COTES

Ass Los Di da, Lis L29 À

eten observant que la somme des quatre derniers termes se réduit au déterminant — D joie ri , on obtiendra la formule |

Hi Los Us y Oi

(4) (le {2 DE (eh 144 2) Dh ÿi 3 NT RS dx; Xp s Hels L3 lai 419 Los &s 72 É is Los Ass A La loi de formation des dérivées se montre déjà d’une manière évidente, et )

il n’y a aucune difficulté, en continuant la même démonstration, à la généraliser et à établir équation suivante :

we Loft) AT (fofefs)| pffoforhert) (OCR CT APPEL 7: da; 19 Lo Au CIEL TESTECTT C1 Cette formule peut elle-même être généralisée, car, si l’on multiplie le déterminant par une fonction U des variables «,, u,,... u,, les équations (1)

et(5) donnent juofehen (à | Len L)| dx, COR TEE da; Ag y Lay ee Ar p(fe lle husan (RE), dx;

X13 Los ee dy Ai À à Ugo ve Au

ou bien 2er d | AJ ER URR re, del p (ff fe : he) | ne (AA op (fre le ba LE —v-p(fhefes) COPA Can Me CAELTTEE y Lys Ugyvee Upy Lo C'est-à-dire que l'équation (5) ne cesse pas d'être vraie, lorsque l'on rem-

place chacun des déterminants fonctionnels qui y entrent, par son produit

par un facteur AN UTRe ATEAU IE

en d’autres termes, elle subsiste lorsque l’on remplace symboliquement D par UD. Cette extension du théorème va nous être fort utile.

Remarquons aussi que si l'indice À est compris dans la série 1, 2,.. y, le dernier terme de l'équation (6) est un déterminant dans lequel deux colonnes sont identiques, et qui est conséquemment nul. L'équation se réduit à la forme simple |

un (eff À d AUDE je e js Use. Au de Ts Las «+ Au

A l’aide des équations (5) et (6), la transformation des dérivées successives du déterminant fonctionnel par rapport à x;, en dérivées par rapport à #,, n'offre plus aucune difficulté. On à d’abord

an (he Fe Le d'e prie HER Ce dax? Ai 5 La y ve UN da; 0e Lys Las + Un a T4 Tags ve Aus Ti vs n (hf Sec an (fe Fa à ie fi Lys Los + Au | da; Lyy Las. Us D

Différentiant de nouveau par rapport à +;, et appliquant toujours la (ormule (6), on trouvera de même

Œ o (ff le) 2 d Due EM re D sue 4 3 GETEE fi ST e GE ri, DT ?

THAT ARE Un do? A; Laye Ou à Naf fus Pa

, en généralisant sans difficulté par la méthode ordinaire,

de fée fe Je: dr DEN LAPR | fe fs fhgn Es Tis Aa Lu da? # Ts Las ve Ar Pa hs Hs As ee us À;

Cette relation peut s’écrire plus élégamment

d FR UE dr”! LA PUR [TE ae GR nee PRE ep OR AS On voit d’ailleurs sans peine que si, au lieu de partir de l'équation (5), on était parti de l'équation (6), les calculs auraient été tout à fait semblables, sauf que D serait partout remplacé symboliquement par UD; l'équation (1) subsistera donc si l'on multiplie tous les déterminants fonctionnels qu'elle

renferme par U, U étant une fonction quelconque de ,, w,,... u,; ainsi l'on aura

de s/25../12 À le d . ; .. t do (8) UD Lite Fe es up (f-feefe le UD que [u et. dx? Lis Pis ee A da?! du CELL TT Lys Tag veu > Ai 5. Considérons maintenant les dérivées partielles successives par rapport à plusieurs variables #;, #,, x, L'équation (7) nous donne d’abord, q étant un nombre entier quelconque,

at) (ff BEN ee dan, so (Écfef)] dt DURE per

dx’daf DA ae du do?” Era

ds, dat |

1510 5/2 V3 asus

développons le second membre au moyen des formules (1) et (8), viendra

ee Futé “Hs

(9) dx?dx{ de da | ddr, [so D fe ee. d | an (EAN ME? nifags sien al da, Li xs ve Gus Di En différentiant encore les deux membres de cette équation 7 fois par rapport à une troisième variable x,, et en continuant à appliquer les formules (7) et (8), on trouvera pareillement

AL p (EP =ie ce) Cas HRRTE SUR | PATD us < ti kFI HU CRC LE D

druide D) us ce 00 de? dat da; À de da,du, Li Las ee Au

10 Y Œ FD (EEE i +Ÿ — d gD (ur Ce

LES el LE MER PAUSE TRS

UE dde | Lis 42e Tu À le, 4 U33 ve Aus xs D (ee {2 .… {us 2e cl; 1 |

Lys Pos ve pus Lis Frs E

Lys Las « du Ljy Las Au

RS ent. Pr,

Lis Las + Aus js \

la première sommation se rapportant au changement de #, k, l, p, q,r, d'abord en à, l, k, p, r, q; puis en #, !, 4, q, r, p; la seconde, au changement de ?, k, !, p, q, r, d'abord en #, 4, d, q, p, r; puis en

ORNT prdle

La loi de formation se montre d’une manière évidente, et il n’y aurait aucune difficulté à la formuler d'une manière générale,

Remarques. — 1° I est clair que si l'un des indices #, #, l, fait partie de la série 1, 2... , tous les déterminants fonctionnels où cet indice figure S'évanouiront, comme ayant deux lignes égales, et l'équation (10) se simplifiera. Si les trois indices ?, #, { sont dans ce cas, tous les termes du second membre de l'équation (10) seront nuls, sauf le premier, et l'on aura simplement

none) LU en (lue CUP: dx?da! dx ? Ds Las ve pu da dsfda; E il D Leo cu cette circonstance se présente nécessairement lorsque # = n.

