SÉANCE DU LUNDI 7 NOVEMBRE 1898, PRÉSIDENCE DE M. WÛLF

MEMOIRES ET COMMUNICATIONS

DES :\rEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE LACADÉMIE.

CHIMIE MINÉRALE. — Préparation du Ulhium-ammoniurii, du calciumammonium et des amidures de lithium et de calcium. Note de M. Hexri

MoiSSAX.

(I Lorsque l'on fait arriver de l'ammoniac liquéfié dans un tube refroidi à — 5o" au contact de calcium ou de lithium, on voit se produire une solution d'un bleu intense à reflets mordorés. Cette expérience est donc comparable à l'action de l'ammoniac liquide sur le potassium et le sodium. On sait qu'il se produit, dans ces conditions, des ammoniums métalliques de formule AzH'R et AzH^Na (Joannis) qui, à la température et à la pression ordinaires, se dédoublent, en laissant dégager le gaz ammoniac et en régénérant le métal alcalin en beaux cristaux brillants (Seely).

G. R., 1898, 1' Semestre. (T. CXXVII, iV 19.) 9"

» Celte réaction, indiquée par Weyl (') puis reprise avec détails par l'Américain Seelv ('), étudiée ensuite au point de vue qualitatif par Gore('), a fourni récemment à M. Joannis (' ) le sujet de belles recherches dans lesquelles il a établi la formule de ces ammoniums et les réactions très curieuses qu'ils fournissent avec l'oxygène, l'oxyde de carbone, le protoxyde et le bioyde d'azote, les métaux et quelques chlorures.

» Actuellement les chimistes ne sont pas d'accord sur la constitution de ces métaux-ammonium. Quelques-uns, et en particulier J\I. Joannis, les considèrent comme de véritables combinaisons. D'autres, tels que M. Seely, les regardent comme des solutions de métaux alcalins dans l'ammoniac liquéfié. L'important travail de M. Cady (°), qui vient d'établir qu'une solution ammoniacale de sodammonium ne s'électrolyse pas sous l'action du courant et se présente comme un conducteur métallique dont la conductibilité croît avec la quantité de métal alcalin en solution, semble venir à l'appui de cette dernière hvpothèse.

» Nous devons ajouter que la limite, qui sépare la dissolution de certaines combinaisons dites moléculaires, est tellement indécise, qu'il est toujours possible de discuter longuement sur un semblable sujet. Nous estimons, pour notre part, qu'il est préférable d'apporter de nouveaux faits à cette étude controversée.

» L'étude méthodique des propriétés du calcium nous a coniluit, à propos de nos expériences sur l'azoture de calcium, à rechercher quelles étaient les réactions fournies par le calcium en présence de l'ammoniac gazeux et liquéfié.

» Dès nos premiers essais sur l'action de l'ammoniac liquide sur le calcium, nous nous sommes trouvé en présence d'une réaction signalée par M. Joannis à propos du sodammonium ("), à savoir : que le métal-ammo-

(') Weyl, Annal, l'hysik. iind Cliein., t. CXXI, p. 6oi ; i864, et t. CXXIII, p. ojo; i86^.

(-) Seely, Chemical ne^vs, t. XXIII, p. 1G9.

(') GoRE, Proceedings lioy. Soc, t. XX, p. 441; 1872; l. XXI, p. 140; 1878, ei Pldlosophical Mag., l. XLIV, p. 3i5; 1872.

(') Joannis, Comptes rendus, t. CIX, p. 900,960; t. CX, p. 288; t. CXII, p. 337, 392; t. CXIII, p. 795; t. CXIV, p. 585; t. CXVI, p. 1370, i5i8; l. CXVII, p. 718,

('') Cady, Pliys. Chem., t. I, j). 707; 1897.

(") Joannis, .?«/■ l'amidure de sodium et sur un chlorure de disodainmonium (Comptes rendus, t. CXII, p. 891; 1891).

( 687 ) nium se décompose lentement à la lempérature ordinaire en produisant un amidure et de l'hydrogène r-AzH'Na — AzIPNa -f- H.

