C. K., 1S98. 2" Semestre. (T. CX.WII, N' 26.) iSy

( r'9ti ) ihétiques, les portions restanles des développements de ces dernières sont elles-mêmes convergentes, et les intégrales dont il s'agit existent effectivement.

» Enfin, de simples résolutions d'équations, combinées avec des différentiations, permettent, sauf constatation éventuelle d'incompatibilité, de ramener un système différentiel quelconque à la forme orthonome passive.

» III. Après avoir rappelé, comme cela était nécessaire, une partie de mes résultats antérieurs, j'arrive à la proposition formulée dans ma Communication du 2 1 novembre 1898.

M A ce sujet, j'établis tout d'abord que si, dans un système orthonome passif, l'ensemble des éléments arbitraires, dont la connaissance équivaut à celle des déterminations initiales de ses inconnues, ne comprend, avec un nombre quelconque de conslantes, qu'une seule fonction d'un nombre quelconque de variables, la recherche, dans le système proposé, d'intégrales ordinaires satisfaisant à des conditions initiales données, se ramène, par de simples différentiations, à une semblable recherche effectuée dans un système orthonome passif de grade i, dans le Tableau duquel toutes les cases vides appartiennent à une même colonne. Je prouve eu second lieu que cette dernière recherche se ramène à l'intégration de systèmes passifs d'équations différentielles totales du premier ordre.

» Cela posé, et tout en constatant que le théorème formulé dans ma Note du 21 novembre 1898 est postérieur à celui qu'a énoncé M. Beudon dans les Comptes rendus du 3i janvier 1898, je tiens à faire observer que, dans une Note communiquée à l'Académie dès le 3o juillet 1894, j'ai examiné le cas, très voisin du cas général, d'un système passif d'ordre i, dans le Tableau duquel toutes les cases vides appartiennent à une même colonne : la proposition dont j'ai fait connaître l'énoncé il y a quelques semaines n'est ainsi que l'extension naturelle d'un résultat que j'avais obtenu il y a environ quatie ans. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du premier ordre. Note de M. Armand Gaiien, présentée par M. Picard.

« Soit V{y',y,x)=^o une équation différentielUe, où P est un polynôme (le degrés donnés en y' eiy, analytique en x. On peut se proposer de Jeiermmer EXPLICITEMENT toutes les équations de cette forme, dont l'intégrale générale ne prend qu'un nombre donné n de valeurs autour des points critiques

( ''97 ) mobiles. Ce problème a été résolu par 'SI. Painlevé ( ' ) dans le cas où P est du premier degré en v . Nous nous proposons de résoudre cette question pour les équations du second degré en y' et de degré q {^\ en v,

( I ) Ly"- — 2 y\y' + \ = o.

« Par le mot explicitement, j'entends que les coefficients des polvnomes \,, .M. N doivent être exprimés algébriquement k l'aide d'un certain nombre de constantes et âe fonctions arbitraires de .r el de leurs dérivées.

» On sait que, lorsque l'intégrale générale de (^i) n'acquiert qu'un nombre fini n de valeurs autour des points critiques mobiles, elle peut s'écrire

où X, 3. Y sont des polynômes en y de degré n, si le genre vs de la relation entre les constantes intégrales est nul. et de degré an, si ce genre est égal à I . Quant au cas de c >■ i , on sait qu'il ne peut se présenter ici. » Traitons d'abord le cas de vs = o. Posons

]\F-LX = P=QR. S--a-- = n-0'R:

R = o (de degré k^ définit les intégrales singulières et 0 = o (de degré j) le lieu des points de rebroussement des intégrales: Pet H sont de degrés ? et m et les entiers positifs i. j, /•, n, m, q vérifient les relations

2q — 4 ^= li -T- j -+- k. in ^= im ~ Sy' -f- /■.

» La relation (2) est, par hypothèse, irréductible en y et C, sauf pour certaines valeurs de C et, en particulier, pour les valeurs remarquables C^, telles que l'équation (2) en y admette pour C = C^., quel que soit x, des racines multiples r = ^(.r) dites solutions remarquables, dont les ordres de multiplicité a^ ,6^. .... e^ sont liés au degré q par la relation (')

(3) y=2/?^/î--i[^fl,-i) + ri,.- i)+. . . + (r,-i)].

