de la tangente, la solution est profondément modifiée : toute ligne brisée à côtés alternativement parallèles aux deux bissectrices et tels que l’ordonnée soit une fonction de s constamment croissante répond à la question, et il y a même des lignes rectifiables ne contenant aucun segment rectiligne qui sont aussi des solutions.’

(2) T. Bonnesen, Les problèmes des isopérimètres et des isépiphanes (Paris, Gauthier-Villars, 1929).

Cor AO

À la suite des lignes et des surfaces convexes, on aperçoit deux généralisations séduisantes.

La première aura pour objet l'étude des lignes et des surfaces dites d'ordre borné depuis les beaux travaux du géomètre danois M. C. Juel (‘) : une ligne plane est d'ordre borné si le nombre des points où elle coupe une droite est au plus égal à un entier n préalablement fixé; on passe des courbes planes aux courbes gauches d’ordre borné en substituant à la droite sécante un plan sécant. On définit de même (en revenant à la droite) les surfaces d'ordre borné. Dans la théorie initiale de M. C. Juel, l'existence de la tangente ou du plan tangent intervient, à titre de commodité. Janiszewski (?) et tout récemment M. Severi (*) dans le cas du plan, M. André Marchaud (*) pour l’espace ont donné des résultats que l’on peut considérer comme les premiers éléments d’une théorie des courbes (planes ou gauches) d'ordre borné, en style conforme aux exigences de la causalité.

La seconde généralisation consiste à calquer la définition des lignes planes ou des surfaces convexes en remplaçant le demi-plan ou le demiespace par l’intérieur d’un cercle ou d’une sphère de rayon constant.

C’est de cette généralisation que nous nous occuperons dans ce travail.

3. Nous ferons voir d’abord qu’elle est distincte de la première en démontrant ce théorème négatif :

Une surface, par chaque point de laquelle passe une sphère de rayon constant n'enfermant intérieurement aucun point de la surface, n’est pas nécessairement une surface d'ordre borné.

(:) Les idées essentielles de ces travaux ont été exposées au Séminaire mathématique de M. Hadamard par M. Paul Montel dans une conférence intitulée : Sur la géométrie finie et les travaux de M. C. Juel et publiée au Bulletin des Sciences mathématiques (2° série, t. #8, mars 1924).

(2) S. Janiszewskr, Contribution à la Géométrie des courbes planes générales (C. R. Acad. des Sc., t. 150, 1910, p. 606).

(#) F. Seven, Le curve intuitive (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. 54, 1930, p. 51).

(“) A. Marcnaun, Sur les continus d'ordre borné (Acta mathematica, t. 55,

Considérons, sur un axe Ox, l’ensemble E des points ayant pour abscisses

et centrons en chacun de ces points une sphère de rayon p. Considérons alors l’ensemble ouvert E, réunion de ces sphères, c’est-à-dire l’ensemble des points intérieurs à une au moins des sphères précédentes. La frontière F, de E, jouit de la propriété annoncée : il passe par chaque point de F, une sphère de rayon constant & n’enfermant intérieurement aucun point de F,, et cependant une parallèle à la ligne des centres, menée à une distance o, possède en commun avec F, une infinité de points, ayant même abscisse que les centres donnés.

On aurait dans le plan le même théorème négatif, mais, pour l’homogénéité de mon exposé, je-laisserai systématiquement de côté le cas du plan.

4. Dans cet exemple, nous venons de voir apparaître la construcuon de Cantor-Minkowski, c'est-à-dire le passage de E à E,, en appelant E, l’ensemble réunion de toutes les sphères de rayon o centrées aux points d’un ensemble donné E. Cette construction avait été utilisée par Minkowski pour définir la longueur d’une courbe ou l'aire d’une surface. M. Henri Lebesgue, dans une Note de ses Leçons sur l'intégration (*) signale qu’elle avait été aussi envisagée par Cantor et rappelle les développements que M. et M" W. H. Young lui ont consacrés dans leur Theory of sets of points (1907).