M Voulant de plus, dès le début de ces expériences, nous rendre compte de la température limite à laquelle les ammoniums alcalins peuvent se former, nous avons opéré, dans la même expérience, sur les quatre métaux suivants : potassium, sodium, lithium et calcium. En généralisant cette expérience, nous comptions rendre les résultats plus probants.

» Chaque métal, dont la surface était bien brillante, était disposé dans un tube de verre en U dont une branche était effilée et dont l'autre branche recourbée était mise en communication avec un appareil producteur de gaz ammoniac. Ce dernier était séché sur de la potasse fondue, puis sur (le la tournure de sodium.

» Au moyen de quatre tubes de verre soudés sur le tube abducteur, le même courant de gaz ammoniac traversait en même temps les quatre tubes en U qui pouvaient être maintenus à une température fixe dans un bainmarie. Un robinet de verre permettait d'augmenter ou de diminuer la vitesse du courant. Le bain-marie était formé par un verre de Bohême rempli d'eau qui nous donnait facilement une température constante comprise entre ioo° et o". Pour les températures inférieures, on remplaçait l'eau par de l'acétone, dont on pouvait diminuer progressivement la température en y ajoutant des fragments d'acide carbonique solide. On descendait ainsi de o" à — 73", point de solidification du gaz ammoniac.

» Dans cette recherche, nous opérions donc à la pression atmosphérique, et nous ne faisions varier que la lempérature.

» Nous avons obtenu les résultats suivants :

Le lilliiiim s'allaque à +70 liquéfaction

Le calcium s'attaque à -t-20 sans liquéfaction

Le potassium s'attaque à — 2 liquéfaction

Le sodium s'attaque à — 20 liquéfaction

I) Cette expérience établit d'abord que les quatre métaux se combinent au gaz ammoniac. Il va de soi cjue les températures obtenues seront les limites supérieures d'attaque de ces métaux. Ces chiffres représentent aussi les températures de décomposition des métaux-ammonium à la pression ordinaire dans un courant de gaz ammoniac. Nous avons, en effet, réalisé l'expérience inverse qui consiste à préparer le métal-ammonium par l'ammoniac liquide, puisa élever lentement sa température. On reconnaît qu'à — 20" le sodammonium se détruit en donnant l'ammoniac et le

niélal; la même décomposilion se passe à — 2° pour le potassammonium, et nous reconnaissons de suite que le calcium-ammonium et le lilhiumammonium seront des composés stables à la température et à la pression ordinaires. Ces deux métaux-ammonium seront donc beaucoup plus maniables que le potassammonium et le sodammonium.

» D'un autre côté, nous nous sommes assuré que, à cette même pression atmosphérique, l'ammoniac solide à — 80" n'attaquait pas nos quatre métaux, mais qu'aussitôt que la liquéfaction se produisait le métal-ammonium prenait naissance et qu'en raison de la chaleur dégagée par la réaction l'attaque s'accélérait.

» Nous ajouterons encore que, dans une expérience rapide, on peut produire avec facilité le métal-ammonium à la pression ordinaire et régénérer le métal libre crislallisé, sans qu'il se produise d'amidure si l'on ne dépasse pas les températures limites que nous avons indiquées.

» Lithium-ammonium ('). — Le lithium em|)loyé dans ces recherches a été préparé par l'élégante méthode de M. Gùntz. Les premières expériences, entreprises sur ce nouveau composé, ont été faites avec un échantillon de lithium que M. Gùntz avait eu l'obligeance de mettre à notre disposition. Nous tenons à lui en adresser tous nos remercîments.

» Le lithium, bien brillant, est placé dans un tube en U maintenu à la température du laboratoire. Cet appareil est traversé par un courant de gaz ammoniac sec. Dès que le courant gazeux pénètie dans le tube, le lithium prend une teinte mordorée et il ne larde pas à se liquéfier avec un dégagement de chaleur sensible. Il se produit un liquide à reflets mordorés qui grimpe avec facilité dans le tube et qui continue à fixer de l'ammoniaque. Quand l'absorption a cessé, on arrête le courant d'ammoniac et l'on porte le tube en U à la température de -;- 70°. Cette dernière partie de la préparation doit être faite très rapidement, afin d'éviter la transformation du lithium-ammonium en amidure (-). Dans ces conditions, l'excès d'ammoniac se dégage et il reste un corps solide, de couleur mordorée, prenant feu au contact de l'air.

