C. R., 1898, ■<-' Semestre. (T. CXXVII, N
logiie. On a considéré depuis longtemps les intégrales doubles Ae première espèce allachées à une surface, et ces intégrales jouent un rôle important dans les célèbres travaux de M. Nœther. J'ai indiqué récemment {Comptes rendus, 6 décembre 1897 et 24 janvier 1898) ce que l'on pouv;ùt entendre par intégrale double de seconde espèce. Dans un premier Mémoire sur ce sujet, qui paraîtra prochainement, j'ai cherché à poser les bases d'une théorie des intégrales doubles de seconde espèce relatives aux surfaces algébriques. Je vais indiquer les principaux résultats de ce travail.
» 1. Définissons d'abord ce que nous entendons par intégrale double de seconde espèce. Prenons sur la surface un point arbitraire A, que l'on peut toujours par une transformation préalable supposer à distance finie. Si le point A. est un point simple, nous disons que l'intégrale (i) présente en A le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si l'on peut trouver deux fonctions rationnelles U et V de x, y aiz telles que, après avoir formé l'intégrale double
la différence des intégrales (i) et (2) reste finie au voisinage de A (on considère, bien entendu, z comme fonction de x et j, quand on prend les dérivées partielles de U et V). Si le point A est un point multiple de/, on sait que l'on peut partager le voisin;!ge de A en un certain nombre de régions telles que chacune d'elles corresponde birationnellement à une région R, située sur une surface F, et necomprenant que des points simples de F; l'intégrale (i) présentera en A le caractère d'une intégrale de seconde espèce, si ses transformées par chacune des substitutions birationnelles à employer présentent, en tous les points de la région correspondante R de la surface correspondante F, le caractère d'une intégrale de seconde espèce. Sien tout point A de la surface (à distance finie ou à l'infini) l'intégrale (i) présente le caractère d'une intégrale de seconde espèce, celte intégrale sera dite une intégrale double de seconde espèce. Il est clair que les fonctions rationnelles U et V pourront varier avec le point A.
» 2. On s'assure tout d'abord que la forme des expressions (2) est de nature invariante relativement aux transformations birationnelles. On montre ensuite qu'une intégrale double de seconde espèce, relative à une surface/", se change, quand on transforme birationnelleinent /en une surface F, en une intégrale de seconde espèce de la surface F ; ce fait ne résulte pas immédiatement de la propriété d'invariance des formes (2).
» 3. On peut donner des intégrales de seconde espèce une autre définition qui fait intervenir la considération des résilias de l'inlégrale double. J'avais pensé autrefois qu'il v avait quelques difficultés à se placer à ce point de vue; en fait il n'en est rien. Admettons que l'intégrale (i) devienne seulement infinie le long de certaines lignes (que l'on peut supposer simples) d'une surface à singularités ordinaires, et pour les points à l'infini. Pour chacune de ces lignes et pour la ligne à l'infini, l'intégrale aura un certain nombre de résidin, au sens de M. Poincaré, qui sont des périodes (polaires ou cycliques) d'intégrales abéliennes. Si tous ces résidus sont nuls, l'intégrale sera de seconde espèce, et réciproquement. Cette seconde définition présente d'ailleurs pour nous moins d'intérêt que la première; dans les calculs, c'est à celle-ci qu'il faut toujours revenir.
» 4. Partons d'une surface /située d'une manière arbitraire par rapport aux axes, et ayant des singularités ordinaires, c'est-à-dire une ligue double avec des points triples (on sait que l'on ne diminue ainsi en rien la généralité). Un premier théorème très important est le suivant : Toutes les intégrales doubles de seconde espèce relathes à la surface f peuvent se mettre sous la forme
\J et \ étant rationnelles en x, y et z, et V{x, y, z) étant un polynôme qui s'annule sur la courbe double.
n 5. Je montre ensuite que toutes les intégrales doubles de la forme
' P(x, y,z)dx dy
se ramènent, par la soustraction d'une intégrale (2), à un nombre limite d'entre elles. Si alors nous convenons de dire que des intégrales doubles de seconde espèce sont distinctes, quand aucune combinaison linéaire de ces intégrales n'est de la forme (2), nous avons le théorème fondamental : » // existe pour une surface algébrique un certain nombre p d'intégrales doubles distinctes de seconde espèce
h, T„ ... Ip.
telles que toute autre intégrale double de seconde espèce est de la/orme
[es a étant des constantes.
