SU RE

2° On a[6,, & |—0, si 6, et 6, coïncident et dans ce cas seulement ('); 3° Quels que soient les ensembles fermés &,, &, &,,ona CS, &]ST ES, 6] + [és &] (2):

De plus, la notion d'écart permet de retrouver celle de limite (°). Dans le cas actuel, l'écart redonne les définitions de spécifique d’accumulation et de spécifique limite que nous avions indiquées précédemment : par exemple, la condition nécessaire et suffisante pour

(1) F. VasiLesco, loc. cit., p. 11, n° 6.

(2) Désignons, pour abréger, par r, r', r" les écarts figurant successivement dans cette inégalité. On remarque que (&,);,,r s'obtient en effectuant la construction de Cantor-Minkowski avec le rayon r” sur (6, ), ou bien avec le rayon r' sur (&;})rr, c'est-à-dire

(Si }rr = (Si = }r' Jr.

On vérifie alors aisément que la longueur 7/+ 7" satisfait aux conditions simultanées (le symbole (© signifie : contenu dans),

HEC (Sa )r'+r et EC (Sa )rerr.

Par exemple, on a EC CA et EC (So)rr,

BCE = (Er).

L'écart r étant la borne inférieure des longueurs qui satisfont aux conditions simultanées précèdentes, il s'ensuit que r <r'+r".

(5) La limite obtenue ainsi peut d’ailleurs différer, dans le cas général, de l'ensemble limite de Janiszewski, dont nous avons déjà parlé (n° 28). Voir à ce sujet : G. DuranD et G. RaBatTé, Sur deux conceptions de l'ensemble limite d’une collection infinie d’ensembles ponctuels (C. R. Acad. des Sc., t. 199, 1931, p. 474). — Il est à remarquer que, pour une suite d’ensembles, l’ensemble limite défini à partir de l'écart généralise la notion classique de limite d’une suite de nombres et l’on retrouve ainsi le critère de convergence de Cauchy. De plus, si l’on considère une suite d’ensembles ayant un ensemble limite £ à ce point de vue, il se peut qu'une modification infime apportée à chacun de ces ensembles (comme celle qui est indiquée à la fin de la note citée) transforme la suite de telle façon qu'il n’y ait plus d'ensemble limite, mais alors £ est devenu ensemble limite à e près (cf. Vasiresco, Thèse, p. 7); ainsi cette modification infime dans la structure des ensembles conduit à une modification infinitésimale

d’où l’on déduit

dans le caractère de £.

Vin lee

qu'une suite infinie de spécifiques { ;} soit convergente et ait pour limite le spécifique 5, c'est que l'écart [5;, 5] tende vers zéro quand augmente indéfiniment (!).

77. Cela posé, considérons un ensemble fermé #,, de points («,)et désignons par Z(%,,) l’ensemble des spécifiques correspondant aux points de #,,. La correspondance biunivoque entre F, et E(F,.) est uniformément continue dans le sens de £(#,.) vers #,, : à toute longueur € on peut faire correspondre une longueur n telle que l'inégalité [o, 5']<{n entraîne MM'< €. Démontrons la réciproque (?):

(:) Il me paraît essentiel de faire observer que la notion d'écart permet de distancier des ensembles quelconques de points de l’espace euclidien et qu’elle est ainsi susceptible de rendre de grands services.

On envisage alors l'écart non au point de vue arithmétique, comme une dif- Jérence entre les ensembles &, et &,, mais au point de vue géométrique, comme une distance entre &, et &,. Get écart se distingue d’ailleurs de la « distance », au sens de la théorie des ensembles; on sait que cette dernière est la borne inférieure de la distance d’un point d’un ensemble à un point de l’autre. Au contraire, l'écart est la borne supérieure de la plus courte distance d’un point d'un quelconque des deux ensembles à l’autre ensemble. En effet, on sait que (&), est l’ensemble des points de l’espace dont la plus courte distance à &, est < p; si & © (&),, la plus courte distance de tout point de &, à l’ensemble &, est donc < p et, A! étant la borne supérieure de cette plus courte distance, on a p>A!. De même, si 68, ((&,),, on à, avec une notation analogue, p>A?. Mais l'écart r des deux ensembles &, et &, étant la borne inférieure des longueurs p pour lesquelles on a simultanément 8, (6, ), et &, ((6;),, on en conclut que cet écart est précisément égal à la plus grande des deux longueurs A! et A?.

Il est remarquable que l'écart satisfait aux postulats ci-dessus de la notion ordinaire de distance, alors que la « distance », au sens précédent, n'y satisfait pas en général. Par exemple, si l’on considère trois segments A,M,, A,M;, A,M,, de longueur p, alignés dans cet ordre sur une même droite, on n'a pas l'inégalité triangulaire du 3° : la « distance » entre À, M, et A, M, serait A,M,=p+A,M,+A,M,;, tandis que A, M, et A, M, seraient respectivement la « distance » entre A, M, et A,M,, et la « distance » entre A,M, et A,M,. Cette «distance » serait plus précisément nommée : plus courte distance de deux ensembles.

J'ajoute que M. Fréchet (loc. cit., p. 214) a appelé écart une notion différente de celle considérée ici.

(2) Ce théorème est encore général (cf. note du n° 71): S'il existe entre deux ensembles &, et &, d'une classe (®) une correspondance biunivoque et

Re

78. Étant donnée une longueur arbitraire e, on peut trouver une longueur n telle que, pour deux points MetM' de l’ensemble fermé %,,, l'inégalité MM'<1 entraine | 6, 5] <e.

Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi. Alors, si petit que soit n, on peut trouver deux points M et M' de #,, tels que MM'< 1 et[o, s«']>e, e étant une longueur fixe.

Considérons une suite {n;} de longueurs décroissantes et tendant vers zéro. On peut choisir une double suite de points frontières {M;}, {M } tels que MM: <riet [o,, 6, ]>e, les suites {M} et {M } convergeant respectivement vers un seul point limite. Ce point limite M, est, d’après sa définition, le même pour nos deux suites et ilappartient à F,,, puisque #,, est fermé. Par suite, M, estun point (x,) possédant un spécifique 6,.

Or, en vertu du théorème ci-dessus (n° 72), les suites de spécifiques {o;} et {0°} tendent respectivement vers c,. Comme Lo, 5: SI oc, o,]+[5,, 6; ] (postulat 3°; n°76), il est impossible qu’à partir d’une certaine valeur de #, l'écart de 5; et 5; reste supérieur à une longueur donnée €.