» Si l'on place le lithium dans l'ammoniac liquide et qu'on laisse le tube revenir lentement à la température ordinaire, le liquide bleu foncé qui

(') Seely a démonU'é que le lithium donnait avec l'ammoniac liquéfié une solution bleue, mais qu'il était moins soluble dans ce liquide que le sodium ou le potassium.

(2) Un échantillon de lithium-ammonium maintenu trois heures entre -1-65° et -(-70° était complètement translbrmé en amidure.

( (^«9 ) s'est produit tout d'abord s'épaissit de plus en plus et pread une belle teinte mordorée. A[)rès vingt-quatre heures sous la pression atmosphérique, le contenu du tube présente une composition sensiblement constante. IVous avons trouvé les teneurs suivantes : AzH^ pour loo, 89,0'! ; 87,00; 88,72 et 88,37. ^^^ chiffres correspondent à la formule (AzH^)'Li qui exigerait AzH' : 87,93. Ce corps peut être considéré comme une solution saturée de gaz ammoniac ou comme ie composé AzH^Li, 2 AzH' retenant un léger excès d'ammoniac en raison de sa viscosité.

» Du reste, si l'on fait agir le gaz ammoniac sur le lithium à la température ordinaire, on obtient toujours un produit visqueux dont la composition jusqu'à +70° donne une teneur en ammoniac supérieure à celle qu'exigerait la formule AzH^Li.

» Pour établir la composition du lithium-ammonium solide, nous avons poursuivi deux séries d'expériences. Dans la première, nous avons f;ut la synthèse du lithium-ammonium. Nous sommes parti d'un poids déterminé de lithium et nous avons pesé lammoniac fixé sur le métal. C'est ainsi qu'ont été faites les expériences 1 et 2. Au contraire, les analyses 3 et 4 ont été obtenues en préparant le iilhium-ammonium ainsi que nous lavons indiqué précédemment, et en dosant l'ammoniac par la mélhode de Schlœsing.

Lithium 28,07 28,40 28,72

Ammoniac 7i'93 71.60 71,28

)< Ces analyses nous ont fourni en ammoniac et en lithium des nombres très voisins de ceux exigés par la formule AzH'Li. Nous les avons vérifiés en employant la méthode de M. Joannis, pour l'analvse des métauxammonium, avec cette différence que nous opérions à une pression toujours inférieure à la pression atmosphérique, la tension de dissociation du lithium-ammonium et la tension de sa solution saturée étant inférieures à cette pression, à la température ordinaire. Nous avons préparé un tube de lithium-ammonium en solution dans l'ammoniac, en partant d'un poids connu de métal. Nous avons enlevé l'excès d'ammoniac à -1- 17'' au moyen d'une pompe à mercure, jusqu'à apparition à la partie supérieure d'un anneau de métal libre. Le tube a été fermé puis pesé. Dans ces conditions, ce petit appareil renfermait encore un léger excès de gaz ammoniac et l'anneau a repris rapidement une teinte mordorée. On a fait à nouveau le vide jusqu'à réapparition de l'anneau métallique, puis on a encore pesé.

Théorie poui-

AzH'Li.

En répétant une troisième fois celte expérience l'anneau de lithium est resté permanent. Nous avons obtenu ainsi les chiffres suivants :

Az H-* pour iof>.

Anneau non persistant 74! 'O

» persistant 69. 19.

Celte expérience coirespondijien à la formule AzH'Li.

1) Le lithium-ammonium se décompose au contact de l'eau en donnant de l'ammoniac, de la lithine et de l'hydrogène.

AzH'Li -+-H=0 = AzH^ -hLiOH + H.

» Il est beaucoup moins soluble dans l'ainmoniac liquide que le sodammonium.

» La solution ammoniacale de ce métal-ammonium fournit des réactions importantes avec les dissolutions ammoniacales d'un certain nombre de corps simples tels que le soufre ('), le phosphore et l'iode. Nous en poursuivons l'étude.

