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Dec.

ASTRONOMIE. — Observations des essaims des Lèonides et des Biélides, faites à Athènes. Note de M. D. Eginitis, présentée par M. M. Lœwy.

u L'observation des Lèonides a été faite à Athènes, pendant les soirées du 12 au i3 et du i3 au i4 novembre, par un ciel assez beau. Dans la première soirée on a observé, depuis minuit jusqu'à 2''3o'", cinq météores, appartenant aux Lèonides. Pendant la seconde soirée, on a noté, depuis minuit jusqu'à 5''3o™, trente-trois étoiles filantes, émanant de la constellation du Lion; l'ensemble des trajectoires de ces météores, tracées sur une carte par M. Tsapékos, donne comme radiant un cercle d'un rayon de 2° et dont le centre a les coordonnées suivantes :

Ces météores étaient, en grande partie, d'un éclat faible, rapides, et avec une traînée plus ou moins grande.

( tooi )

» Pendant la soirée du i4 au i5 novembre, le ciel était nébuleux; dans la soirée du i5 au i6, de minuit jusqu'à 2''3o'", on n'a vu qu'un seul météore.

» [/observation des Biélides a été faite dans de très mauvaises conditions; la présence de nuages et de la Lune a beaucoup gêné les observations. Pendant la soirée du 24 novembre, de 9'' à io''3o"', où le ciel était beau, on n'a vu aucun météore. Dans la soirée du 25 noA'embre, de S*" jusqu'à minuit, on a noté cinq météores de la constellation d'Andromède. Leurs trajectoires, notées sur une carte par MM. Terzakis et Tsapékos, donnent un centre d'émanation vers a ^= 20°, S '— 37°.

» Pendant les nuits du 2G et du 27 novembre, depuis 7'' du soir jusqu'à 2'' du matin, on n'a vu aucun météore. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la recherche des singularilés cl' une fonction définie par un développement de Taylor. Note de ]\L Emile Borel, présentée par ^I. E. Picard.

« Le problème énoncé dans notre titre fut, croyons-nous, abordé directement pour la première fois par M. Hadamard, dans sa Thèse ('). Malgré la beauté des résultats obtenus, ce travail resta d'abord isolé; quelques années plus tard, M. Fabry reprit et dévelojipa la méthode de jNL Hadamard, dans une série de savants Mémoires (-). Plus récemment, M. Leau et M. Le Rovont, chacun de son côté, étudié la même question (^), par des méthodes qui se rattachent à la fois à mes recherches sur les séries divergentes (* ) et à l'emploi de la représentation conforme, d'après M. E. Lindelof( = ).

» Mon but n'est pas d'aborder à mon tour un terrain où, comme on voit, divers géomètres se sont déjà engagés avec succès et continueront sans doute à obtenir d'importants résultats par des méthodes variées. Je

(') Journal de .Mathématit] lies, 1892.

(') Annales de l'École IVormale, 1896. - Acla inatliematica, l. XXII. — Journal de Mathématiques, 1898.

(') Comptes rendus, novembre cl décembre 1898.

{') Journal de Mathématiques, 1896, et Comptes rendus, mèiue Awuèe, passim. — Acta mathematica, t. XXI.

(») Comptes rendus, 1898. — Acta Societatis Fennicœ, 1898.

voudrais seulement présenter quelques réflexions générales sur certains de ces résultats (') obtenus en étudiant la nature du n""^^ coefficient de la série de Taylor, considéré comme fonction analytique de n.

» Considérons la série /(:;) — Za^z" et, pour plus de netteté, supposons, non seulement que le rayon de convergence est égal à un, mais encore que la série -la^l est convergente. On peut, d'une infinité de manières, déterminer une fonction analytique ^(a;), telle que l'on ait a„ = tj/(Ai). L'élude (les points singuliers de /{^)< autres que g = i et z = y:>, ne dépend que de la manière dont '\i(œ) se comporte à l'infini. C'est une conséquence d'un résultat obtenu, dans les Mémoires cités, pour le cas où 'l'(^) 6St régulière à l'infini. On pourra même ajouter qu'il suffit d'étudier d* (^x) dans un certain voisinage de l'axe réel positif.

» On peut, en particulier, prendre pour '^(0;) une fonction entière, et cela d'une infinité de manières. Nous poserons, pour fixer les idées,

. , , sin 7:.r; -^ a„

Cette fonction entière est, en général, d'ordre Ç- ) égal à ;///. M. Leau a énoncé un résultat intéressant dans le cas où cet ordre est plus petit que un. » Désignons ])îir (C) un contour entourant le point z -^ o, et à l'intérieur duquel /(r") est holomorphe. On a

1 r f(ii)dii

d'où

en posant

K-^)= ^^T^F f^o{u)^{x, u)da,

{x— ii)u"+^

La fonction analytique 0(a7, u) s'exprime aisément par une intégrale définie; il y aurait lieu d'en faire une étude approfondie, en la regardant comme fonction des deux variables x et u.