» Ces propriétés rappelées, choisissons arbitrairement un svstème dentiers positifs i,j, k satisfaisant à la relation 2^ — 4 = ii+j -hk (avec j -r- k^ 2, 3y -^ k'S 2/?, k^q — in), et soient 3, n. Q, R quatre polvnomes en y de degré n, m,J, k dont les coefficients sont des fonctions arbitraires

C) Leçons de Stockholm,- p. lOi. — Annales de la Faculté de Toulouse, 1896. (*) Moyennant une transformation homographique effectuée sur y, on peut toujours admettre que L, M, N sont de degrés q — 4, 7 — 2 et y en t. (') P. PAiXLF,>'t, Leçons de Stockholm, p. 167.

( II98 ) (le X. La différence [5- — Il-Q^R est un polynôme de degré 2«, que je décompose en un produit de polynômes a et y de degré n, dont les coefficients sont des fonctions algébriques des m -i-j -\- k -\- Ji -h i coefficients arbitraires \(x), de p, H, Q, R. Si j'exprime maintenant qu'il y a p solutions

remarcjuablesj' = 5,(1^), ....,}' = gp{x) d'ordre a,, «^ a^ (avec la

condition a^ — i + a, — i+...-t- ap, ^ 2« + A: — ^), j'obtiens "xn -+- k — q conditions «/«"eir/^Mei dépendant de /? constantes C,, C„, ..., C^. Il reste alors m -\-j+ k -\- n + 2 — {in + k ~ q) ■= i-\- [^ fonctions arbitraires.

» Nous voyons donc que, pour chaque choix des entiers positifs i, j, k assujettis à la condition ii -t-y + X- = 4 {avec les restrictions indiquées'), nous formons un nombre fini de systèmes de conditions algébriques entre les coefficients c/e(2). Clluicun de ces systèmes définit une équation (2) dépendant de i -\- 4 fonctions arbitraires et d'un certain nombre de constantes arbitraires égal au nombre des solutions remarquables. Ce nombre atteint son maximum in-\-k — q quand toutes les solutions remarquables sont d'ordre deux.

» Dans ce dernier cas, qui peut être considéré comme le plus général, nous faisons la discussion complète des conditions algébriques correspondantes et nous montrons : 1° que les conditions précédentes sont compatibles et déterminées ; 2° que l'équatioii (2) la plus générale est irréductible ; 3° que l'équation différentielle (1) correspondante, dont le degré est au plus égal à q, est exactement de degré q; 4° que le nombre des branches de l'intégrale qui est au plus égal à n, est bien égal (' ) à n, et que, par suite, le genre de la relation entre les constantes intégrales est nul.

» I^a question ainsi posée au début est donc résolue dans le cas de cj =: o, et le type le plus général des équations (i) répondant à la question dépend de ; + 4 fonctions arbitraires et de in -\-k ^ q constantes ( ^ ) arbitraires, k désignant le nombre des intégrales singulières distinctes.

» Passons au cas de rs ^^ i. On montre d'abord quey = o (donc^- est pair, soit k = 2r). 1/intégrale générale est donnée par la quadrature de différentielle totale

» I.a différentielle —> qui se déduit par une transformation d'ordre n

(') Il y a toutefois deux cas d'exception : i7=:4, y = o, A: =4 et q = ^, j =:o,

k = 2, pour lesquels, comme on sait, l'équation (i) a ses points critiques fixes.

(^) Ce nombre peut être réduit à 2« -(- A' — q — 3, parce que les formes (2) de l'in-

aC + 3 té'Tale se déduisent de l'une d'entre elles par le changement de G en —p^ !; •

» ° vL + o

H d'une différentielle elliptique \\e module u. dt|jend ainsi que -— de r+i fonctions arbitraires de x et de la constante u.. H et R sont des polynômes en j de degrés r — 2 et r. On introduit les notions de solutions et de constantes remarquables, d'où des relations Cp = ^{y^, x), qui pour la solution la plus générale (') sont en nombre 2/- — q, en supjiosant que chaque intégrale remarquable est d'ordre 2. L'équation (1) correspondante dépend alors de ir — q constantes arbitraires et de r -^ 1 — (^'ir — q) =: i -{- !^ fonctions arbitraires.

» Observons que dans le cas actuel, si l'on met l'intégrale générale sous la forme (2), a., [3, y sont de degré pair, au moins égal l\ in elj est nul.

» Inversement, si l'intégrale générale de (i) se met sous la forme

où 7 = 0 et où a,, fl|. y, sont de degré 2«, elle prend, en général, 2« valeurs autour des points critiques mobiles, ni est nul et (2)' dépend de i -h 4 fonctions arbitraires et de 4^ + s/' — q — 3 constantes arbitraires; et, comme dans le cas de r? = i, (2)' ne dépend que de ir — q constantes, nous voyons que, dans le cas de nr = i, elle dépend de 4« — 3 constantes de moins que dans le cas de cj ^ o.