» Le lithium-ammonium, en solution ammoniacale, avec ou sans pression, se transforme lentement à la température ordinaire et beaucoup plus rapidement de +65° à -i- 80° en amidure de lithium. On obtient, dans celte décomposition, des cristaux brillants, transparents d'amidure, très peu solubles dans l'ammoniac liquéfié, décomposables par l'eau et donnant à l'analyse les chiffres suivants : lithium 29,67 ; 3o,62 et ammoniac 68,90; 69,30. La théorie indique : Li 3o,43 et AzH' 69,06 pour AzH-Li.

» Lorsque l'on soumet à l'action du vide le lithium-ammonium solide et cristallisé à une température comprise entre -+- 5o° et -f- 60° l'ammoniac se dégage et il reste du lithium cristallisé. Au contraire, si l'on fait le vide lentement, sur un échantillon de lithium-ammonium à la température ordinaire, il se décompose, et, dans ce cas, il reste un mélange de métal et d'amidure de lithium.

» Calcium-ammonium. — I^e calcium cristallisé est disposé dans un tube en U comme précédemment et maintenu à une température de t- iS". On

( ') A propos du soufre, nous ferons remarquer que ce métalloïde fournit avec l'ammoniac liquide une solution de sulfammonium dicliroïque, rouge foncé, que nous décrirons dans une prochaine Communication.

( 691 ) fait arriver sur le métal un courant de gaz sec à la température ordinaire, et l'on voit aussitôt chaque cristal de calcium prendre une teinte d'un beau jaune mordoré et augmenter de volume. Au moment où le gaz ammoniac arrive au contact du calcium, la température s'élève, et il est bon de modérer la vitesse du courant gazeux. A une temj)érature comprise entre -t- i 5" et + 20", il ne se produit qu'une combinaison solide et l'on n'observe pas la liquéfaction en présence du gaz ammoniac, que fournissent les métaux alcalins (').

>' Le calcium-ammonium prend feu, lui aussi, au contact de l'air. Cette réaction peut même fournir une très belle expérience de cours. On place dans un tube eu U des cristaux de calcium et l'on fait arriver dans l'appareil, à la température ordinaire, un courant de gaz ammoniac. Au début de l'expérience, le courant doit être assez lent. La transformation du métal en calcium-ammonium se produit avec facilité. On augmente alors brusquement la vitesse du couraut qui entraliie dans l'air les parcelles de calciumammonium qui prennent feu et brûlent avec un vif éclat.

» i.e calcium-ammonium mis en présence d'ammoniac liquide ne tarde pas à donner une masse pâteuse en fixant de l'ammoniac. Ce composé est d'ailleurs très peu soluble dans l'ammoniac liquéfié. Le liquide surnageant est coloré en bleu pâle et ne renferme que des traces de calcium.

» Le calcium-ammonium, de couleur plus bronzée que le lithium-ammonium, se décompose peu à peu à la température ordinaire, soit seul, soit en présence d'un excès d'ammoniac liquéfié. Il fournit des cristaux transparents d'amidure en même temps qu'il se dégage de l'hydrogène et de l'ammoniac. Ces cristaux (-) répondent à la formule (AzH-)-Ca.

» Ce calcium-ammonium est un corps à réactions très énergiques, dont nous poursuivons l'étude.

» Composition du calciurn-ainmonium. — Les méthodes analytiques employées sont semblables à celles que nous avons indiquées à propos du lithium-ammonium. Les déterminations 1, 2 et 3 ont été faites par synthèse, en pesant d'une part le calcium et d'autre part le gaz ammoniac fixé. L'analyse n° 4 a été exécutée en prenant un poids donné de calcium-

(') Dans eeUe préparation, si Ton opère à uue lempérulure plus basse (vers o" par exemple) le calcium-ammonium solide fixe du gaz ammoniac et devient pâteux.

(-) Ca = 56,3i et 55,96, Az = 37,-8 et 38, i4; Théorie : Ca = 55,o5; Az = 38,88 et H =5,53.

ammonium et en dosant le métal et l'ammoniac :

Théorie pour 1. i. 3. 4. (AzH')»Ca.