( ' ) Voir les Mémoires cités de MM. Fabry, Leal', Le Roy, Lindelôf.

C^) J'appelle, ici, ordre ce que j'ai appelé ordre apparent dans mon Mémoire Sur les zéros des fonctions entières {Acta malheniatica, l. XX). Il n'y a pas intérêt ici à le distinguer de Vordre réel, auquel il est égal, sauf dans le cas d'exception de M. Picard.

» Désignons maintenant, pour un instant, par y (x) une fonction régulière pour X positif, et tendant, ainsi que sa dérivée, vers une valeur déterminée, lorsque x tend vers l'infini à l'intérieur d'une certaine aire. Désignons par r le contour qui limite cette aire, supposé renfermer à son intérieur toutes les valeurs réelles de x. On a évidemment

, , , I r-L (u) du

et, par suite,

la fonction 0 avant la signification déjà donnée ('V

» On voit quelle relation étroite est ainsi établie entre l'étude des singularités de f(^z) dans tout le plan et l'étude du point singulier essentiel unique de y (-r). On peut dire que ce dernier condense en lui seul toutes les singularités dey* ;;); c'est un résultat analogue à celui que nous avions obtenu par l'introduction de \a fonction entière associée (^loc. cit.).

>! Nous ne pouvons indiquer toutes les applications qui se présenteraient; signalons celles qui ont trait à un théorème de M. Hadamard, sur les séries de Taylor (^Comptes rendus, mars 1897). ^® tbéorème, que j'ai complété dans une Xote récente (Comptes rendus, novembre i8g8), établit une relation entre les singularités des séries la„z", Zb„z", lanb„z". Or, pour la fonction entière /(x) correspondant à cette dernière série, on peut visiblement prendre \e produit des fonctions entières correspondant aux deux premières. On sait donc ce que deviennent les singularités des séries de Tavlor, lorsqu'on combine les fonctions entières correspondantes par voie d'addition ou de multiplication. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles réductibles aux équations différentielles ordinaires. Note de M. Jules Beudo.v, présentée par M. Appull.

« I. M. Riquier, dans sa Note du 21 novembre dernier, énonce un théorème d'après lequel tout système d'équations aux dérivées partielles, dont le degré de généralité est défini par un nombre fini de constantes

('; On peut déduire de celte formule des résultats analogues à ceux qui ont été indiqués par M. Le ï\o\ au début de ja Note de la dernière séance, mais plus généraux.

( ioo4 )

arbitraires et une fonction unique d'un nombre quelconque de variables, peut être intégré par des équations aux différentielles totales formant un système passif.

M J'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie ce résultat, sous une autre forme, dans ma Note du 3i janvier i8g8 (^Comptes rendus, t. CXXVI, p. 388). Une partie de la démonstration de ce théorème a été publiée dans les Annales de l'École Normale, en juillet 1898; la seconde partie paraîtra prochainement dans le Journal de Mathérnaliques pures et appliquées.

« 11. On peut, d'ailleurs, établir la pi'oposition suivante, dont mes précédents résidtats ne sont qu'un cas particulier :

)j Le degré de difficulté de l'intégration d'un système d' équations aux dérivées partielles ne dépend pas du nombre des variables indépendantes, il est lié seulement au degré de généralité de la solution; deux systèmes quelconques ayant le même degré de généralité exigent, pour l'intégration, des opérations analogues.

» Par exemple, la théorie de l'intégration d'un système d'équations aux dérivées partielles dont la solution générale dépend de deux fonctions arbitraires, chaque fonction ne contenant qu'un argument, est tout à fait analogue à celle des équations du second ordre à deux variables indépendantes. ( Voir, pour cela, ma Thèse de Doctorat, Annales de l' École Normale, 1896.) "

AXALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la détermination du groupe des équations numériques. Note de M. Edmond Maillet, présentée par M. Jordan.

« Nous avons obtenu les deux théorèmes suivants : » Théorème T. — Soit l'équation algébrique irréductible

(}) f(x)^x''-+ qA.x'' '+. . .-i-9A^,x±7==o

(pet q nombres premiers différents ou non, p impair, A,, .... A^, entiers). On peut toujours déterminer une infinité de systèmes de valeurs des coefficients A,, . . ., A^, de {^\) de façon que l'équation (1) ait au moins 2/-- 1 racines réelles et 2 racines imaginaires, et, par suite, que son groupe cordienne le groupe alterné .si l — 1 quand p — 5 et si p — i — ■?.l <Co(p), o{p) étant une

(4 + «)f4 4-Mlog-^

fonction II de p telle que p = —^ '-- > quand p

( ioo5 "> >) Théorème II. — L'équation irréductible

r^? ±1 qx — q ^= o {q premier)

a son groupe G d'ordre ç seh o [mod 2 p (2 p — i)], sauf peut-être pour des valeurs de q limitées en fonction de a. Sii^ — i est premier, G est deux fois transitif, sauf peut-être pour les mêmes valeurs de q.

