III. — Les points de première espèce

68. Nous nous proposons maintenant de faire une étude séparée de chacune des trois espèces de points frontières. On associera désormais à chaque point non plus une projection ou une projetante, comme aux chapitres précédents, mais un spécifique, c’est-à-dire une figure déterminée de projetantes. On obtiendra ainsi des relations entre certains ensembles de points frontières et les ensembles de leurs spéci-

fiques.

69. On sait (n°62) que les points de première espèce sont de deux types distincts, (x,) ou (B,), suivant qu'ils possèdent une seule projetante, ou bien deux projetantes opposées. Nous développerons, pour les ensembles de points de chacun de ces deux types, deux séries de théorèmes ayant une étroite parenté.

70. Les ensembles de points (x, ). — Soit M un point (x,); son spécifique o(‘} est une projetante ou rayon AM — p. À un ensemble de points (x) correspond biunivoquement un ensemble de spécifiquesrayons sur lequel nous savons distinguer un spécifique d’accumulation (n° 28). Nous allons préciser les caractères de cette correspondance biunivoque entre les points (x,) et leurs spécifiques.

71. Considérons d’abord les ensembles quelconques de points («,). Il est évident que la correspondance étudiée est continue dans un sens, celui des spécifiques aux points frontières : si une suite de spéci-

(2) D'une façon générale, on désignera par 6, o, ou d’ le spécifique du point M, du point M; ou du point M’.

rie fiques { 5; }tend vers un spécifique limite 6, la suite { M; | des points (a) correspondants a pour limite le point M, associé à 5. Démontrons que cette correspondance est continue dans l’autre sens ('), c’est-à-dire :

72. Si une suite { M;} de points (a,) tend vers un point limite M du type (œ), la suite { o;} des spécifiques correspondants a pour limite le spécifique 5 de M.

C'est une conséquence des théorèmes des projections (n° 21) : tout spécifique d’accumulation de la suite { 0;} est une projetante de M, et ce point, étant (a,), n’a qu’une seule projetante qui est son spécifique.