Calcium 3-,04 07,60 37,41 62,96 37,44

Ammoniac 62,96 62,40 62,59 62,56 37,08

Il Pour bien démontrer que la formule du corps solide renferme plus de deux molécules d'ammoniac nous choisirons parmi les mesures nombreuses exécutées sur ce sujet l'expérience suivante : Un poids de calcium de oS"", 186 a été placé dans un tube en U taré, traversé par un courant de çaz ammoniac à + i5" Les cristaux ont pris un ton mordoré, particulièrement du côté de l'arrivée du gaz. L'expérience a été arrêtée avant que la transformation du calcium fût complète et quand il existait encore nettement des cristaux de métal non altérés. Le produit était solide et il avait fixé o^"^, 265 d'ammoniac, ce qui correspond à une teneur de 08,73 pour 100. (AzH')-Ca exigerait 45,94 pour 100.

» Les chiffres que nous avons obtenus dans les analyses précédentes correspondent donc à la formule brute (AzH')''Ca.

>i On peut dans ce cas considérer le calcium comme tétratomique ou bien donner au calcium-ammonium la formule (AzH')^ Ca 4- 2AzH' dans laquelle ce métal conserve sa dialomicité.

Il Cette dernière hypothèse nous semble moins admissible, étant données les expériences que nous avons poursuivies en faisant varier la pression et la température et qui ne nous ont jamais fourni de composé intermédiaire à 2 molécules d'ammoniac.

» Conclusions . — Le potassium, le sodium, le lithium et le calcium se combinent au gaz ammoniac, et les ammoniums formés se dédoublent à la pression ordinaire aux températures de 4-70° pour le lithium, + 20° pour le calcium, — 2° pour le potassium et — 20" pour le sodium. Les ammoniums du lithium et du calcium prennent feu au contact de l'air, à la température ordinaire, et répondent aux formules AzH^Li et (AzH')'Ca.

» Ces deux composés ne sont pas dissociables à la température et à la pression ordinaires dans le gaz ammoniac ; ce sont des combinaisons stables qui se prêtent plus facilement que les ammoniums alcalins à des réactions d'atldition et de substitution. »

Observations de M. H. Moissan à la suite de la Communication précédente.

« J'ai reçu ce matin, lundi 7 novembre, une lettre de M. Giintz, professeur à l'Université de Nancy, dans laquelle il est question des métaux ammoniums. Au reçu de cette lettre ma Note était rédigée et prête à être publiée. Je tiens, en présentant mes recherches à l'Académie, à indiquer les points qui peuvent être communs dans l'étude de M. Gùntz et dans ma publication, et je demande à M. le Président de bien vouloir faire insérer aux Com.ples rendus les passages suivants de sa lettre, dans lesquels il traite du lithium et du calcium-ammonium :

» En lisant aux Comptes rendus votre dernière Note si intéressante sur les propriétés du calcium, j'ai vu que vous comptiez bientôt vous occuper de Ca(AzH')*: je voudrais vous faire part de mes travaux sur ce point. En poursuivant quelques recherches sur le lithium-ammonium LiAzH' que je compte publier bientôt, j'ai préparé également son analogue, le calcium-ammonium, en épuisant par AzH^ liquide le calcium que Ton obtient par la réduction de CaO par IMg. J'ai obtenu ainsi un liquide mordoré ressemblant aux autres ammoniums et laissant par évaporation un enduit métallique de calcium. Lorsque vous avez publié votre première Note sur le calcium j'ai immédiatement envoyé à M. Berlhelot, pour prendre date, un pli cacheté à l'Institut, contenant l'énoncé de ce fait ainsi que quelques recherches commencées sur le barvum. »

CHIMIE GÉNÉRALE. — Note préliminaire sur la présence de l' hydrogène libre dans l'air atmosphcrif/ue; par -M. Armaxd Gautier.

