On a donc ce théorème

La correspondance entre les spécifiques et les points d'un ensemble quelconque de points (x,) est biunivoque et bicontinue (ou encore : est homéomorphe).

On aurait le même énoncé en remplaçant les spécifiques par les pro- Jections.

(*) Le théorème de Jordan, d’après lequel une correspondance entre deux ensembles bornés de points ne peut étre biunivoque et, de plus, continue dans un sens sans étre continue dans les deux sens, est à peu près classique, et M. Henri Lebesgue y fait allusion dans son Mémoire : Sur les correspondances entre les points de deux espaces (Fundamenta mathematicæ, 1. 11, 1921, p. 277). Mais ce théorème s'étend aisément à des ensembles plus généraux que des ensembles de points. J'ai démontré dans une Note : Sur une application de la notion : compact en soi (Bull. des Sc. math., 2° série, t. 53, 1929, p. 69), qu’en considérant deux ensembles &, et &, d’un espace ( £) de M. Fréchet (voir M. Frécuer, Les Espaces abstraits, Paris, Gauthier-Villars, 1928, p. 163), st La correspondance entre &, et &, est biunivoque et continue dans le sens de &, vers &,, et si, de plus, &, est compact en soi (c'est-à-dire si pour tout ensemble infini de &,, il y'a au moins un élément d’accumulation appartenant toujours à 6;), alors la correspondance est continue dans les deux sens, et l'ensemble &, est compact en soi. On voit ici une application de ce théorème, les points M,, M, ..., M;, ...,M et les spécifiques correspondants o,, &,, ..., oi, ..., a Jouant respectivement le rôle des ensembles &, et &,, ce dernier étant compact en soi, d’après le n° 74. Mais, dans le cas particulier qui nous occupe, la démonstration directe est immédiate.

er De

74. Passant aux ensembles fermés de points («,), on a, d’après le n° 29, ce théorème immédiat :

Les spécifiques d'un ensemble fermé de points (a«,;) constituent un ensemble fermé. :

75. Nous allons montrer que, pour ces ensembles, la correspondance entre les points et les spécifiques est uniformément continue. La voie s'ouvre ici de la façon la plus naturelle à la mise en œuvre des théories de M. Maurice Fréchet. Un ensemble de spécifiques-rayons appartient aux espaces ( @) ou espaces distanctés, c’est-à-dire qu'on y peut repérer le degré de proximité de deux éléments (ici : de deux spécifiques) par un nombre qui est l’analogue d’une distance géomé-

trique (*).

76. On peut prendre pour ce nombre l'écart, introduit par M. F. Vasilesco pour les ensembles linéaires, la notion s'étendant d'elle-même à un espace quelconque (?). Avec des considérations qui nous sont maintenant familières, on peut le définir ainsi : étant donnés deux ensembles fermés &, et &,, leur écart est la borne inférieure des longueurs © pour lesquelles simultanément &, est contenu dans (&;), et 6, est contenu dans (6,),, en désignant toujours par (6,), et (&:), les ensembles ouverts obtenus par la construction de Cantor-Minkowski effectuée avec le rayon p (*). On représentera l’écart entre &, et 6, par la notation | 6,, 6, |.

Cet écart est bien l’analogue d’une distance géométrique car il satisfait aux postulats connus :

1° À tout couple d’ensembles fermés &,, &, correspond un écart