Plus récemment, la construction de Cantor-Minkowski a été utilisée par M. G. Bouligand pour une théorie de l’ordre dimensionnel d’un ensemble fermé, applicable à certaines questions posées par le problème de Dirichlet (?). Du Mémoire de M. Bouligand il nous suffira de retenir le résultat suivant : |

(*) H. LepesGur, Leçons sur l'intégration, 2° édition, p. 35. () G. BouriGanD, Ensembles impropres et nombre dimensionnel (Bull. des

Sc. math., 2° série, t. 52, septembre et octobre 1928). |

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La frontière F,, de l’ensemble ouvert E, est d'atre bornée (').

5. A la suite de ce résultat, il m'a paru séduisant d'approfondir l'étude de la frontière F,. J’étudie ainsi les surfaces ou, plus généralement, les ensembles de points de l’espace à trois dimensions, qui possèdent cette propriété : par tout point de l’ensemble on peut faire passer une sphère de rayon © n'enfermant intérieurement aucun point de cet ensemble. En effet, un tel ensemble peut être regardé comme partie ou totalité de la frontière F, d’un ensemble ouvert E, obtenu par la construction de Cantor-Minkowski sur un ensemble E convenable et l’on peut, pour son étude, partir de cette construction appliquée à un ensemble E donné a priori. À cause de cela, un ensemble possédant la propriété précédente sera dit : ensemble de Cantor-Minkowski ou, en abrégé, ensemble C. M.

Notons que si un ensemble jouit de la propriété énoncée pour une valeur p, de o, il en jouit encore pour toute valeur 6, o,. De plus, pour p infini, on retrouve la propriété caractéristique des surfaces convexes qui sont ainsi un cas particulier des ensembles €. M. (et non uniquement un cas limite).

6. La construction de Cantor-Minkowski a donc, en vertu de ces remarques, une importance capitale pour l'édification de la Géométrie dans le style qui nous intéresse. Nous menant à la théorie des ensembles €. M., elle conduit encore à reprendre, à un point de vue nouveau, la théorie des enveloppes.

La réunion de domaines ouverts bornés d’une même région bornée donne naissance à un ensemble ouvert. Nous dirons que sa frontière est l’enveLoPre des frontières des domaines primitifs, ces dernières élant les ENvELOPPÉES. Le mot enveloppe est donc pris dans un sens distinct du sens de la Géométrie classique, mais beaucoup plus voisin

(:) M. Bouligand a précisé et complété cet énoncé (loc. cit., p. 326) dans son Mémoire : Une application du paratingent à une question de mesure super ficielle (Bull. de l’Acad. polonaise des Sciences et des Lettres, mars 1931).

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que celui-ci de l’acception familière de ce terme (*). Notre théorie des enveloppes s'applique aux familles de domaines dont les frontières sont des ensembles €. M. ; on obtient ainsi une enveloppe qui est ellemême un ensemble C. NM.. Les résultats de l’étude locale des frontières engendrées par la construction de Cantor-Minkowski donnent alors des propriétés de contact entre l’enveloppe et les enveloppées.

7. Ces préliminaires font pressentir d’une manière suffisante le plan de ce travail où, comme il a été convenu, je laisse de côté le cas de deux dimensions (?).

J'expose d’abord, au Chapitre [, les propriétés de la construction de Cantor-Minkowski effectuée sur un ensemble E donné; les plus essentielles concernent la correspondance avec l’ensemble E de la frontière obtenue, ainsi que la correspondance inverse; au point de vue fini, on est conduit au lemme des deux points et, au point de vue infinitésimal, les caractères limites de ces correspondances se résument dans mes énoncés : théorèmes des projections et théorème inversé des pro- Jections. |

