Sur une propriété des déterminants fonctionnels et son application au développement des fonctions implicites

La formule de Lagrange, pour développer suivant les puissances de x une fonction F(u) d’une variable w, liée avec x par une équation de la forme

UC eu a pu);

repose, comme on sait, Sur la propriété que possède la fonction F de satisfaire à l'équation aux dérivées partielles ie dE d: [ 7 “| RU le Lo ses L'ONU ==, | dar del? du p étant un nombre entier quelconque. Laplace (*) et Jacobi (”) ont cherché à étendre le théorème de Lagrange au cas d’une fonction F(u,, u,) de deux variables, fonctions implicites de quatre variables indépendantes, auxquelles elles sont liées par deux équations analogues à l'équation (A), et ainsi de suite, Mais, si ingénieuses que soient leurs recherches, il ne semble pas (*) Aémoires de l'Académie des sciences de Paris, 1777, p. 99.

(‘*) De resolutione equationum per series infinilas ; Journal de Crelle, t. VI, p. 257. Voy. aussi le Traité de calcul différentiel de M. Bertrand, pp. 599-408.

que les formules auxquelles ils sont arrivés présentent l'extension naturelle de celle de Lagrange au cas de plusieurs variables.

M. Darboux , dans un mémoire qui à paru par extrait aux Comptes rendus de l'Académie des sciences (t. LXNIIT, p. 134), a montré que cette extension s'obtient d’une manière bien plus élégante en introduisant en facteur, dans la fonction à développer, un déterminant fonctionnel , dont la présence permet aux dérivées partielles du produit de satisfaire à une équation analogue à (B), et tout aussi simple.

Cette belle propriété des déterminants fonctionnels dépend elle-même d'autres propriétés plus générales, que M. Darboux n’a point traitées, et qui eussent d’ailleurs été sans utilité pour l’objet spécial qu'il avait en vue. Cependant ces propriétés, auxquelles j'étais arrivé de mon côté, sans connaitre le travail de cet habile géomètre, méritent d’être étudiées pour elles-mêmes et indépendamment de leur application au développement des fonctions, d’autant plus qu'elles renferment comme cas particuliers, non-seulement la formule découverte par M. Darboux , mais aussi la solution générale du problème tel que Laplace l'avait considéré.

Nous aurons besoin, dans ce qui va suivre, d’une notation simple et expressive pour représenter les déterminants fonctionnels, et parmi celles qui ont été proposées par les géomètres, la suivante nous à paru mériter la préférence : nous désignons par D | Bet) le déterminant du système des x fonctions /,, /,,.. f, par rapport aux x variables Li LES) see de, CUNTONES dépendent; en sorte que l’on a

dfi: df di

LT UTINU UE

: ; lfa df. {2 FR ATES HART OS COEUR, p{oe fois [ | = (EF PRE» LR Lis Los. X

d'au are Ari Pat

2. Abordant tout de suite la question générale, considérons 2x variables indépendantes,

Lys Los. X, ; Lys Tggeee X Fe

soient u,, 42, 4, à fonctions implicites de ces 2n variables; o,, 0,, .…. o, des fonctions explicites de u,, u,,... u,; et admettons que les variables w satisfassent toutes aux relations comprises dans ce type général :

Il résulte immédiatement de là que, si /(u,, u,,...u,) est une fonction quelconque des variables w, l’on aura

df.. df du, df du, df du, df A ad = te ms duo NO ie mtEe l Ses + 0 4 —— , LT LUE à du, dx; Fe da; du, dx; ou df df qi). =

de pe dx; da;

Désignons actuellement par /,, {,,... f,, n fonctions quelconques des mêmes variables w,, #,,.. u,, et Considérons les déterminants fonctionnels 1 d/ : ART AO À ON PCT 16 o(É) =, pfff), offe6), oflobf)t, 7 da Xyls da Hs À CORTE Ce sont les dérivées partielles de ces déterminants par rapport aux variables x; que nous allons considérer d’abord, pour chercher à les exprimer en fonction de dérivées partielles prises par rapport aux seules variables 4, 2,,... a. En vertu de l'équation (1), l’on a

d'«f, is d df, 1e « d/i LE cb) dfi des df, de; bu) = (8% 7 de

dax; dos des dx, da, \" de: da de, dride, d’où 108 y FRS 2) p (fe 5\, dx; de, do; da, Hys Li

Soit en second lieu, le déterminant

. ‘ie ü ta UR df taf, dfs

As Xe da, day dus de,

(*) I est bien entendu que, dans le troisième de ces déterminants par exemple, /i, f2, /; désignent trois quelconques des fonctions fi, f2,.…. f,, et o, &, «3, trois quelconques des variables o,, &,.. œ

en"

En prenant les dérivées des deux membres par rapport à x;, et appliquant l'équation (1), on trouve sans peine

d D AL A df ae al. dfa d £ a) dfi d E dE df, d me . dx, e 2) = Le das \"" do: de, da, Fr des dr, do, dr da,

(on af dfs df ee di dfi dfs df se) ds; ci dfs dfs dfs = ÿ — —— + "da; \da, de dr du da,

des de dv

: ds, rs Loft (fl) (fl) tof).

dr, ps Lo do } ds;

\%o s 4; das EE LE

da

das de, du; das

As Lo

Mais la somme des trois derniers termes est égale au déterminant

D (een, T3 293 di en sorte qu'il vient LA) à LRE À (hrs) 9 ue lise = D) == 2D — D —|, (5) . (Rs : NU %9 Lys Xgs Di ‘)

Passons au déterminant du troisième ordre

+ D Vas À dx His 5 dx;

D(E RE) offer) of). o(eE,

et dérivons par rapport à æ;. D'après les relations (1) et (3)

, NOUS avons A Pdf Die), sn PANÉAARER, (Es) Sn AS dx; a F A dal Z9, 25 do, 33 &) ) Los À de dz; «l US ce es AL mt 1 2 didfis as F.

TR do Las 3 da A3 03 3 À ds ds; D fe CA

Si l'on opère de la même manière sur les deux autres membres du déter-

tn minant proposé, et si l’on groupe ensuite ensemble les termes qui se correspondent, on trouvera sans difficulté

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dx, \Ais Los Az

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