i — £)cosSvLog^ Ts

i'j.{v-v,) = {b,^ib-i{b-^b,)- ik]^^[-a + i(a^a,)\xy + {-b-^t{b^b,)\^

+ ■ . '\ ^r(i — 2€)('e — o)cosS — sinacosS — csinS]> - -cos(3 — x)

— (i — £)cosSi-Loe:^ — ?T^-

» On détermine les trois constantes u^, ('„, K en exprimant que le barrage est encastré, c'est-à-dire qu'au milieu de sa base, soit en appelant H

, ^ TT TT tauffS — tansra sa hauteur : pour y -= H, a: = H — ^j: '^y on a

dv

» Pour les calculs numériques, le coefficient d'élasticité E est donné en fonction de u. et s par la formule

') On prend habituellement s =^ x; d'où a = |E.

M Si le niveau de l'eau affleure la crête du barrage, A = o et les déplacements sont des fonctions du second degré de x ety. »

PHYSIQUE. — Sur l'entretien du mouvement pendulaire sans perturbation. Entretien du pendule géodésique. Note de M. G. Lippmanx.

« 1. Od sait que lorsque l'on entretient le mouvement d'un pendule, comme on le fait d'ordinaire, à l'aide d'un rouage d'horlogerie, la durée des oscillations est altérée : il y a perturbation. Suivant une remarque que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie ('), toute perturbation

(') Comptes rendus, t. CXXII; 1896.

( -6 ) disparaît, pourvu que l'on entretienne le mouvement par une série d'impulsions instantanées, alternativement égales et de signes contraires, imprimées au pendule successivement à la montée et à la descente. La position du pendule au moment de l'impulsion peut être quelconque, pourvu qu'elle soit la même pour deux impulsions successives. Dans ce cas, deux impulsions successives produisent des perturbations égales et de signe contraire et dont la somme est rigoureusement nulle.

M II est bon, par surcroît, de produire les impulsions au moment du passage parla position d'équilibre; les perturbations produites par chaque impulsion sont alors isolément nulles ('), ou du moins infiniment petites, et, en outre, en alternant leurs signes, on rend nulle leur somme algébrique.

). Dans le cas où l'inlervalle de temps ô qui sépare le passage par la position d'équilibre du moment où se produit l'impulsion, est très petit, on calcule la perturbation, simplement en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Soit j, l'élongation au moment de l'impulsion. Pendant le temps ô, la vitesse est constante et égale à la vitesse

maxima ^^) a étant l'amplitude maxima et T la période. On a donc

Avant l'impulsion, le mouvement du pendule pourrait être représenté par une sinusoïde amortie qui rencontre l'axe du temps en un point O, dont la distance à l'ordonnée y, est 9. Après l'impulsion, le mouvement est représenté par un arc de sinusoïde amortie, d'amplitude a', plus grande que a. Cet arc prolongé coupe l'axe du temps en un point O'; c'est-à-dire que le mouvement est le même que si le passage par la verticale avait eu lieu en O'. La perturbation est précisément égale à OO'. La distance du point O' à l'ordonnée j, est

Des équations (1) et (2) on tire

(') Lord Kelvin a construit une horloge dans laquelle les impulsions ont lieu au moment du passage par la verticale et dont le fouctionnemeiit est parfaitement

régulier.

( '7) Pour qu'il y ait entretien, il faut que l'accroissement d'amplitude à — a, du à l'impulsion, comprenne l'amortissement a; on a donc — '^^— =u.;

et finalement ou a pour valeur de la perturbation o, due à une impulsion unique

L'impulsion suivante, qui a lieu lorsque l'ordonnée /, est de nouveau atteinte, mais avec changement de signe de la vitesse, donne lieu à une perturbation o^ qui a même expression que 0, au signe près. Que l'on construise d'ailleurs la figure dans les deux cas : on obtient deux figures, symétriques l'une de l'autre par rapport à une ordonnée de la courbe. D'où

o, + Oo = o.

)) 2. On peut appliquer le même principe à l'entretien du pendule géodésique.

» Supposons ce pendule muni d'un aimant horizontal, qui pénètre dans une bobine d'entretien. Cette bobine reçoit les courants alternés qui servent en même temps à entretenir un balancier muni d'un contact électrique et qui s'entretient lui-même. Je dis que le pendule géodésique sera entretenu sans perturbation : il y a entretien, mais non synchronisation, lors même qu'il y aurait une petite difTérence entre les périodes du pendule et du balancier.

» En effet, une première impulsion produit une perturbation 9, = 2- —y..

A l'impulsion suivante, la perturbation est <po = — i~^<j.. Les èlougations

v, et jo ne sont pas identiques puisque les périodes sont diflerentes. On a y, ^ j, (i -I- e), £ étant une petite fraction; d'où

» Pour apprécier ce que vaut cette perturbation résiduelle, prenons un exemple numérique : Supposons les périodes égales au début à un millième près, c'est-à-dire £ = Soit — = — ; soit y. =: r— — > valeur

r ' 1000 a 100 ' aooi)