NOMINATIONS

L'Académie procède, par la voie du scrutin, à la désignation de deux de ses Membres, qui devront être présentés à M. le Ministre de la Guerre pour faire partie du Conseil de perfectionnement de l'École Polytechnique pendant l'année scolaire 1898-1899.

MM. Cornu et Sarrau réunissent la majorité des suffrages.

CORRESPONDANCE

ASTRONOMIE PHYSIQUE. — Obsenations du Soleil, faites à l'observatoire de Lyon (e'qaatorial Brunner de o™,i6), pendant le second trimestre de l'année 1898. ^ote de M. J. Gcillaume, présentée par M. Mascart.

« Ces observations sont résumées clans les Tableaux suivants, dont l'explication a été donnée, page 876 du Tome CXXYI des Comptes rendus; il en résulte les faits suivants.

M II V a eu 60 jours d'observations dans ce trimestre.

» Taches. — Le nombre des groupes de taches notés est de \\ avec une surface totale de i354 millionièmes; il y a donc augmentation en nombre d'environ ^ et diminution en étendue de presque |; cette forte diminution de l'aire tachée s'explique par l'absence de grands groupes; il n'y en a eu, en effet, aucun de visible à l'oeil nu.

)) L'hémisphère austral a continué à montrer plus de taches que l'autre hémisphère ; on a, en effet, 28 groupes au sud et i3 au nord.

» On a constaté l'absence de taches, à la surface du disque solaire, cinq fois, et dans le mois d'avril seulement.

» Il y a lieu de signaler le peu de durée de certains groupes de formation rapide, durée qui est de deux, trois et parfois moins d'un jour. On a noté plusieurs fois la présence de taches voilées.

» Régions d'activité. — Les facules ont augmenté d'environ '- en nombre et de f en étendue; on a, en effet, 69 groupes et 67.4 millièmes au lieu de 56 groupes et 09,2 millièmes. Dans ces 69 groupes, on en compte 38 au sud et 3i au nord; comme les taches, les facules continuent à être plus nombreuses dans l'hémisphère austral que dans l'autre hémisphère.

tBLE.^U I.

— Taches.

Dates extrêmes d'obserr.

Nombre Pass. Latitudes moyen

dobser- au mer. — — ■ — — -

valions, central. S. .N

nés

Sarfaces moTennes réduites.

Dates Numbre Pass. Latitudes moyennes Surfaces

eilrèmes dobser- au mér. — — . - — -» moyennes

d'obserT. valions, central. S. S. réduites.

,\vril 1898. o,25

A^Til 1898. 0,23

(pores)

6,9 -Il

Dates Nombre Pass Latitudes i extrèoies d'obser- au m

d'observ. Tations. cent

Avril

-l-IO

Dates

Nombre

Pass. Latitudes iDoyennes

Surfaces

xlrêmes

d'obser-

au mér. -

moyenne

obsery.

vations.

central.

rcdiiilos

Mai 1898.

-t-IO

Avril. . . .

Mai

Juin

Totaux

Tableau II. — Distribution des taches en latitude.

Sud. Nord.

Somu

00". 40", 30". 20". to".

Soioii

Tableau III. — Distribution des facules en latitude.

Avril

Mai

Juin

TotauN.

îfZ

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements des fonctions uniformes en séries de Taylor. Note de M. Ejiile Borel, présentée par M. Appell.

« Je publierai prochainement quelques résultats auxquels j'avais été conduit par l'étude d'un théorème dont M. Hadamard avait communiqué l'an dernier l'énoncé à l'Académie (') et dont il vient de publier la démonstration (^). Je voudrais indiquer ici un théorème, compris dans ces résultats comme cas particulier, mais peut-être plus intéressant, à cause de sa simplicité, que les propositions plus générales dont on peut le déduire.

» Désignons, pour abréger le langage, par fonction (M) une fonction uniforme dans tout le plan, à singularités ponctuelles Ç'). Posons, d'ailleurs :

0(2) = a^-^ a^z -\- a.,z- -^...-\- a„z" -{-..., '^(z) = b„ + h,z.-^h.^z- -h...+ b„z"-^..., f(z):=aab^-^a,b,z-h...-i-a„bnz"-i--...

» On a le théorème suivant :

» Si les fonctions ^{z) et }(«) sont des fonctions ^Sl), la fonction f{z) est aussi une fonction (ÏM).

» On peut ajouter que, si les fonctions o(s) et à(z) sont méromorphes, f(^z) est aussi méromorphe .