Le Chapitre IT est une étude locale de la frontière, basée sur les correspondances précédentes. Je classe chaque point frontière suivant la manière dont ses « projections » sur l’ensemble E (c'est-à-dire les points qui lui correspondent sur E) se répartissent sur la sphère de rayon o centrée en ce point, réservant le titre de poënt (x) à ceux dont les projections se localisent sur une calotte; j'établis alors, pour chaque point de cette classe, d’une part le fait que le système des demitangentes (ou coNTINGENT, d'après M. Bouligand) ne dépend que de l’ensemble des projections du point, d’autre part l'existence d’une représentation paramétrique locale explicite. Les points dont les pro-

(*) Notons que le mot enveloppe a déjà reçu une signification différente de la signification classique (cf. H. Lesesque, Leçons sur l'intégration, 2° édition, p- 174).

(2) Bien que j'aie étudié spécialement le cas du plan, je préfère, pour la clarté, l'exposer à part, dans un autre Mémoire. L'ensemble de mes résultats a été résumé dans différentes Notes aux Comptes rendus de l’Académie des Sciences (29 avril, 27 mai et 23 septembre 1929, 3 mars, 26 mai et 10 novembre 1930).

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jections ne se localisent sur aucun hémisphère sont des points frontières zsolés et, pour les points de la classe intermédiaire, j'ai souligné par de nombreux exemples la complexité et la variété des cas qu’ils sont susceptibles d'offrir.

On verra au Chapitre III que j'ai dû aussi introduire un autre mode de classification suivant que les projetantes d’un point frontière ne sont contenues dans aucun plan (3° Espèce), ou bien sont dans un plan (2° ESPÈCE), ou encore sur une même droite (1"° Espèce). Mes énoncés d'IMPÉNÉTRABILITÉ, découlant immédiatement du /emme des deux points, m'ont permis d'établir que les points de troisième espèce forment un ensemble dénombrable. Je fais alors correspondre à un point frontière non plus le système de ses projections sur E, mais une figure déterminée, choisie parmi les projetantes du point, que j'appelle son spécr- FIQUE; j établis la continuité de cette correspondance pour les points de première espèce, continuité qui est uniforme pour un ensemble fermé. À cette occasion, j'utilise l’écarr de M. F. Vasilesco et je signale qu'il est susceptible de jouer le rôle de distance entre ensembles fermés quelconques : cette extension des notions géométriques élémentaires est, en effet, essentielle pour approfondir la Géométrie dans le sens déjà indiqué; l'écart prenant sa définition dans la construction de Cantor-Minkowski, l'intérêt de celle-ci se trouve renforcé.

L'étude des points de deuxième espèce est bien plus difficile, et, pour prolonger les propriétés précédentes de continuité, il est nécessaire d'introduire une condition supplémentaire; cette condition trouve aisément son expression avec la notion d'ensemble COMPACT EN sor de M. Maurice Fréchet ; j'obtiens ainsi des applications géométriques de cette notion, applications dont le caractère particulièrement simple apparaît dans des énoncés tels que les suivants : un continu de points de deuxième espèce, à ensemble de spécifiques compact en soi, est une courbe à tangente uniformément continue, donc rectifiable ; l’ensemble des continus de cette nature est. dénombrable. Mais Je démontre ensuite en toute généralité que l’ensemble total des points de deuxième espèce est inclus dans un nombre /int de surfaces de la forme z— f(x, y) à pentes bornées sur chacune desquelles il a une aire nulle, ce qui me permet d'établirla même propriété pour l’ensemble des points sans plan tangent de la frontière; cette propriété ne sub-

siste pas pour les points de multifurcation (c’est-à-dire ayant plus d’une projetante), car point de multifurcation ne signifie pas nécessairement DA sans plan tangent : j'ai attiré l’attention, tant au Chapitre IT qu’au Chapitre IIL, sur le caractère extrêmement complexe des points à deux seules projetantes opposées.

