VI. — Les points de troisième espèce

116. Par définition, les projetantes d’un point de troisième espèce ne sont Jamais dans un même plan. Un tel point peut appartenir à l’une des trois classes «, 5 ou y, les points (+;) étant des points frontières isolés (n° 35). Le spécifique d’un point de troisième espèce est un tétraèdre de projetantes; à partir de cette notion, nous allons établir ce résultat général :

L'ensemble F, de tous les points de troisième espèce de la frontière F, est dénombrable.

C’est une conséquence immédiate de nos théorèmes d'impénétrabilité (n° 67). À chaque point de F, on peut associer un spécifiquetétraèdre de volume non nul et deux quelconques de ces tétraëdres n’ont en commun aucun point intérieur. Îl en résulte que l’ensemble de ces tétraèdres est dénombrable, ainsi que l’ensemble des points de troisième espèce (*).

117. À côté de ce résultat simple sur l’ensemble F,, il n'est pas inutile de donner, au moyen d'exemples, certaines propriétés négatives qui montreront la complexité de cet ensemble.

Tout d’abord, l’ensemble F, n'est pas nécessairement fermé : une suite infinie de points de troisième’ espèce peut admettre pour point d'accumulation un point de première ou de deuxième espèce. Exemple : On considère une suite infinie de sphères égales de rayon p et de centres { M;} tendant vers M. Sur la surface de la sphère SF, on prend trois points A;, B;, C;, non situés dans un- même plan avec M;, extérieurs à toute autre sphère de notre suite et tels que la triple suite {A;}, { B;}, { C;} ait pour limite soit un point unique À, soit deux points À et B (les rayons MA et MB n'étant pas opposés); ces points limites sont évidemment sur la surface de Sf. Lors de la construction de Cantor-Minkowski effectuée sur l’ensemble des points A;, B;,

(:) Cette propriété est encore une conséquence du théorème que j’ai démontré dans mon Mémoire : Sur un critère de dénombrabilité (Acta math., 1.56, 1931, p. 363) : Un ensemble & dont le contingent en chaque point est un faisceau strictement convexe (voir n° 838) est dénombrable. I] résulte, en effet, des n° 42 et 48 que le contingent de la frontière F, en tout point de troisième espèce est strictement convexe.

Se 2

C;, les M; constituent une suite de points de troisième espèce ayant pour limite soit un point de première espèce, soit un point de deuxième espèce.

118. Bien que F, soit dénombrable, le dérivé F; de l’ensemble des points de troisième espèce est susceptible de comprendre des continus. I suffit de Île montrer pour le cas des surfaces convexes (!) en inscrivant dans une sphère un polyèdre convexe à facettes triangulaires, se multipliant et se rapetissant au voisinage de l'équateur, de facon que les sommets formant l’ensemble F, s'accumulent sur l'équateur et que chaque point de ce grand cercle soit de première espèce. |

419. Enfin, l’ensemble F, peut étre partout dense sur la frontière F,. C'est ce qu'on voit avec la surface convexe, déjà rencontrée au n° 409, qui est représentée par une équation z— f(x) + g(y) et sur laquelle il y a des lignes de points de deuxième espèce x — const. pour un ensemble dense de valeurs de x et des lignes analogues y — const. pour un ensemble dense de valeurs de y. Les points de croisement de ces lignes sont des points de troisième espèce, dont l’ensemble est lui-même partout dense.

VII, — Ensemble des points sans plan tangent et ensemble des points de multifurcation.

120. Nous nous proposons, comme conclusion de notre étude, d'examiner l’ensemble des points frontières dépourvus de plan tangent. Nous dirons qu'un point M de la frontière F, possède un plan tangent si le contingent de F, en M est identique à un plan, c’est-à-dire s’il existe un plan unique IT passant par M et jouissant de cette double propriété : toute demi-tangente MT de F, est contenue dans IT, et toute demi-droite MA de II est une demi-tangente de F, (?).

(:) Je rappelle qu'une surface convexe est un véritable ensemble €. IN. (n°5).

(?) Cette définition n’est pas celle adoptée dans la plupart des Traités classiques où l’on appelle souvent plan tangent d’une surface en M un plan qui est unique et qui contient les tangentes à toutes les courbes de la surface passant en M et admettant une tangente en ce point. Notre définition se trouve imposée par ce fait que la frontière F, n’est pas nécessairement une surface. D'ailleurs, celte définition, très naturelle en ce sens qu'elle généralise à trois dimensions la notion de tangente à une courbe plane, a été utilisée par plusieurs auteurs pour l'étude mème des surfaces. Dans son Mémoire : Sur les Surfaces qui admettent un plan tangent en chaque point (Bull. de la Soc. math., W 54, 1926, p. 190),

DT 9, : rs ; — 121. Cela posé, nous avons ce théorème immédiat :

En tout point de deuxième ou de troisième espèce, la frontière K, est dépourvue de plan tangent.

