PR

met — ne contienne à son interieur aucun point de G.

Considérons d’abord un ensemble &, pour lequel on a partout

ay > «, (angle fixe). De M comme centre, décrivons les sphères de EM Em

LASÔDS ru D'après le théorème de recouvrement de Vitali (‘), on peut trouver une suite { M; de points de 6, et une suite associée d’entiers ne à telles que les sphères successives de centres M; et de rayons 7; — “ne soient mutuellement jamais empiétantes et recouvrent 6, à un He de mesure nulle près. On peut, d’ ailleurs, faire ce choix de manière que toutes ces sphères soient dans un voisinage arbitrairement étroit de &,, donc que la somme de leurs volumes

De Dr (ri + Ti+...+ri+...) dépasse d’aussi peu qu’on le veut la mesure extérieure 4, de 6,. On a ainsi, € étant arbitrairement petit, Bo — E< 2 < bo HE.

Mais on peut supprimer, dans chaque sphère s;, un cône circulaire droit ayant son sommet au centre de s;, de demi-angle au sommet «, et ne contenant aucun point de 6,. Si l’on appelle C la somme des volumes de ces cônes (qui, comme les sphères, sont sans point intérieur commun), On a encore

5 Ji TT Po —E<2—C<po+e, d’où l’on déduit C < 22.

Explicitant le volume de ces cônes, cette dernière relation s'écrit

SEA) FA] Sn n< 3 TSIN° ap COS 6 (71 + Tite. Hri+...)<06,

() Voir, par exemple, Cararnfopory, Vorlesungen über reellen Funktionen, 2. Auflage, p. 299.

eo Le d’où il vient

D = Ér(ri rit ++.) < se

TI RS Re , sin? @ÿ COS

et comme on a Lo <2+e,

il est démontré que &, est de mesure nulle.

: Revenons maintenant à l’ensemble & de l'énoncé et choisissons une suite d’angles &,, &, ..., &,, ... qui tendent vers zéro en décroissant. En vertu de ce qui précède, l’ensemble des points où l’on a ay > «, est de mesure nulle, et l’ensemble & peut être considéré comme la réunion d’une famille dénombrable d’ensembles de mesure nulle, ce qui établit le théorème.

150. Soit & un ensemble contenu à la fois dans deux surfaces Ÿ, etZ;,; d'équations respectives 3, — f,(3,,Y1) et 32: — fo( 235, Ya), les fonctons f, et f, étant continues et à nombres dérivés bornés. Si & a une aire nulle sur È,, il a aussi une aire nulle sur X,.

Je rappelle, d'après M. H. Lebesgue, qu’un morceau de la surface z—/f(x,y)à pentes bornées a une aire au plus égale à celle de sa

projection, sur le plan æOy, multipliée par —; M étant supérieur

T aux nombres dérivés de f(x, y)(*).

Soient, pour abréger, II, et IL, les plans æ,0,7, et &æ,0,y,;S8, el &, les projections de Z, et & sur IT, ; S, et &, les projections de E, et GS sur IL.

D'après l'hypothèse, & a une aire nulle sur X,, et &, a une aire nulle sur S,. On peut donc enfermer les points de &, dans un nombre fini ou unenfinité dénombrable de surfaces planes s dont l'aire totale soit arbitrairement petite. Appelons © la portion de Ë, qui se projette sur IL, en s, et S’ la surface réunion des s. La portion Ë, de À, qui se projette en S, a elle-même une aire infiniment petite d’après la propriété rappelée au début et, étant la réunion des 6, elle contient tous les points de 6. En projetant les surfaces 5 sur IL,, on enferme donc tous les points de &, dans un nombre fini ou une infinité dénombrable de surfaces, dont la réunion (projection de £°) a encore une aire infi-

CHAT: Leresqus, Thèse, n° 71, p. 85.

niment petite. Toujours en vertu de la propriété du début, & a donc

une aire nulle sur »,.

CoroLLaiRe. — Soit & un ensemble qui possède cette double propriété : 1° & est contenu dans une famulle dénombrable au plus de surfaces z— f(x,y) à pentes bornées, 6, sur chacune desquelles il a une atre nulle ; à & est contenu dans un nombre fini de surfaces z = f(x, y) à pentes bornées, s. Alors & a une aire nulle sur chaque sur face s.

Considérons une surface particulière s;, et soit e le sous-ensemble de & contenu dans s; (c'est-à-dire, en employant une notation bien connue, es, x &). D'après l'énoncé, e est aussi contenu dans la famille des surfaces 5, donc il est contenu à la fois dans s;et dans la réunion des surfaces 0 :

CMS NO Or COS DC SE Oo etre

Or, d’après le théorème précédent, le sous-ensemble e, de e contenu dans 5; < 6, a une aire nulle sur s; (car il a, comme 6, une aire nulle sur 5,); et de même pour les sous-ensembles analogues e,, e;,

Par suite, e est inclus dans une famille au plus dénombrable de morceaux de s;, sur chacun desquels il a une aire nulle. La surface s; étant quelconque, l'énoncé se trouve établi.

Vu et approuvé :

Paris, le 22 juin 1931. Le DOYEN DE LA FAGuLTÉ pes SciENcrs, C. MAURAIN.

Vu et permis d'imprimer :

Paris, le 22 juin 1931. * LE RECTEUR DE L'ACADÉMIE DE PARIS,

S. CHARLÉTY.