C.R., 189S, 1' Semestre. (T. CXXVII, N

GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les groupes conlinus de momcmenls d'une variété quelconque à Irais dimensions; Note de M. G. Kicci, présentée par M. Darboux.

« Riemann nous a appris à juger de la courbure d'une variété quelconque V, dans le voisinage d'un point P, d'après la courbure de Gaussen P, de toute surface géodésique conduite dans V et passant par ce point. S'il s'agit d'une variété à trois dimensions, j'appellerai courbure rieniannicnne de V dans un point quelconque P(a',, x.,, x.^) et dans la direction /, qui va de P au point (pcy + dx^ , x., + dx.,, x^ + dx,^), la courbure totale de la surface géodésique conduite dans Y par P orthogonalement à /. Dans ce cas, on a une expression bien simple de cette courbure, que je désignerai par R.

» Le numérateur de l'expression donnée par Riemann pour la courbure de Gauss de toute surface géodésique passant par P dépend de certains coefficients, qu'il désigne par les symboles (ce', c"c"' ). Si l'on convient de considérer comme équivalents les nombres congrus par rapport à 3, ceux parmi ces coefficients qui ne sont pas nuls peuvent être réduits, au signe près, au type (r + \ , r -\- -j.; s -\- \ , s -\- i) .

» Soient

ds' ^=2\ ^'rs 'l-^'r dXs^ O

l'expression en coordonnées générales du carré de l'élément linéaire de V, a le discriminant de cp, et posons

(i'-';s = '^"r'"'ii(P + i,/^ + :i, y + I, c/ + 2), - /"/

i =^^o.,,dx,dx,.

» On aura

» Puisque les a„ sont symétriques par rapport à leurs indices, l'équation

V ± (x,| H- ''-"«i iVa.. + L->a.,.^)(y..y., ■+- wrtj;,) = i)

a toutes ses racines réelles. Cette équation ayant un caractère invariantif, j'appellerai ses racines invariants principaux de la variété V. Si a est un de ces invariants, les équations

2('/„+ (àa„)d.v,= o

déterminent une ou plusieurs directions, qui partent d'un point quelconque P de V, et que j'appellerai directions ou directions principales déterminées par l'invariant oj.

« Le problème qui a pour but de déterminer les conditions d'existence et les transformations infinitésimales génératrices du groupe continu de mouvements sans déformation d'une variété V à trois dimensions est intimement lié aux propriétés de ses invariants principaux et des directions principales correspondantes. J'ai résolu ce problème, mais je dois me borner ici à énoncer quelques-uns des résultats de ma recherche.

» On voit d'abord que les invariants principaux de V sont aussi des invariants du groupe G et il s'ensuit que, pour que le groupe G soit transitif, il est nécessaire que les invariants principaux V soient constants.

» Cette condition étant satisfaite, supposons d'abord que les trois invariants principaux, que l'on pourra désigner par co,, w^, w.,, soient égaux. C'est le cas des espaces à courbure constante et l'on sait depuis longtemps que c'est aussi le seul cas dans lequel le groupe G est à six paramètres.

» Supposons, en second lieu, f>2 = w, !;w, et ^oienl dx^, dx.,, dx^ les incréments à donner à r,, x.^. .r\, pour que le point déterminé par ces coordonnées se déplace dans la direction principale déterminée par l'invavariant o),. Posons

{p,s) étant les coefficients bien connus de Christoffel. Pour que le groupe G soit à quatre paramètres, il faut et il suffit que l'on ait les identités

V = C(«,.,.- VV), >,..,.+ , = C(a,,^, — lrK+, ) -H c v'aX"'^^', 7,,.,^, = C(a„+o - V>v+2) — ^ s/al'"*", C et c étant constantes.

( '346 ) » Si ces conditions ne sont pas remplies V peut comporter un groupe G à trois paramètres au plus.