Soit M un point de deuxième espèce (ou de troisième espèce). Si M est de la classe «, le contingent +(M) de F, en M est formé (n° 63) des deux faces d’un dièdre (ou de la surface d’un cône convexe). Si M est de la classe $, le contingent &(M) de la frontière f, (n° 42) se réduit à un demi-plan ou a un couple de demi-droites opposées (à un secteur plan ou à une demi-droite). Comme +(M) est contenu dans (M) ou coïncide avec lui (n° 43), +(M) n’est jamais formé d’un plan.

122. Réciproquement, tout point de F, sans plan tangent est un point de deuxième ou de troisième espèce, ou encore un point (B,), car on sait (n° 63) que la frontière a toujours un plan tangent en un point (x,). Comme nous avons précédemment étudié l'ensemble des points de deuxième et de troisième espèce, le problème se ramène donc à examiner l’ensemble des points (B,).

M. G. Valiron pose des définitions qui reviennent à ceci : une surface a un plan tangent en un point si son contingent est contenu dans un même plan, — et ce plan tangent est ordinaire si le contingent est identique à un plan; c'est précisément le cas du plan tangent ordinaire que nous considérons ici. D'autre part, M. R. Caccioppoli, dans son importante Note : Sul carattere infinitesimale delle superficie quadrabili (Rendiconti dei Lincei, 1.7, 1928, p. 901), indique le premier exemple d’une surface quarrable au sens de M. Lebesgue, qui soit dépourvue de plan tangent sur un ensemble d’aire positive, entendant par là qu'aux points de cet ensemble /e contingent de la surface n'est pas contenu dans un méme plan.

Il est bon de noter que ces définitions sont nettement distinctes : non seulement, comme le fait observer M. Valiron, il existe des surfaces possédant en un point un plan tangent au sens classique et n'en ayant pas à notre sens, mais inversement on rencontre des surfaces dont le contingent en un point est contenu dans un même plan, ou même est identique à tout un plan, et qui n'ont pas en ce point de plan tangent au sens classique; par exemple : le point O de la portion de cylindre droit, d’équation r — el, voisine de l’origine et extérieure aux deux sphères æ?+ y?+ + 2Rz—o, le plan æO y étant le plan des coordonnées polaires r, 0; observons que, si l'on supprimait les deux sphères, le contingent T(0) ne serait plus le plan xO y, mais remplirait tout l’espace.

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125. L'ensemble W,, de tous les points (5,) sans plan tangent de la frontière F, a une aire nulle (au sens du n° 411).

Soit O un tel point, de projetantes opposées MA et MB, et soit II le plan perpendiculaire en O à AOB. Considérant les frontières Fa et F4 (n° 53) obtenues par la construction de Cantor-Minkowski sur des voisinages respectifs de A et de B, le point O est (4, )sur Fa et sur F4 et l’on peut trouver (n° 52) sur ces frontières des voisinages de 0, Va et Ve, qui soient des surfaces de la forme 3 — f(x, y) à pentes bornées. D’après le théorème des projections (n° 17), tout point de F, situé dans un certain voisinage % de O appartient à l’une au moins de ces surfaces, mais 1l peut arriver qu’un point de Va ou de V4 soit intérieur à E,, donc n’appartienne pas à F;; il peut donc se faire qu’un point possédant un plan tangent sur Va ou V& n’en ait plus surF,.

Considérons alors l’ensemble 4, des points (5,) sans plan tangent du seul voisinage Ÿ. En chacun de ces points À’, le contingent de K, est contenu, au sens strict, dans un même plan Il (n° 42 et 45) dont la normale A'B/ est, en vertu du théorème des projections, arbitrairement voisine de la normale AB au plan II. Il s’ensuit qu'en effectuant une projection orthogonale de 44, sur Il, le contingent de l’ensemble projection, en un point quelconque, ne comprend jamais tout ce plan et 1l résulte alors d’un théorème de M. Bouligand (‘) que cet ensemble projection est de mesure nulle. L'ensemble considéré d4, se projette donc dans deux domaines du plan Il, respectivement projections des surfaces Va et Vs, sur chacun desquels il a une aire nulle et, du fait que les pentes de ces surfaces sont bornées, ce résultat s'étend immédiatement à Va et Va (?).

