C. U , iSgS, 2' Semestre. (T. CXWH, N

( lo )

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Sur l'équilibre élastique d'un barrage en maçonnerie à section triangulaire. Noie de M. Maurice Lévy.

« 1. Dans ma Communication du 2 mai dernier, et dans d'autres écrits, j'ai dit que, pour un barrage de section triangulaire, l'emploi de la théorie mathématique de l'élasticité fournit une solution exacte pour les pressions élastiques et que cette solution se trouve être identique à celle que l'on obtient en appliquant la règle de Résistance des matériaux, dite du trapèze. Cette proposition suppose que le niveau de l'eau affleure la crête du barrage.

)) Lorsque le niveau est plus élevé, la théorie de l'élasticité fournit encore une solution exacte simple, mais qui n'est plus conforme à la règle dont il s'agit. Nous allons envisager ce cas plus général.

» Soient, respectivement, O le sommet supérieur de la section triangulaire du barrage, A le pied du parement amont, B le pied du parement aval, de sorte que AB est l'épaisseur à la base.

» Prenons le point O pour origine des coordonnées, l'axe Oa; étant horizontal et dirigé vers l'aval, l'axe Oy vertical descendant. Désignons par a. l'angle de fruit AOj du parement d'amont, par p l'angle de fruit jOB du parement d'aval, et, comme dans la. Communication du 2 mai 1898, nous désignerons par n,, / respectivement les composantes normale et tangentielle de la force élastique exercée sur un élément vertical de l'amont vers l'aval, et par n, t les composantes similaires de la force élastique exercée sur un élément horizontal, par la partie du barrage placée au-dessus de lui.

» Les trois forces inconnues n, n,, t doivent, comme nous l'avons dit dans la Note précitée, satisfaire d'abord aux trois équations différentielles

idn, dt dt dn ,

Ox dy Ô.V dy

Ao(/i + «,) = o,

k étant le poids spécifique de la maçonnerie. Nous prendrons le poids spécifique de l'eau pour unité, c'est-à-dire que, prenant le mètre pour unité de longueur, la tonne de iooo''s sera l'unité de force.

» D'autre part, si l'on envisage un élément linéaire ds, faisant l'angle i|( avec la verticale descendante, cet angle compté positivement des y vers

les X, les composantes /i., fy. de la force élasti([iie / qu'il supporte sont données par les expressions

( f.x=^ «1 cost]/ — t sini]/, \ fy.^i t cosJ/ — n sint|^.

» Si la force /est normale à l'élément ces expressions deviennent

, , i «. cosJ' — z sinJ/ = /"costL,

( wsin(|/ — icosij/ =y sini]/.

» Elles permettent d'exprimer les conditions sur les deux parements. Si h est la hauteur dont le niveau de l'eau dépasse la crête O du barrage, la pression normale de l'eau sur un point de la paroi d'amont dont l'ordonnée est y est : /= y -^ h. Sur la paroi d'aval, elle est/ = o. Donc les conditions sur les parois sont :

» i" Paroi d'amont. — Pour 1]/ = — xow x = ~ y tanga, on doit avoir

i /z, cosa -4- t sina =^ ( y -^ h) cosa, ( n sino, + ^ cosoc = (y + A) sina.

» 2" Paroi d'aval. — Pour A =: p ou a; := j tangp ( n, cosp — t. sinp = o.

n sinp — icosp

» 2. Cas où le niveau de l'eau affleure la crête du barrage. — Supposons d'abord h = o. Je dis qu'alors la loi du trapèze s'applique, c'est-à-dire que n sera linéaire en x. Le moyen le plus simple de le montrer est d'appliquer cette loi, suivant les formules générales données dans notre Communication du 5 août 1895 et qui, ici, deviennent naturellement très simples. Si nous appelons n", n\, t" ce que deviennent n, n,, l dans ce cas particulier, on trouve :

» a. Quand le parement amont est vertical

/ «"= (X; — cot-fi)j-+-Qa.-,

' t =: JJCOt-p,

OÙ l'on a posé pour abréger

(5') Q = 2COt'p — i5;cotp;

( '2 ) >> b. Si le parement d'amont est quelconque

«" = \k + ; 'P^ Q(tangp - tan-a)1 { + Qx,

+ l£!lg!? r^. + \^^"g°' + Q(lang|i + 3 tangoc)] j, 2 L tangp + tanga ^^ *' '^ " •'J'^

/"= tangStanga Q + ; 5-^— — — j

o^ L tangp + tango J-^

+ [x- ^^ + Q(tang|3 - tanga)] f ,

L tangp+tangc! ^ \ o i^ ^ J2

en posant, pour abréger /C'\ n— — Alangsp + (A- — Olang^a— 3 tangPtanga + 2

Q a la même signification que dans la Note du 5 mai iSgS, mais se réduit

ici à une constante, tandis que, dans le cas général, c'est une fonction de j.