» En dé/inilive, les équations (i^ dépendent algébriqleme>t de t-l-4 fonctions ARBiTBAiRES et de CONSTANTES ARBITRAIRES, dont le nombre égal à in-\-k — q — 3 dans le cas de m =^ o se réduit à k — q, quand ni est égal à un. »

ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur les équations aux différer dielles totales linéaires. Note dt; M. Alf. Guluberg, présentée par M. Picarii.

« Dans la tliéorie des équations aux différentielles totales linéaires il y a, ce me semble, un point auquel on n'a pas jusqu'ici fait attention ; je crois combler cette lacune en présentant la proposition :

» Une équation aux diiférentielles totales linéaires non intégrable

'SVi(^x^,x,, . . ., x„)dx„ = o

(') On montre que les objections qu'on peut faire à la discussion sont en défaut, sauf dans le cas r = 2, q=:^ [équations (i) à points critiques fixes].

peut admettre des intégrales singulières /(a:,, .r^,, ..., .r„) = o, dont la détermination se fait sans intégration.

» Bornons-nous, pour fixer les idées, aux équations aux différentielles totales linéaires non inlégrables de trois variables :

(i) P(\r, j, z)(/.v -\- Q(.T,y, z)(iY + ^(x, y, z)dz — o.

» Soit z =y(.r,j') une intégrale de l'équation aux différenlielles totales linéaires donnée (i); il faut donc que l'équation donnée (i) soit une identité à cause des deux équations :

» En substituant ces deux valeurs de z et dz dans l'équation aux différentielles totales linéaires (i), elle se mettra sous la forme

+ [Q(-^. )',/)+ R(.-r,, y, f)ifi^^'\ = G. » L'indépendance des variables indépendantes x et y exige que

» La compatibilité de ces deux équations aux dérivées partielles demande l'existence de l'équation aux dérivées partielles

/os d VF{x,Y,f)-\ ^ à rQ(^,r,/)-|

» Toute fonction z =: /(x, y) qui satisfait aux trois équations aux dérivées partielles (2) et (3) est une solution de l'équation aux différentielles totales linéaires (r).

» Les valeurs de -y- et j-, tirées des équations aux dérivées partiel les (2),

substituées à l'équation (3), donnent une équation

» Les valeurs de/, tirées de cette équation, qui satisfont aux équations aux dérivées partielles (2). sont les solutions cherchées.

» Exemple. — Soit donnée l'équation aux différentielles totales linéaires non intégrables

( - — YX — v) c?a; + ( ;- — xy:^ — x) dy -4- r/- = o. Les équations aux dérivées partielles (2") sont

\j^=-ir-xyf-x) et l'équation (3j est

Éliminant ^i ~- entre ces trois équations, on obtient

/ - — /'( -2 xy -^ Y)-r- x-y- -i- v^ = o. Les valeurs de/qui satisfont celte équation sont /'= va; -f- )-, J'=:^xy, ety"= ri' est la solution cherchée. »

PHYSIQUE. — Sur la vitesse du son dans l'air sec à o", Note de M. A. Leduc, présentée par M. Lippmann.

« 1. Dans sa Note du 5 décembre, ^L ^ loUe admet la nécessité d'une

correction sur y- T-a formule qu'il emploie pour calculer - est d'ailleurs

celle dont je me suis servi, mais avec des données un peu différentes (notamment F,5 5= 1 1™"', au lieu de io""°). J'ai trouvé pour la correction sur la vitesse du son o™, 16; mais il m'a semblé que les hypothèses introduites ne permettaient même pas d'affirmer que la correction exacte fût comprise entre o", i et o'",2.

» Quoi qu'il en soit, je pense qu'on ne doit pas considérer comme négligeable une correction > o, 1 sur un nombre que l'on considère comme obtenu à 0,1 près (^').

(') Annales de Chini. et de Phys.. 6' série, t. Xi\, p. 335 el 389.

» 2. Le facteur de correction de M. Jtiger, qui se confond d'ailleurs sensiblement avec le mien ('), permet de tenir compte de ce que l'air est humide, mais non de ce qu'il est saturé. Nous croyons savoir, il est vrai, que les variations rapides de pression qui accompagnent la propagation du son dans une vapeur saturante n'y produisent aucune liquéfaction visible; mais rien ne nous autorise à admettre avec l'auteur que la vapeur sursaturée au moment de la compression (si tant est qu'elle ne se liquéfie pas du tout) ait un coefficient de compressibilité infiniment voisin de celui de la vapeur non saturnnte. La correction calculée par M. Violle n'est donc qu'un minimum (■-=). et nous ignorons, je le répète, jusqu'à <piei point elle convient. On voit seulement que la compressibilité s'exagérerait notablement pour peu que la liquéfaction intervînt.

