DI

» On constate d'abord sur ces Tableaux, selon la remarque du i\ Pépin, que les termes extrêmes des transformées de Lagrange, étant lus de droite à gauche, reproduisent identiquement, comme valeurs et signes, les termes extrêmes des réduites de Gauss, tandis que leurs termes movens, étant

(') Les transformées de Lagrange ont été écrites dans ce Tableau, après avoir été (comme les réduites de Gauss) débarrassées du cortège, inutilement encombrant, des indéterminées œ^, xy, j- ; la comparaison est ainsi plus prompte.

divisés par 2 et pris positivement, reprofliiisenl les termes moyens de ces réduites.

)) Actuellement, écrivons les fractions convergentes (de Lagrange) vers M, qui n'est autre ici que ^29 ; on a

I 5 II 16 27 7o 727 iS'.î.i 2201 3775 9801 o' 1' 2 ' 3 ' 5 ' i3' i35' 283 ' 4i8 ' 701 ' 1820'

» On y voit que les coefficients S-^ 70. P., = i3, qui correspondent à la cinquième réduite de Gauss, c'est-à-dire à celle qui termine sa première demi-période (après laquelle les mêmes réduites reparaissent dans le même ordre avec un simple changement de signe dans les termes extrêmes), sont, respectivement, les valeurs de / et u qui satisfont <à l'équation indéterminée l^ — 29 M- = — I (à cause du rang impair qu'ils occupent dans la série et qui y marque le terme de la période de Lagrange), tandis que les coefficients §,0 = 9801 et ^,0 = 1820, qui apparaissent au bout de la période complète de Gauss et de la deuxième période de Lagrange, satisfont à l'équation t^ — Dir = -\- i, et ainsi de suite indéfiniment.

» On peut tirer de cette simple remarque une nouvelle démonstration des propositions qui ont fait l'objet de ma dernière Communication (séance du 24 octobre); mais elle serait ici superflue après celle que j'en ai donnée.

» IIL Ce dernier exemple montre que, si l'on prend pour point de départ la forme F = (— D, o, i), les procédés de Lagrange et de Gauss ne diffèrent entre eux, ni par les détails, ni par les résultats. Mais comme Gauss n'admet pas, même pour cette fonction initiale, les formes à terme moyen nul ('), il reste à montrer ce qui arrive lorsque ce point de départ est une forme, réduite au sens de Gauss, autre que celle-là.

» Déjà nous savons (I) que les deux méthodes reviennent alors au même, s'il ne s'agit que d'approcher indéfiniment de la valeiu- de M et, par suite, de y/D. Mais, en ce qui concerne la recherche des solutions des équations t^ — Dir = ± i, on pourrait croire, au premipr abord, que celle de Gauss a l'avantage, à cause des facilités que procurent les formules (i3), (i4) et (18) à (21) du n° 162 des Disquisitiones pour obtenir le résultat qu'on cherche alors. Toutefois, ce n'est là qu'une apparence; les fractions convergentes de Lagrange se prêtent, par leurs deux termes, au même office que les coefficients at, (3, y, îî de Gauss, et avec non moins de facilité. Si l'on est d'abord porté à croire le contraire, c'est peut-être parce que les

(') J'en ai dit les raisons probables dans une précédente Communication.

( ^99 ) auteurs, à l'imitation de Legeudre (qui s'est borné à ce cas unique dans l'exposition qu'il a faite de la méthode de Lagrange), ont coutume de prendre \ D comme point de départ du calcul par les fractions continues,

et non l'un des quotients complets ultérieurs - — — — Cependant rien ne

s'oppose à ce que l'un quelconque de ceux-ci serve de point de départ : la période des quotients partiels et entiers a v reste composée des mêmes nombres, se succédant dans le même ordre indéfiniment, et c'est encore la fraction convergente correspondant à chaque réapparition périodique du premier d'entre eux, qui fournit, par ses deux termes, les valeurs respectives de t et u par lesquelles l'une ou l'autre des équations

i- — Bu- = — i ,

selon le cas, est satisfaite. D'ailleurs, si l'on désigne généralement l'une de ces fractions par j-, on a

dans les notations de Gauss et en vertu des équations (20) et (23) de l'article 162, ou bien

O T Cl

« ^ — , Z = (\ — ^^ b,~ lu

dans les notations de Lagrange et d'après ses principes, comme on le démontre sans difficulté, les lettres A et I ayant les mêmes significations que ci-desstis (I, au nota); les signes supérieurs de ^, et ^j conviennent à l'équation

/- — Du- — -hi,

et les signes inférieurs à l'équation

i- — Du- = — i.

» Exemple. — Soient y=(5,2, — 5) et D = 2g. Les fractions de Las^range converoent alors vers M = ^^ — ^^ — -■ Quant aux coefficientstransformateurs de Gauss, ils donnent, aux cinquième et dixième rangs, p5 = 65, (53= — f)6. ^,^1 :=; — gioo, S|(,^ — i344i-

Donc, d'après (1 ), les fractions convergentes de Laerançe sont i- et — ii-> r \ ^ c ^ ° 03 9100

respectivement. On en déduit celles qui convergent vers v/29 en écrivant, comme il vient d'être dit,

?5 = — Tes — ' =73' "°" 7° ~ 29.13= — !;

i344i — igioo.a qSoi ,, , "u ~ - ""3 -

9(u= i — ^2 = — — , clou qooi — 2Q.I020 =4-1.