Ainsi le point O est contenu dans la réunion de deux surfaces z3— f(x, y) à pentes bornées sur chacune desquelles les points (5,) sans plan tangent forment un ensemble d’aire nulle, et d’après le théorème de recouvrement de Lindelôf, on peut enfermer l'ensemble total W,, dans une famille dénombrable de telles surfaces.

(!) G. BouriGann, Sur une application du contingent à la théorie de la mesure (Acta math., 1. 56, 1931, p. 371). Une démonstration de ce théorème figure en Appendice (n° 129).

(?) Voir le début du n° 180. \

Mais on a vu, à l’occasion de la théorie des points de deuxième espèce, que la frontière K, est incluse dans un nombre fini de frontitres /; (n° 115), chacune de ces frontières étant elle-même la réunion d’un nombre fini de surfaces z — f(x, y) à pentes bornées (n° 114). L'’ensemble W, est donc inclus aussi dans un nombre finit de surfaces :— f(x, y) à pentes bornées et, d’après la propriété précédente, on démontre qu'il a une aire nulle sur chacune de ces surfaces (‘). Notre théorème est donc établi.

124. Comme, par ailleurs, on a démontré que l’ensemble F, des points de deuxième espèce a une aire nulle et que l’ensemble F, des points de troisième espèce est dénombrable (donc a aussi une aire nulle), nous aboutissons à ce théorème général :

Un ensemble €. M. possède un plan tangent, sauf peut-être en des points formant un ensemble d'aire nulle,

étant toujours entendu que cet ensemble est inclus dans un nombre Jint de surfaces z — f(x, y) à pentes bornées sur chacune desquelles il a une aire nulle.

125. Le théorème des projections entraîne immédiatement la conünuité du plan tangent sur l’ensemble des points frontières, (&x,) ou (5), où existe ce plan : si une suite de tels points converge vers un point analogue, la suite des plans tangents correspondants converge vers le plan tangent en ce dernier point. Mais l’ensemble des points frontières pourvus d’un plan tangent n'étant pas nécessairement fermé, la continuité uniforme n'a pas lieu en général (cf. n° 79 et 86), et deux points simultanément variables, dont la distance tend vers zéro, peuvent avoir des plans tangents non infiniment voisins (c/. n° 18).

126. Ensemble des points de multi furcation. — Nous sommes maintenant en mesure de donner une solution dans le cas général à la question posée par M. Bouligand : es points de multifurcation (n° 1#)

(:) Voir, en Appendice, le n° 130.

Le

rare

forment-ils sur la frontière K, un ensemble de mesure nulle (*)? Luimême a donné une réponse affirmative lorsque l'hypothèse H (n° 51) est réalisée en chaque point de la frontière F,, puis il a étendu ce résultat au cas suivant : L'ensemble E étant décomposé en un nombre fini d'ensembles de diamètre <o, et la construction de Cantor- Minkowski étant effectuée sur chacun de ces ensembles, 1l faut que l'hypothèse H soit vérifiée en tout point frontière de la réunion de deux de ces domaines partiels (?).

127. Pour résoudre le problème, on doit essentiellement distinguer entre les diverses espèces de points de multifurcation :

Les points de troisième espèce forment un ensemble dénombrable (n° 116);

Les points de deuxième espèce forment un ensemble d’aire nulle (n° 111).

Quant aux points de multifurcation de première espèce, ou points (B,), ils ne forment pas nécessairement un ensemble d’aire nulle, soit sur la frontière intérieure (cf. l'exemple 2° du n° 37), soit même sur la frontière extérieure; on le voit en prenant pour E, dans deux faces opposées d’un cube d'arête 2°, deux ensembles discontinus d’aire positive, identiques à une translation près superposant ces deux faces.

Cependant, la propriété a lieu pour les points (B,)sans plan tangent (n° 123), et aussi pour les points ($,) pourvus d’un plan tangent, au voisinage desquels une parallèle à la ligne des projetantes rencontre tou- Jours la frontière en deux points disuncts, car l’ensemble de ces derniers est dénombrable (n° 55, en note).

(*) G. BouziGanD, Ensembles impropres et nombre dimensionnel (Bull. des Sc. math., t. 52, 1928, p. 372).

(2) G. Bourigann, Sur certaines classes de surfaces de l'espace euclidien à trois dimensions (C. R. Acad. des Sc., 1. 190, 1930, p. 1001); Sur la construction de Cantor-Minkowski (Ann. de la Soc. polon. de Math., 1. 9, 1930,

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