La théorie des enveloppes par réunion (n° 6) sera développée ne un autre Mémoire. Je me borne à noter que je réalise ici l'étude de l’enveloppe d’une famille de sphères égales et que si l’on considère, plus généralement, une famille de domaines à tels que par chaque point de la frontière f d’un à on puisse faire passer une sphère contenue dans à + jet dont le rayon soit au moins égal à une longueur donnée (la même pour tous les à), on démontre, à partir des résultats qui vont être exposés, cette propriété de contact : par chaque point de l'enveloppe 1l passe une enveloppée au moins tangente à l'enveloppe, sauf peut-être en des points formant un ensemble d’aire nulle.

8. La construction de Cantor-Minkowski et la théorie des enveloppes par réunion ont déjà fait l’objet de diverses applications. Ainsi qu'il a été indiqué, cette construction peut être utilisée pour cbtenir des propriétés dimensionnelles des ensembles fermés et c’est par ce côté que M. Bouligand a été conduit à s’en occuper. A la suite de mes premières recherches sur la notion générale d'enveloppe par réunion, il a reconnu que celle-ci se présente naturellement en Calcul des Variations, pour l'obtention des minima absolus, et aussi, de ce fait, dans diverses théories connexes : équation d'Hamilton-Jacobi, principe d'Huygens, théorie généralisée des caractéristiques des équations de propagation ondulatoire (‘).

On peut noter également que la plus courte distance d’un point à un ensemble, dont notre travail étudie les surfaces de niveau, joue un rôle capital dans la théorie des fonctions analytiques. Lorsqu'un

(1) G. BouciGann, Problèmes connexes de la notion d'enveloppe de M. Georges Durand (C. R. Acad. des Sc., t. 189, 1929, p. 446); Expression générale de la solidarité entre le problème 7 minimum d'une intégrale et l'équation correspondante d'Hamilton-Jacobi (Rendiconti della R. ons dei Lincei, t. 12,

ensemble plan est l’ensemble singulier d’une fonction analytique, le lieu des points où le cercle de convergence a un rayon constant n’est autre qu'un ensemble plan €. M. On rencontre aussi la plus courte distance d’un point à un ensemble dans la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes (!).

D'autre part, la construction de Cantor-Minkowski a été appliquée par MM. Bouligand et Rabaté à l'analyse des ensembles discontinus (?) et, pour l’étude des fonctions multiformes de variables réelles, M. F. Vasilesco () fait jouer un rôle important à la notion d'écart, dont nous avons déjà dit que la définition est issue de la même construction; on verra d’ailleurs l'application géométrique que nous faisons de cette notion.

Ainsi, non seulement les questions étudiées dans ce travail se présentent de la façon la plus séduisante pour qui veut approfondir la Géométrie infinitésimale dans le sens indiqué au début, mais encore on aperçoit dès maintenant leur intervention dans des sujets importants d'Analyse et de Physique mathématique.

Qu'il me soit permis d’exprimer ma profonde gratitude à M. E. Vessiot et à M. Henri Villat pour l'intérêt bienveillant qu'ils ont témoigné à mes recherches et pour leurs précieux encouragements. Je remercie particulièrement M. René Garnier dont les remarques et suggestions ont élé pour moi très fécondes. Je suis heureux aussi d'exprimer mon affectueuse reconnaissance à M. G. Bouligand qui m'a prodigué ses conseils et ses encouragements : son œuvre est le point de départ de mon travail. Enfin, je sais gré à M. K. Vasilesco de s'être intéressé favorablement à ce Mémoire et j’ai tiré grand profit de mes conversations avec lui.

(*) G. BouuiGanD, Figuration des points imaginaires et théorie des fonctions (C. R. Acad. des Sc., 1. 190, 1930, p. 1484); Sur un problème de la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables et sur divers points de la théorie des fonctions harmoniques (Journal de Villat, 1.9, 1930, p. 363).

(2) G. Bourigano et G. RaraTé, Application de la construction de Cantor- Minkowski à l'analyse des ensembles discontinus (Rendiconti dei Lincei, décembre 1930).

(5) F.Vasiresco, Thèse, Paris, 1925.