» En utilisant une remarque faite par M. Leau dans la dernière séance de la Société mathématique ('), on constate que ces énoncés subsistent si l'on pose

f{z)^lu{a,„b^)z\

7s(a, b} étant un polynôme en a et b. On pourrait, d'ailleurs, au lieu de partir de deux séries <p et 6, s'en donner un plus grand nombre. »

(•) Comptes rendus, t. CXXIV.

(-) Acta mathematica, t. XXII.

(') Les fonctions (M) les plus générales sont celles qui ont été étudiées par M. Mittag-Leffler dans un Mémoire bien connu {Acta mathematica, t. IV).

(*) La Communication de M. Leau paraîtra prochainement au Bulletin de la Société.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une équation inrléterminée. Note de M. Carl Stormer, présentée par M. Jordan.

« Soit à résoudre eTi nombres entiers positifs x^, x., ^m' JKt-.Vj. •••■Jn

l'équation

(i) AM-^' m:=. . . M;r - Bisy w.^... n;; = c,

où A, B, M,, M,., .... M,„. N|, N^ N„ sont des nombres entiers donnés

et oiiC = ±\ ou =± 9.

» La solution complète de ce problème résulte de l'application du théorème suivant, que j'ai publié dans un travail intitulé : Quelques théorèmes sur l'équation de Pell x- — D/- ^=àz\ et leurs applications (Christiania Videnskabsselskabs Skrifter, I, n" :2; Christiania, 1897).

» Soit D un nombre entier positif non carré, et soit s = i ou ^ — i. Supposons que l'équation de Pell x'^ — Dy^ = t admette des solutions entières positives x et y, et soit y, la plus petite solution y. Alors deux cas peuvent se présenter :

» a" Ou bien il n'y aura aucune solution y telle que tout nombre premier diviseur de y le soit aussi de D ;

» 2° Ou bien il y en aura une seule, et ce sera y, .

M Nous allons appliquer ce théorème pour résoudre l'équation (i). A cet effet, posons

bn^.n^=...n;" = =,

d où

am;'m:\..m;;;=^ + c,

et cela donne

(2) r.(; + C) = ABM;-' . . . M;;'NV . . . N^„".

» Or, si C =±i, le premier membre sera égal à y [(2zzt i)-— i], et si C = =t 2, il sera égala (z dz ly — i, c'est-à-dire l'équation (2) aura toujours la forme

x^- i = A' BM ;■■... N;,",

X étant un entier indéterminé, el A'= A ou = 4 A. » Notre problème est ainsi réduit au suivant : » I. Résoudre complètement en nombres entiers positifs x, :•,. :-^, .... z„

( 753 ) l'équation indéterminée

(3) a;^-i = KAvA^.. A;^

où K, A, , Ao, . . . Ap sont des nombres entiers donnés.

» Nous allons voir que notre théorème sur l'équation de Pell suffit pour résoudre complètement ce problème.

M A cet effet, désignons le produit au second membre de (3) par P et posons s, = £, -t- 2/,, . . . , 3p= £pH- 2/p. En posant

RA;'A^=... A;f = D,

on aura donc P = DQ-. En substituant maintenant aux £,, . . . , îp, de toutes les manières possibles, les valeurs i et 2 et, en même temps, aux t^, . . . /p toutes les valeurs entières positives ou nulles, les variables «,, .... ^p auront toutes les valeurs entières positives. On aura ainsi une infinité de valeurs de P et de Q; mais, tous les t étant ^2, on n'aura qu'un nombre fini de valeurs de D, correspondant à toutes les manières différentes dont on peut choisir les t égaux à i et à 2.

» Soient ces valeurs

» Tous les produits P sont ainsi distribués en v classes, contenant chacune une infinité de produits P = DQ-, pour lesquelles D aura la même valeur D/,. Considérons tous les produits Q correspondant à cette valeur D^. Nousallonsdémontrer qu'il y en aura un au plus pour lequel a-— i= D^Q^, X étant un entier positif indéterminé.

» En effet, chacun des produits Q, en nombre infini, a par définition la propriété que tout diviseur premier qui divise Q divisera aussi Da et, en vertu du théorème cité sur l'équation de Pell, ou bien l'équation x" — D^Q- = i sera impossible en nombres entiers positifs x et Q de la propriété demandée, ou bien il n'existera qu'une seule solution Q =y\, à laquelle correspond X ^ x^, x^ et j', étant les solutions entières positives les plus petites de l'équation de Pell x- — D^JK^ -^ i, solutions qui sont appelées solutions fondamentales.

» A toute valeur D^ correspond ainsi, au plus, un système de solution a; et Q et par conséquent :

» Toutes les solutions entières positives x de l'équation ( 3 ) ^e trouvent, si elles

( 754 ) existent, parmi les solutions fondamentales des équations de Pell

x'' — D, y- = I, x-~-Diy-= I,