» Le nombre p est un nombre invariant.
)) 6. Reprenons une intégrale double relative à la surface /"de degré ni
'^{x, y, z) dx dy
ff
le polynôme P de degré /? s'annulant sur la courbe double. Il faut exprimer que cette intégrale est de seconde espèce. Posons
et soit F(X, Y, Z) = o la surface transformée. L'intégrale prend la forme
jjX/'-C"-') Fi ''^^''^'
et p est supérieur à f?i — 4 si l'intégrale initiale n'est pas de première espèce.
» Par la soustraction d'une intégrale du type (2), nous ramenons l'intéçrale à la forme
Fi » Notre intégrale sera de seconde espèce si la fonction algébrique
Fi(0,Y,Z) [F(0,l.Z)-oJ
est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z, ce que l'on sait toujours reconnaître. Le nombre des conditions sera, en général,
77 désignant le genre d'une section plane quelconque de la surface.
» 7. J'ai indiqué les points essentiels qui forment la base de la théorie ; dans un autre travail j'approfondirai quelques questions qui se posent d'elles-mêmes, et je montrerai, en particulier, la connexion intime qui existe entre la théorie des intégrales doubles de seconde espèce et l'étude des cycles linéaires sur une surface. J'indique seulement aujourd'hui quelques exemples très simples, pour ne pas rester uniquement dans les généralités.
» Quelles sont les intégrales de seconde espèce pour les intégrales doubles de fractions rationnelles? Il résulte du théorème fondamental
( 583 ) qu'elles sont toutes de la forme
ffp(.,y).l.dy^ff{'^ + 0)./.<,.
P étant un polynôme, U et V des fractions rationnelles de a; et j; comme la première de ces intégrales rentre dans la seconde, nous n'avons ici d'autre intégrale de seconde espèce que
(3) 1 I (-T-^ -{- ^jdxdy (U et V rationnelles en o^ et j).
» Le nombre o est égal à zé/o.
» Il est facile de montrer quels seront les calculs à effectuer pour faire la réduction. Bornons-nous à l'intégrale
où p et Q sont des polynômes, dont le second est supposé irréductible. Cette intégrale sera de seconde espèce si l'intégrale abélienne
(4) fM&)''' [Q(lr,) = o)]
est une fonction rationnelle de c, et r,. Supposons cette condition vérifiée; l'intégrale (4) peut alors se mettre sous la forme
M(E, -fi) et R(^ç) étant des polynômes. Formons l'intégrale
^^ J J \ày 0^lq(.r,y)R{x)\ dx ôj lQ(a:, y)R{a:) \\''-^ ''y-
Elle est de la forme (3); on voit que la différence des intégrales (I)et(5) peut s'écrire
S et V étant des polvnomes, et la réduction à la forme (3) de cette intégrale de seconde espèce est immédiate.
» 8. Prenons, comme second exemple, une surface / qui correspond
( 584 ) birationnellement à l'ensemble de deux courbes
cp(a, P) = 0, ^(y:,^')=0,
c'est-à-dire une surface pour laquelle les coordonnées d'un point arbitraire .r, y, z sont des fonctions rationnelles de a, p, a' et [î', avec inversion univoque. Les courbes <p et ;]; étant supposées de genre supérieur à zéro, considérons les deux intégrales de seconde espèce
rR(a, !î)r/a et f S(ol' , <^') dx' ,
relatives respectivement aux courbes (p et ^. L'intégrale double
f f^{v., P)S(a', fJ)dxd7.'
est manifestement de la forme
/ / T(.r, r, z)dxdY, (T rationnelle en x, y, z);
c'est une intégrale double de seconde espèce de la surface/. »
CHIMIE MINÉRALE. — Propriétés du calcium. Note de M. Henri Moissaîi.