K On sait que depuis longtemps Boussingault a signalé dans l'air une très petite proportion de gaz combustibles carbonés. Au cours d'une longue suite de recherches que je viens de faire à ce sujet, j'ai été frappé de la variabilité de ces gaz, et je suis arrivé à penser qu'ils proviennent surtout des fermentations ou exhalaisons du sol et des combustions de nos foyers. Dans cette hvpothèse, s'ils sont, le plus souvent, relativement abondants dans les villes, ils doivent diminuer beaucoup à la campagne et disparaître en grande partie dans les lieux rocheux ou à la mer. C'est ce que j'ai observé, en effet : l'air des hautes montagnes, et surtout de la pleine mer, ne contient qu'une trace de composés carbonés combustibles. Ils sont en

G. R., 1898, 2' Semeslie. (T. CXXVII, N- 19.) 9^

( 694 ) quantité si faible à la mer, que loo litres de l'air du large préalablement privé d'acide carbonique, lorsqu'ils passent ensuite sur une colonne de 2.5'"' d'oxyde de cuivre chaufle au rouge, ne donnent pas au delà de o^^cooi d'acide carbonique résultant de la combustion des gaz carbonés.

)> Mais en revanche, j'ai constaté que l'air de ces régions, et d'une manière plus générale l'air pur, contient toujours une petite proportion d'hydrogène libre, proportion assez constante, qui est de ii à i8 cent, cubes par loo litres d'air calculé sec à o° et 760"""; soit, à peu près, i,5 dixmillième en volume. L'hydrogène libre fait donc partie des éléments de l'atmosphère; son volume est à peu près égal à la moitié de celui de l'acide carbonique de l'air correspondant.

» Dès que mes calculs seront terminés, je m'empresserai de faire part à l'Académie des résultats complets de ces expériences. »

ARITHMÉTIQUE. — Rapprochements entre les procédés de Lagrange et de Gatiss pour la résolution en nombres entiers des équations indéterminées du second degré. Note de M. de Jonquières.

« I. Si l'on compare attentivement les méthodes, en apparence dissemblables, de Lagrange et de Gauss pour résoudre le problème dont il s'agit, on acquiert la conviction : que les procédés dont ces grands géomètres font usage diffèrent entre eux beaucoup moins qu'il ne semble; que les mêmes quantités auxiliaires entrent dans leurs formules; que le fond et l'enchaînement des idées y sont, à peu d'exceptions près, les mêmes; qu'enfin, c'est surtout par les appellations et les notations qu'ils se distinguent l'un de l'autre.

» Pour s'en assurer, il suffit de prendre comme exemple numérique (')

(') Au lieu d'un exemple numérique, on pourrait aussi aisément raisonner sur les formules algébriques qui se présentent, au début de cette théorie, dans l'exposé qu'en fait Legendre aux Chapitres V et IX de la première partie de sa Théorie des nombres,

\'T) -H l v^D -+- 1' . . , . , savoir .r„= 1 .r„^,= ; ; qui expriment deux quotients complets consécutifs, avec u =: , A'=r , en y écrivant D au lieu de A, el A, A' au lieu de

D et D' afin de réserver à la lettre D la signification que Gauss lui attribue.

Il suffit, en effet, de comparer les significations que Lagrange attribue aux lettres

( 695 ) le déterminant positif D = 79, choisi par Gauss comme application de sa méthode dans le n° 187 des Disquisiliones et les suivants, et, en particulier, la période des six formes réduites contiguës de la troisième classe, qui en dérive (avec d'autres), savoir

en y joignant le Tableau des coefficients transformateurs, écrit à la fin du n° 188, et en prenant (3, 8, — 5) pour réduite initiale.

» Alors, si l'on procède du même point de départ, et qu'on cherche par la méthode des fractions continues de Lagrange la valeur, de plus en plus

approchée, de la quantité AI = -^ — (d'où se déduira celle de v^'-q), on

obtient le Tableau ci-après, d'où les intercalaires non indispensables ont été exclus pour plus de simplicité.

la série de ces six quotients complets fractionnaires, et celle des quotients incomplets entiers 3, a, i, i, i, 5, se reproduisant, ainsi que les restes, indéfiniment dans le même ordre.