2e On voit encore que, si l'on eût traité l'équation (8) au lieu de l'équa-

tion (7), les calculs eussent été les mêmes, sauf que tous les déterminants Tour XXXVIHIL. 2

se seraient trouvés multipliés par U; c’est-à-dire que les équations (9) et (10) subsistent, comme l'équation (7), lorsqu'on multiplie tous les déterminants fonctionnels qu’elles renferment par un facteur U, fonction de NANTES.

Cette remarque conduit à une conséquence importante. Supposons qu'au lieu de différentier par rapport à +, æ,,... le déterminant D fes te fe + , on veuille faire la même opération sur le déterminant D Bee k Cette recherche n’offrira aucune difficulté, car, en vertu de la relation (1), on à

D (a) LE fol

Lys Los Li Xu Ty s Ange si

Il suflira donc, conformément à la remarque précédente, de remplacer dans les formules (7), (9), (10) tous les déterminants, par leurs produits par

le facteur U — F1 ?2 … he»

pour obtenir les dérivées cherchées, exprimées en fonction d’autres dérivées par ae aux variables +. Ainsi l'on trouvera

(12 AT D(heheefe) 0 d p p(fe ff RE 7 p[f- fes le — 0199 « ou P1 99 «+ € ï MAMEUTI: Te VOIE da? 1 du, | | Dordit js Lo see EU Ë Lis L9s ve Us Gi k dv+1 ere D pe dv+1-2 de RE ft eo | da? dat \æxs, Xe, tu dat dat! À des des | TT Le CAACI PET

L'NENE ff) d is fase fast) 8 po da fase ile (AS) EE livrer D (ere Di Hire D | da; Fais Faye Aus Ty day Pay Las + Ars Pi

fo las lus se 2

His Lo ee pus Ajs Uy

+ pipe 7

drrrtr pfff f Car | de D es \ dE ice

EE DE 3 —— E: x A Pi TkTLTAT2 CE dafdx{dxt \x,,%, -.Xu de dat da; {dajdayde, TL

; 2 PE : c

{ d P,q- Dlsfs:les si [ns 91 S— « p as fe fus ce ce}

(14) . —Y Pi TkPafe » 9, D si Li P1P9 + € D-——— da;dez Fe Aa, 29, ee Qu An 110 FE as Gps se Gps CO

| D (lee fessh tri | ORNE Fa tr EEE PTS US 2 ie ANR )

H19 29 ce Lis Lis Ago y

et ainsi de suite. Il est clair d’ailleurs que si, dans toutes ces équations, on multiplie tous les déterminants fonctionnels par un même facteur U fonction de w,, u,,... u,, elles ne cesseront pas de subsister.

Ces formules se simplifient lorsque l’une des variables x,, +,, x, est comprise dans la suite æ,, x, æ,; si elles y sont toutes comprises, comme cela a lieu siu—n, les seconds membres se réduisent à leurs premiers termes.

Par exemple, la troisième équation devient

Pin 6) Pr Ê Re PU “al |

, lOTÉTATITIT2 0? | dardxidar \xystes Lu dadadsr; À #

As Los du,

Si l’on suppose u=n—2, i=1, —2, dans l'équation (13), et si l'on rétablit partout le facteur U, lon à

on T2 a on (ES dxdxs Xi, XL dada Ps Lo |

ce qui revient au théorème donné par M. Darboux dans la note des Comptes

rendus que j'ai citée plus haut.

Il nous reste à faire voir que les formules précédentes renferment, d'une manière immédiate, la solution du problème de Laplace, problème qui consiste à exprimer les dérivées partielles successives d’une fonction F(u,, u,,.. u,) par rapport aux variables #;, &, æ,,..., en fonction d’autres dérivées partielles qui se rapportent exclusivement aux variables à; , 4, afin que l’on puisse, dans ces dérivées, faire +,, æ,, æ,,.. nuls avant les différentiations, ce qui constitue, comme on sait, le grand avantage du théorème de Lagrange. L'on admet d’ailleurs que les variables u,, w,, .. u, satisfassent aux x équations :

U, = 4, + LAUT > Ua. Un) »

el conséquemment, que l'équation (1) ait lieu.

Cela posé, faisons d'abord, dans les formules (12), (13), (14), 4 égal à l'unité, ce qui réduit le déterminant D ere = Je) à D (£ ie et le produit 192 ©, à ©. Remplacons ensuite, dans ces formules, p par p—1, la fonction quelconque /, par F, et faisons 4 — 1, k— 2, {= 3, en observant d’ailleurs que les déterminants fonctionnels où entre 2; vont devenir nuls par là. Les formules (42), (43), (14) donnent, par ces substitutions,

12 SUR UNE PROPRIÉTÉ, sre | dE de? a (# + deg de \" del.

et ainsi de suite. On voit que les formules auxquelles nous sommes arrivés,

non-seulement résolvent comme cas particulier le problème de Laplace, mais manifestent la loi régulière de formation des dérivées successives. Il ne serait pas difficile, d’ailleurs, de montrer Fidentité, quant au fond, des équations (15) avec celles de Laplace et de Jacobi.