« Le calcium pur et cristallisé, préparé par le procédé que nous avons indiqué précédemment ('), nous a donné les réactions suivantes :
» Point de fusion. — Les cristaux de calcium ont été agglomérés sous forme de cylindre par compression violente dans un moule métallique. Ce petit cylindre de calcium a été placé dans une nacelle de chaux vive, disposée à l'intérieur d'un tube de porcelaine de Berlin. Ce dernier était chauffé au moyeu d'un chalumeau à gaz. L'extrémité du fd métallique de la pince thermo-électrique Le Chatelier venait butter contre le cylindre de métal. T-es deux ouvertures du tube de porcelaine étaient fermées par des manchons de verre portant des lamelles transparentes qui permettaient de voir le cylindre de calcium dans la nacelle en chaux vive. Enfin, sur le côté d'un de ces manchons, un tube latéral servait à faire le vide au moyen d'une
(') Comptes rendus, t. CXXVI, ]i. 1753.
pompe à mercure. Après avoir enlevé tout l'air de l'appareil, on chauffe avec précaution. Il se <légage au début une petite quantité de gaz que l'on retire au fur et à mesure de sa production; mais, aussitôt que le métal est porté au-dessus du rouge sombre, les dernières traces de gaz sont absorbées et le vide se maintient à i™™. A la température de 760°, il se produit une fusion brusque du métal qui coule dans la nacelle en un liquide brillant.
» Après refi-oidissement le métal fondu peut se couper au couteau. Il est cependant moins malléable que le sodium ou le potassium. Il se brise par le choc et sa cassure est cristalline. Sa surface, lorsqu'il est totalement exempt d'azote, est brillante, d'une couleur blanche bien nette, se rapprochant de celle de l'argent. Nous rappellerons que le calcium obtenu par Matthiessen (') possédait une couleur jaune de bronze et que, broyé au mortier d'agate, il fournissait des stries dorées.
» Densité. — La densité du métal cristallisé, retiré du sodium, a été trouvée de i,85 par la méthode du flacon, au moven de l'essence de térébenthine. La vérification de cette expérience a été faite avec des liquides de densité différente. Le calcium fondu tombait dans l'iodure de propyle, de densité 1,78, et il surnageait dans l'iodure d'allyle, de densité 1,87. La densité du calcium peut donc être regardée comme étant égale à i,85.
» Dureté, — Le calcium fondu raye le plomb et ne rave pas le carbonate de chaux.
» Forme cristalline. — Le calcium cristallise en tablettes hexagonales ou en rhomboèdres dérivés. On y rencontre des dendrites avec bourgeonnements hexagonaux réguliers dont les extrémités parfois ont été fondues et sont terminées en massue. Les cristaux hexagonaux sont souvent empilés. Le calcium se présente aussi sous forme d'étoiles hexagonales rappelant les cristaux de glace, mais moins déliées. Les cristaux trapus ayant la forme de rhomboèdres d'une grande régularité sont nombreux.
» Propriétés chimiques. — L'hydre gène fournit avec le calcium au rouge un hydrure cristallisé de formule CalP que nous avons décrit dans une Note précédente (-).
» Le calcium n'est pas attaqué par le chlore à froid; mais, vers 400", la réaction se produit avec incandescence et formation de chlorure de calcium fondu. Il n'est pas attaqué par le brome liquide, mais il brûle dans
(') Matthiessen, Annalen der Chemie mut Pharmacie, t. XCIII, p. 277; i855. (-) Comptes rendus, l. CXXVII, p. 29.
la vapeur de ce métalloïde ati-dessiis du rouge sombre. L'iode n'exerce pas sur le calcium une action bien énergique à son point d'ébuUition; mais, un peu au-dessus de cette température, le calcium brûle avec éclat dans la vapeur d'iode. Nous rappellerons que le calcium de Matthiessen réagissait sur le chlore à froid, ce qui tenait à la présence de l'azoture, ce composé étant, en effet, attaqué par le chlore à la température ordinaire.
» Cliauffé dans l'oxygène à la température de 3oo°, le calcium brûle avec une lumière éclatante. Le dégagement de chaleur est assez grand pour fondre et volatiliser en partie la chaux qui se produit, phénomène qui a été surtout produit jusqu'ici au moyen de l'arc électrique. Dans le voisinage de la nacelle, on trouve des sphères transparentes de chaux fondue. Il ne s'est pas formé de bioxyde de calcium. Cette combustion fournit une très belle expérience de cours.