» II. En comparant les deux suites (E), (F), on remarque que chaque quotient complet de (F) contient, au numérateur, un terme entier positif qui est précisément le terme moyen b de la réduite correspondante du Tableau (E), et, au dénominateur, le nombre qui, abstraction faite du signe, est le troisième terme c de cette réduite. Comme le premier terme a

de celle-ci est égal à , il s'ensuit que toutes les réduites du Tableau (E)

■^1 Ij '^'i I', 1^ a^'ec celles qui, dans le livre de Gauss, appartiennent respectivement à c, b. c' , b'. h pour constater qu'elles sont identiques.

Toutefois, il m'a paru que les faits sur lesquels je désire attirer l'attention seraient peut-être moins frappants qu'en opérant sur des nombres, sans être mieux prouvés.

peuvent être écrites à la seule inspection du Tableau (F), même en y donnant aux termes extrêmes les signes qui leur conviennent, puisqu'on sait que a et c ont toujours des signes contraires, et que a,^, = c^ en valeur numérique et en signe.

» On remarque, en outre, en consultant le Tableau final du n° 188 des Disq., que les quotients désignés chez Gauss par la lettre h, et tels qu'on

ait /<= -t^-î -, qui sont les éléments fondamentaux des suites récur-

rentes a, |3, y, S de ce Tableau (bien qu'ils n'y soient point écrits), ne sont autre chose que les quotients entiers partiels de Lagrange, d'où il s'ensuit, comme le P. Pépin avait bien voulu me le signaler, que les réduites de Gauss ne diffèrent pas des transformées de Lagrange. Je reviendrai tout à l'heure sur ce point avec plus de détails, mais je veux auparavant faire voir que le rapprochement des deux procédés est encore plus intime que ne l'indiquent les remarques précédentes.

» En effet, si l'on forme, avec Lagrange, le Tableau des fractions convergentes vers M, savoir :

Quotients entiers incomplets. 3; 2, i, i, i, 5, 3; 2, i, i, i, 5, 3;

Fractions convergentes vers I J^. 3 7 ^^ ^7 27 j£2 483 1118 1601 2719 4320 24319 i(i/3r,8). j o' i' 2' 3 ' 5 8 45 ' 143 33i ' 474 ' 8o5 ' 1279' 7200 '

on constate que les numérateurs de ces fractions ne sont, dans le même ordre, que les coefficients B du Tableau de Gauss, tandis que les dénominateurs sont les coefficients p du Tableau ; ou bien, si on y lit une ligne plus bas, les coefficients y et «. de ce même Tableau, respectivement. Cette identité n'a rien qui doive surprendre : elle résulte, en effet, de ce que les deux termes initiaux des suites récurrentes, formées, d'une part, par les numérateurs et les dénominateurs de ces fractions convergentes, et, d'autre part, par les coefficients S, p (ou y, a), sont les mêmes, respectivement, tandis que l'échelle de relation, à degrés variables, est aussi la même pour les unes et pour les autres, puisqu'elle n'est autre chez Gauss que la série des quantités h, identique à celle des quotients p. de Lagrange.

» En résumé, on peut lire les réduites de Gauss et tous les nombres figurant sur son Tableau de transformation dans les quotients complets de Lagrange et dans les deux termes de ses fractions convergentes, et inversement; ce qui, pour C(^bjet spécial dont il s agit, rapproche singulièrement les deux méthodes et, que je sache, n'avait pas encore été signalé.

» Un second exemple, où le déterminant positif D est choisi parmi

(697 ) ceux qui rendent possible la solution en nombres entiers de l'équalion l- — Y)ir = — I, donne lieu, par ce fait, à de nouvelles observations.

» Soit D =^ 29, et, comme forme initiale, F = (— 29, o, i), immédiatement suivie de la réduite contiguë/, = (i, 5, — 4)- Dans ces conditions, les deux méthodes fournissent les Tableaux ci-après, dont la juxtaposition rend les comparaisons plus saisissantes :

Méthode de Gauss (avec F comme point de départ).

Réduites.

ÎO

art).

Méthode de Lagrange.

Quolienls co

mpl

el3.

Transformé

—4, — to,

v'âg -f- 2