» 3. Je n'ai point parlé de la correction sur y relative à la température parce qu'elle est inférieure à o"',i, et incertaine, comme les autres. Elle est d'ailleurs additive comme elles.

» En résumé, on peut affirmer que la correction totale à apporter au nombre de MM. Violle et Vautier est d'au moins o"',2 ; mais ou n'en peut fixer d'une manière certaine la limite supérieure. Si donc l'erreur expérimentale (si réduite qu'elle soit en raison des soins apportés à l'exécution même des mesures et à la discussion des observations) se trouvait être par

/a f/ (■) Ce fadeur 4/ -=- — i est oblejm en faisant successivement diverses approximations dans un calcul assez compliqué, fondé sur la formule de Clausius. Il s'écrit dans

ma notation :

Celui que j'emploie pour tenir compte ejcaclemenl de l'imperfection du gaz est

(ae — i)54-(3e — \){e — \) u

On voit que ces deux expressions se confondent, si l'on néglige z — y, et les termes en u et en y z. io~* vis-à-vis de z, ce qui est bien permis dans la présente application.

(*) Est-il bien certain que le rapport i^ qui figure dans la formule ne dépasse pas

1,001 à io°? On pourrait le supposer bien plus grand d'après les expériences de Re-

gnault à So^.S, où - = \ =i ,o4. S'il avait une telle valeur à i2°,5, la correction

sur la vitesse du son atteindrait o"', i au lieu de o'",oo3.

défaut, on s'approcherait beaucoup du nombre 33i",8 que j'ai adopté, et qui s'accorde d'une part avec les expériences de Rontgen sur y ('), et d'autre part avec celles de Regnault sur C et de M. Miculescu, par exemple, sur l'équivalent mécanique de la calorie.

» 4. Ce nombre admis est la moyenne entre celui de M. Wiillner corrigé et celui de M. Blaikley. L'erreur du premier ne doit pas dépasser -j-^, d'après les renseignements fournis par l'auteur. Pour qu'elle atteignît tj^j^ il faudrait que les valeurs exactes de N et \, au lieu .d'être plus ou moins voisines des moyennes expérimentales, eussent été toutes deux, en réalité, les plus petites valeurs observées.

« 5. A l'égard des expériences de M. Frot(^), je ferai seulement remarquer qu'une erreur de j~^ de seconde sur le temps correspondrait, dans les conditions de ses expériences, à une erreur de o"", 55 sur la vitesse du son. Il est regrettable que l'auteur n'ait pas opéré sur un espace plus considérable.

» 6. Enfin n'est-il pas établi que l'équivalent mécanique de la calorie est compris entre 4i8 et 4i9-io' C.G.S ? En y joignant la vitesse du son d'après MM. Violle et Vautier, on trouve aisément que la chaleur spécifique de l'air doit être 0,2 'ji 5 environ, au lieu de 0,2875 trouvé par Regnault (0,239 après la correction que j'ai indiquée). Il ne semble pas que l'erreur des expériences de Regnault puisse être aussi considérable. »

ÉLECTRICITÉ . — Influence de la pression sur la capacité initiale de polarisation . Note de M. A. Cuassy, présentée par M. Lippmann.

« MM. Cailletet et Collardeau ont montré qu'en comprimant un accumulateur à électrodes, en mousse de platine, on augmentait énormément sa capacité. Ce résultat est dû à rabsor[)tion par la mousse dos éléments de décomposition de l'eau. Ces éléments étant gazeux sont absorbés avec d'autant plus de facilité que la pression est plus grande.

(') Je profile de l'occasion pour corriger une erreur que j'ai commise dans mes deux dernières Notes {Comptes rendus, p. ôàg et 860). La valeur 8819. to* attribuée à la constante R suppose que l'on compte la température à partir de — 273° et non — 273°, 2. Il en résulte que les -.( calculés doivent être majorés de o, 001, et l'équivalent mécanique diminué de 0,8. 10^ C.G.S. On a en ce qui concerne l'air à 0° : y ^3 i ,4o5i, et l'on en déduit E = 4i8,6.io'.C.G.S.

(-) Comptes rendus, î'^ octobre 1898 (t. CXXVil, p. 611).