» Le théorème I est une conséquence de la propriété suivante établie par nous dans les Mémoires de l' Association française pour V avancement des Sciences (Congrès de Saint-Etienne, 1897) :

» S'\f{x^ = o est une équation algébrique à coefficients rationnels ordinaires, dont les racines x^, . . ., x,^ sont distinctes, et si a;, , a;, î"2v-i .

■Tjv sont ses racines imaginaires, o^oa-i ^t a?,* étant conjuguées quand A*5 v, le groupe de l'équation contient la substitution

GÉOMÉTRIE. — Sur les lignes composées de parties rectilignes. • Note de INI. D. Gravé, présentée par M. Picard.

'( Prenons le système de numération de base n = -im — i, où m est un nombre entier positif, et considérons les valeurs de la variable indépendante .r contenues dans l'intervalle (o, i ).

» Ecrivons x dans ce svstème de numération

OÙ a,, flj- ^3 sont des chiffres, c'est-à-dire des nombres entiers satisfaisant aux inégalités

» La fraction o, a,a.;,a^. . . peut avoir é\idemment un nombre limité ou infini des chiffres.

» Deux circonstances peuvent se présenter : 1" tous les chiffres sont pairs; 2° il existe au moins un chiffre impair.

» Si tous les chiffres sont pairs,

a,^2b,, a.,=:-2b2. a^^^h^, (nous considérons le chiffre o comme un nombre pair dont la moitié est

( roo6 ) aussi o), prenons pour valeur de la fonction i- — /"(a:) la fraction

en considérant cette fraction clans le système de numération de base m, c'est-à-dire

» Dans le cas où la fraction o, û!,û'o(73... a des chiffres impairs, arrêtons la fraction au premier chiffre impair a^,

o, a ^ a.,a^. . .f/,^, a^ et prenons pour valeur de la foncliony(£r),

(tk-x r ak+\

la base étant m.

» La fonction/(x) ainsi définie jouit de propriétés fort singulières. Cette fonction n'a pas de dérivée pour une infinité de valeurs de x. Pour les autres valeurs de x, la dérivéey'(a;) est nulle.

» Elle est continue et varie de o à i quand r parcourt toutes les valeurs de l'intervalle (o, i).

» La fonctiony(a;) est évidemment intégrable. Il est aisé de calculer les valeurs de l'intégrale

(.ù(x)^-- I f(x)flx

pour toutes les valeurs de x.

« La nouvelle fonction io(x) a la propriété remarquable d'avoir des valeurs rationnelles pour les valeurs rationnelles de x.

» Les lignes déterminées par la fonction j' — oj(a;) sont composées d'une infinité de parties rectilignes, ce qui les rapproche des polygones. Mais ces lignes ont la propriété essentielle des lignes courbes, d'avoir pour chaque point une tangente bien déterminée qui change de direction d'une façon continue quand le point de contact parcourt la ligne.

" Nous pouvons nommer les lignes singulières déterminées par la fonction v= w(a") courbes polygonales.

» On peut établir pour les courbes polygonales la notion du sens de la concavité en considérant l'accroissement de la dérivée co'(ar) =^f(^x).

') La notion de courbure au sens ordinaire du mot n'existe pas pour une infinité de points où la dérivée seconde w" (^x^ =zf'(^x) n'existe pas.

» On peut étendre les mêmes considérations aux surfiices dans l'espace. Nous parvenons aux surfaces composées de parties planes, qui ont néanmoins la propriété des surfaces courbes d'avoir pour chaque point un plan tangent bien déterminé, changeant de direction d'une façon continue quand le point de contact se déplace d'une façon continue sur la surface.

» Un exemple de pareilles surfaces, qu'on peut appeler surfaces polyédrales, est donné par l'équation

où (^(x) est la fonction définie phîs haut. La surface est bien déterminée pour les valeurs de x et de j' satisfaisant aux conditions

(*) oS.r!:i, o^jK^i.

» Les dérivées -5^^ -r^ existent pour toutes les valeurs de x et de y du

domaine (*) et sont continues.

)) Il est nécessaire d'ajouter que les dérivées

d'-z d'z d.v- dv^

n'existent pas pour une infinité de points, tandis que la dérivée

d'-z dxdy

existe pour tous les points du domaine (^*J et a une valeur nulle. »

MÉCANIQUE. — Sur l' isochronisme pratique des régulateurs. \ote de M. L. Lecorxu, présentée par M. H. Léauté.

« Il est évident qu'avec un régulateur donné, agissant sur une valve donnée, on peut, en choisissant convenablement le mode de liaison, se rapprocher à volonté de l'isochronisme théorique; il suffit pour cela de faire en sorte que l'ouverture en grand et la fermeture de la valve correspondent à deux positions du manchon très voisines l'une de l'autre. Mais,