» IV. On voit combien il existe de points de contact entre les deux méthodes, tant qu'il ne s'agit que de la résolution des équations indéterminées du second degré. Gauss, parlant de celle de son illustre devancier dans le n" 222 des Disquisitiones, a dit lui-même : qiiœ nihil hoc respecta desiderendum relinquit. Quant au parti qu'il a si brillamment tiré des principes et des notations qui lui sont propres, dans la II" Partie de la célèbre section V de son Ouvrage, consacrée à des recherches sur la théorie générale des formes, l'honneur lui en revient à peu près exclusivement et constitue l'un de ses plus beaux titres à l'admiration des géomètres. »

PHYSIOLOGIE EXPÉRIMENTALE. — Effets de la Section des nerfs du sphincter ani sur le rôle, les propriétés physiologiques et anatomiques de ce muscle et sur l'organisme en général. Note de MM. S. Arloixi; et Edouard Chantre.

« I. On admet que la destruction des centres ano-spinal et vésicospinal entraîne ipso facto le relâchement des sphincters, fet, réciproquement, que l'incontinence des fèces et de l'urine est le signe d'une altération destructive de la région lombaire de la moelle épinière.

)) Faute de se rendre un compte exact des conséquences de l'élasticité dans un muscle circulaire, on est tombé dans l'erreur en suivant le sentier de la logique. Dans la plupart des cas, l'incontinence ne résulte pas, purement et simplement, de la paralysie des sphincters.

» Nous avons rappelé (séance du 3i mai 1897) que Goltz et Ewald observèrent la rétention et l'expulsion intermittente des fèces sur une petite chienne qui avait survécu à l'ablation totale de la région lombaire de la moelle.

» Depuis l'expérience de ces auteurs, nous avons plusieurs fois pratiqué la section complète des nerfs qui se rendent à la terminaison de l'intestin et au col de la vessie chez le chien, opération dont l'effet est d'isoler

( 70I ) entièrement les sphincters de la moelle et, par conséquent, équivaut à la destruction des centres lombaires, et, pourtant, jamais nous n'avons observé l'incontinence proprement dite.

» Voici les phénomènes que nous avons constatés du côté de l'appareil digestif et du côté de l'appareil urinaire.

» A. Immédiatement après la section et dans les premiers jours qui la suivent, les plis du pourtour de lanus sont un peu effacés, le diamètre de rorifice et sa dilatabilité sont un peu plus grands qu'à l'état normal; quelque temps après, l'orifice est exactement fermé et l'on ne soupçonnerait pas, à un examen superficiel, la paralysie dont le sphincter est frappé. Les excréments sont retenus comme à l'habitude. Lorsque les chiens quittaient leur cellule, ils profitaient d'un moment de liberté pour se livrer à la défécation. Celle-ci s'accomplissait normalement, sauf à la fin, où les sujets, privés de la conlractilité du sphincter, étaient obligés de recourir à des artifices mécaniques pour s'exonérer entièrement.

» B. Nous avons vu aussi nos chiens retenir le produit de la sécrétion urinaire pendant les heures de captivité. Aussitôt qu'ils étaient mis en liberté, leur premier soin était de chercher un endroit propice et d'uriner. L'acte s'exécutait normalement, mais jamais complètement; les animaux perdaient ensuite une certaine quantité d'urine sans paraître en avoir conscience. Si la résistance du sphincter suffisait à emprisonner l'urine dans la vessie lorsque le sujet était au repos dans sa loge, elle ne suffisait plus lorsque l'animal s'agitait brusquement, sautait et gambadait, comme le font les chiens heureux de goûter un instant de liberté. Ce trouble s'atténue, sans disparaître, au bout de quelques mois.

» Bref, de part et d'autre, la rétention est indiscutable. Pour l'expliquer, il ne peut être question de contractilité ni de tonicité. Elle résulte de l'élasticité des sphincters. Cette propriété suffit donc à éviter l'incontinence. Elle est plus efficace du côté de l'anus que du côté de la vessie, mais c'est là probablement une simple apparence, qui s'explique par l'état physique des produits qu'elles retiennent dans leur cavité, car si l'on se reporte aux évaluations de Heidenhain, de Gianuzzi et de Nawrochi, il faudrait, pour vaincre la résistance du sphincter vésical privé de ses nerfs, une pression d'eau plus grande que pour surmonter celle du sphincter anal.

» En conséquence, dans le cours d'incontinence vraie, on doit admettre que la lésion nerveuse, cause de la paralysie des sphincters, éveille simultanément l'énergie des forces expulsives.

» II. Le sphincter ani, dont les deux nerfs sont coupés, conserve fort longtemps sa contractilité. Le bout périphérique des nerfs a perdu entièrement son excitabilité, que le muscle répond encore aux excitations in-