I. — Théorèmes fondamentaux

9. Lorsqu'on étudie l’ensemble ouvert E, formé des points intérieurs à l’une au moins des sphères de rayon o centrées en chaque point d’un ensemble E borné, c’est-à-dire l’ensemble ouvert E, obtenu en effectuant sur E la construction de Cantor-Minkowski avec le-rayon p, on peut toujours supposer que E est fermé; cette restriction apparente se justifie par le théorème suivant :

L'ensemble ouvert E,, obtenu en effectuant la construction de Cantor- Minkowskt avec le rayon p sur un ensemble E quelconque, estidentique à celui qu'on obttendrait en effectuant la méme construction sur l’ensemble

EEE, — c'est-à-dire

= (E)=tE SE:

Comme E est contenu dans sa fermeture, il est évident que tout point de E, appartient à (E),; il suffit de démontrer la réciproque. Pour cela, considérons un point P de (Œ),; par définition, ce point est intérieur à une sphère SK (') de rayon p, dont le centre A appartient à E. Cela signifie qu’on peut trouver une longueur & telle que la sphère S$ soit tout entière à l’intérieur de S£, d'où AP 9 —. Or, si A ne fait pas partie de E, il existe dans E une suite de points | A;} tendant vers À; comme A;P <AP + AA; <o—e+ AA;, toute sphère Sf,, pour laquelle AA;<e, enferme intérieurement le point P qui, par suite, appartient bien à E,.

(*) D'une facon générale, nous désignerons par SP une sphère de rayon p, et

par SÂ la sphère de centre À et de rayon p.

FX | PRE

10. Points frontières. — L'ensemble E, étant une réunion de sphères ouvertes, les points de E, sont des points intérieurs. Les points extérieurs sont les points de l’espace dont le voisinage ne contient aucun point intérieur. Quant aux points qui, sans être intérieurs, sont limites de tels points, ils constituent la /rontiére de l’ensemble E,, soitF(E,) ou, en abrégé, F,. La frontière F, est ainsi l'enveloppe, au sens du n° 6, des sphères de rayon o centrées sur l’ensemble E.

L'étude des points frontières étant le principal objet de ce travail, il y a intérêt à distinguer dès maintenant ceux de ces points qui sont aussi limites de points extérieurs : nous les appellerons points frontières extérieurs, les autres étant des points frontières intérieurs. Ces derniers : pourront être des points frontières non isolés ou isolés, suivant que: leur voisinage contiendra ou non d’autres points de F, (!).

AL. Tout point M de la frontière F, appartient à la surface de l'une au moins des sphères de rayon p centrées sur E.

. En effet, M est limite de points de E,, sans appartenir à E,. Sinous considérons une suite de points intérieurs {P;} tendant vers M et une suite de sphères S° (différentes ou non) centrées sur E et enfermant ces points, on peut extraire de celle-ci une suite partielle qui tend vers une sphère limite passant en M et, comme E est fermé, le centre de cette sphère limite appartient bien à E.

12. Projections et projetantes. — Nous savons dès lors qu’un point. frontière quelconque M appartient toujours à la surface d’une ou plusieurs sphères de E,, de centres A, B, C, .... Ces centres constituent l’ensemble des points de E qui sont à la distance minima po de M; pour abréger, nous dirons qu'ils sont les projections de M sur E, et lesrayons correspondants MA, MB, MC, ... seront les projetantes.

153. Critères de position. — La frontière F, constitue ainsi l’ensemble des points de l’espace dont la plus courte distance à E est égale à o ou encore l’ensemble des points o-distants de E. De ce fait découle une

(‘) On trouvera au n° 37 des exemples de ces différents points frontières.