» On vérifie facilement que ces expressions mises à la place de n, n,, t,

satisfont bien aux conditions ( i ), (3) et (4), du problème. On voit d'ailleurs

qu'ici la pression n = n" sur une assise horizontale est non seulement

linéaire en x, ce qui est la règle du trapèze, mais que les trois forces

inconnues sont linéaires et homogènes à la fois en x et j.

» Si l'on pose

y = rcoscp, ir = /sincp,

définissant la position d'un point par ses coordonnées polaires et qu'on porte ces valeurs de n = n", n, = n°, 1 = 1" dans les expressions de fj-, fy, on voit que r sera partout en facteur, et l'on arrive à cette proposition :

» Si, dans une section issue de l'arête supérieure O d'un barrage triangulaire, on envisage des éléments superficiels parallèles, les forces élastiques f qu'elles supportent sont elles-mêmes parallèles et leurs grandeurs sont proportionnelles aux distances r des éléments considérés à la crête du barrage.

» 3. Cas où le niveau dépasse la crête. — Supposons à présent que le niveau dépasse la crête du barrage d'une hauteur h. Posons alors

«'"', «"", <*"' ayant les valeurs ci-dessus trouvées. Les nouvelles inconnues «'•', «'", i''' devront alors satisfaire aux équations différentielles (i) privées

( '3 ) du second membre k et aux conditions aux parois (3) et (4) après qu'on aura enlevé du second membre le terme y. On voit de suite qu'on pourra satisfaire à toutes ces conditions en prenant pour les inconnues des fonctions

homogènes et de degré zéro, c'est-à-dire des fonctions du rapport - ou, si

l'on veut, de l'angle polaire 9. Car de telles fonctions se réduisent bien à des constantes sur les parois, comme cela est exigé. En faisant en sorte de satisfaire aux équations (i) et d'obtenir les constantes h ou o indiquées par les équations (3) et (4) privées du terme j', on obtient les expressions suivantes, que l'on vérifie aisément satisfaire aux conditions indiquées : » a. Si le parement amont est vertical

1 «'''= ; i5 âi^ — o — sinmcosç),

(7) \ <"= tan^3-B^^ ~ ? "*" sincpcoso - tangp),

tangp-p' h sin'o

langp-p' b. Si le parement amont est quelconque et si l'on fait, pour abréger.

on obtient

«"' = -^r-^^ s ^[(3 — o — sincpcosa))cos(5 — sinacosS],

(7') { "V = ~^^^ ^ ^f(P — 0 -f- sinçcos9)cos8 — sinScosa],

0 coso '

/( rcos2ocoso — cos(!3 — a)~

0 coso

» T.es équations (6), où les seconds membres sont donnés par les expressions (4), (4') ou (5), (5') et (7) ou (7), fournissent n, n,, t. On en tire, par les équations (2), la force élastique /sur n'importe quel élément d'inclinaison | sur la verticale. Si l'on veut les composantes normale et tangentielle/,; ety, de /au lieu de celles/^.,/,, on a

Jn = 1 COS21J/ — ^Sm2lj/,

Jt = -^ Sin2l]/ -I- /COS24'.

» Les forces «'*', «,", /''' restent constantes le long d'une section radiale

( '4 ) ou issue de la crête O du barrage. Il s'ensuit que, dans le cas que nous considérons ici, le théorème de la fin du § 2 se modifierait en ce que les forces élastiques agissant sur les éléments parallèles qu'on y considère, au lieu de varier proportionnellement à /•, varient linéairement avec cette grandeur.

» Observations. — On voit que si h n'est pas nul, n ne varie plus linéairement avec X. La loi du trapèze ne s'applique plus et si h était considérable, celte loi serait sans doute en défaut d'une façon très appréciable. Nos formules permettent de faire facilement les calculs numériques nécessaires pour s'en rendre compte.

« Si h devenait négatif, c'est-à-dire si le niveau descendait au-dessous de la crête, nos formules ne s'appliqueraient plus.

)) Le problème pourrait sans doute être encore résolu exactement, mais par l'emploi de séries.

» 4. Déplacements élastiques. — Ayant les forces élastiques n, n,, t, il est facile d'en déduire le déplacement élastique de chaque point et, par conséquent, d'obtenir la flèche du barrage.

» Les formules de l'élasticité donnent, en appelant (i et e deux coefficients relatifs à l'élasticité de la maçonnerie, et m et (^ les composantes horizontale et verticale du déplacement élastique d'un point :

du , ,

(du di'\

» Posons, pour abréger,

les constantes a, b, a,, b, étant données par les formules (5).

» Les trois équations (9), entre les deux seules inconnues u et p. sont toujours compatibles et l'on obtient, en appelant u,,, v,,, R trois constantes d'intégration doat la première représente la flèche que prend le barrage, c'est-à-dire le déplacement horizontal de son sommet O, et la

( i5 ) seconde son déplacement vertical :

H — ^^;^ s ^ \(i — seVS — o)cosâ — sin3 cosa + ssinSla; — -cos(fi — x)

sino — ocoso"-^ -\i ./ ' j 2 ^