X- — Dvj' = I

oà D,, Do, . . . , Dv sont toutes les valeurs du produit D = RA^' . . . Ap% les s, , . . . , Sp étant supposés de toutes les manières possibles = i et = i.

» En décomposant les nombres correspondants a;" — i = DaJ'' en facteurs, on trouve ensuite les systèmes correspondants de solutions z,, z.^, . . ., Sp.

» Notre problème est ainsi réduit à trouver les solutions fondamentales d'un nombre fini d'équations de Pell, problème bien connu et complètement résolu.

» En appliquant ce résultat à l'équation (2), on aura ainsi la solution complète de celte équation, c'est-à-dire, aussi, la solution complète de l'équation (i). On trouve donc que l'équation (i), quand elle est possible, n'admet qu'un nombre fini de solutions entières positives x,, x^, ..., x„„ ^,, jKo, . . . , y,i, qui peuvent toutes être trouvées en cherchant les solutions fondamentales d'un nombre fini d' équations de Pell de la nature indiquée.

» On voit aisément que ce qui précède donne aussi la solution complète des problèmes suivants :

» II. A, M, , Ma, ... , M,„ et C ayant la même signification que dans l'équation (i), trouver tous les exposants entiers positifs x^, Xn, ..., x^, pour lesquels le nombre