/) Légèrement chauffé dans l'air, le calcium brûle avec facilité en produisant des étincelles brillantes et très lumineuses. Dans un courant d'air au rouge sombre, ce métal laisse une masse spongieuse, en partie fondue, qui se décompose par l'eau en donnant de l'ammoniaque et de la chaux éteinte. Le calcium fixe donc en brûlant les deux éléments de l'air, azote et oxygène. Il ne paraît pas se former de peroxyde, car le résidu refroidi, traité par l'acide sulfurique, n'a pas fourni d'ozone ou d'eau oxygénée.
» Le soufre ne réagit pas à sa température de fusion, mais la combinaison se produit avec incandescence au-dessous de 4oo°. Le sulfure formé est blanc et se décompose par l'acide chlorhydriquc étendu en fournissant de l'hydrogène sulfuré sans dépôt de soufre. Le sélénium et le tellure réagissent de même vers le rouge sombre en fournissant des composés dont nous poursuivons l'étude.
» Le calcium brûle avec une vive incandescence dans la vapeur de phosphore. Le produit de la réaction décompose l'eau avec formation d'hydrogène phosphore spontanément inflammable. Avec l'arsenic, la réaction se produit au moment où ce métalloïde commence à se sublimer. La chaleur dégagée est notable, et il reste dans le tube une matière fondue, de couleur foncée, qui décompose l'eau froide avec formation d'hydrogène arsénié et d'une poudre noire, insoluble. L'antimoine, de même, donne, avec le calcium, un composé qui entre en fusion grâce à la chaleur produite par la réaction. Cet antimoniure de calcium est décomposable par l'eau et l'acide chlorhydriquc étendu, mais il ne fournit pas d'hydrogène autimonié. Comme précédemment, il se produit une poudre noire, inso-
( 587 ) lubie, assez abondante. Le bismiilh se combine au rouge sombre au calcium, avec incandescence. L'alliage obtenu décompose l'eau froide en dégageant de l'hydrogène et en fournissant aussi un précipité noir.
» Le calcium cristallisé se combine au noir de fumée au-dessous du rouge sombre, avec un grand dégagement de chaleur. Il se forme du carbure de calcium CaC'. En variant la proportion de métal nous n'avons pas obtenu jusqu'ici d'autres composés du carbone. La même expérience peut être répétée avec du graphite.
» Lorsque l'on porte au rouge un mélange de calcium et de silicium cristallisé, il se produit une combinaison avec dégagement de chaleur. Le siliciure formé ne s'attaque pas sensiblement par l'eau, tandis qu'il est détruit par l'acide chlorhydrique, lentement à froid, plus rapidement à chaud. Dans cette réaction il se dégage un mélange d'hydrogène et d'hydrogène silicié, avec production très abondante de silicon.
» Le calcium, ainsi que nous l'avons établi précédemment, est soluble dans le sodium, dans lequel il se dépose cristallisé par refroidissement. Il n'est pas notablement soluble dans le potassium. Avec le magnésium, il fournit un alliage cassant, décomposant l'eau froide. Avec le zinc ou le nickel on obtient de même des alliages très cassants. L'étain chauffé légèrement au-dessus de son point de fusion se combine au calcium avec chaleur et lumière. Il nous a fourni un alliage blanc et cristallin, de densité 6,70, renfermant 3,82 de calcium et décomposant très lentement l'eau froide.
» Lorsque l'on triture, dans une atmosphère d'acide carbonique, un mélange de calcium cristallisé et de mercure, la combinaison se produit à la température ordinaire, avec dégagement de chaleur. Si la quantité de calcium est suffisante, on obtient un amalgame cristallin. Distillé dans une atmosphère d'hydrogène vers 4oo°, cet amalgame ne fournit pasd'hydrure. Au contraire, chauffe dans l'azote à la même température, il s'unit à ce corps simple et donne une poudre de couleur foncée qui décompose l'eau en produisant de l'ammoniaque et de la chaux hvdratée, comme l'azoture de calcium que nous avons décrit dans une Note précédente ('). A la température du laboratoire, en présence de l'air, l'amalgame de calcium noircit instantanément, fixe l'oxygène et une certaine quantité d'azote.
» Au rouge, le calcium réduit les fluorures et les chlorures de potas-
(') H. MoissAN, Préparation et propriétés de l'azoture de calcium {Comptes rendus, t. GXXVII, p. 497).