» Enfin, supposons w,, la^, 0J3 tous distincts entre eux et désignons respectivement par dx^, Dx\, S;r,. les incréments des .r, selon les directions principales correspondant à 10,, «jj, oj.,. En conservant les notations (i), posons encore

(;•) P'E^ in '^■^i-

et désignons par ij.,.^ et v„ ce que deviennent les \s 6n substituant respectivement dans leurs expressions les jx""* et les v""' aux X""'. » Les expressions

V „ in AS) -.

i^vC'vf^) u.,,.

qui ont une signification cinématique assez simple, sont des invariants de G. On a un groupe transitif à trois paramètres, si ces invariants sont tous constants, et dans ce cas seulement. »

GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les imariants dijfèrenlieis d'un système de m + \ points par rapport aux transformations projectiles. Note de M. I).-0. LovETT, présentée par M. Darboux.

M On sait que, dans ses travaux sur la théorie des groupes continus, M. Lie a montré qu'à tout groupe de transformations correspondent certaines séries d'invariants différentiels définis comme solutions de certains systèmes comj)lets. Ces systèmes complets sont formés eu égalant à zéro les prolongements des transformations infinitésimales qui engendrent le groupe.

» D'après la théorie générale de Lie, le deuxième prolongement

delà translormation infinitésimale

( '^47 ) est déterminé par les équations

l)Xi^--- ;,^/,

.Ir.—P" P'J— dXidXj

Soient

ir''', t"= o, I , . . ., m.

les coordonnées d'un système de m-f-i points dans l'espace à « -+- 1 dimensions, et X,'y, Xiy, .... les deuxièmes prolongements des (/? -i- i j(« -t- 3) transformations ponctuelles infinitésimales indépea<lantes,

/-^ df df V. '^Z' • ■ /

^ ■' d-Tj ' o.i-j J ^^ " O.i^ ■'

qui engendrent le groupe projectif général dans l'espace à /? -t- i dimensions.

» Tous invariants différentiels du second ordre du système (4) sont solutions du système complet des équations aux dériyées partielles du second ordre

où \^'jf \i représente le résultat du remplacement, dans X^, île x\ r„

respectivement par x^ , . . ., x'^ .

» L'étude de ce système complet (G) ( ' ) montre que les m -\- i fonctions

' Z^ I ni n"'l n'il M « [ '

(') ^oi^ ma Note dans le numéro d'aoùl 1898, du Bulletin des Sciences matliéniatiqiies. de MM. Darboux. et Tannery.

sont invariantes par rapport aux transformations du groupe projectif général dans l'espace h 71 -h i dimensions. » En notant que la relation (' )

(8) (-^)i>;.' KJ=<iy+i'(/'yTr'

existe, où G, est la courbure gaussienne telle qu'elle a été généralisée par Rronecker (-), il est aisé d'obtenir l'interprétation géométrique suivante des invariants :

)) Prenez »i + i hvpersurfaces arbitrairement choisies, sauf qu'une de ces hypersurfaces doit passer par chacun des m -h i points du système (4);

soient P,-, P/,, H,, H;;., respectivement les points (.r'J' '^L')» (■'^T' • • ■< ^t)

et les hypersurfaces par ces points; joignez P^ par lignes droites à tous les autres points du système (4); soient 9, l'angle entre la normale à H;; en P;; et la droite P,Pa, 9, l'angle entre la droite P,Pa et la normale à H, en P,, et p,,,, .... p, „ les rayons de courbure principaux de H, en P, ; les expressions (■y) montrent donc que les formes

I I p, , cos"^'-cf),- . /• = o, I m

sont constantes absolues.

» Si les m + i points se trouvent simultanément sur une droite et sur une hypersurface du (w + j^ieme degré, on a

JJ P'-.y COS"^

'> En employant des recherches ( ') de Casorati et de von Lilienthal dans la théorie de la courbure, les interprétations géométriques des invariants (7) peuvent être variées; ces autres formes, tout à fait simples dans l'espace à trois dimensions, sont très compliquées pour l'espace à dimensions plus hautes; ce fait est une autre confirmation de l'opinion (*) de

(') BiEZ, Malhematische Annale/). Bd.VII.

(-) Kro:^t.ckf.r, Berichle der Bertiner Afcadcrnic der Wixscnscliaften. 18G9.

(^) Acla malhematica, t. XIV et XVI.

(') Darbol'x, Leçons xiir la théorie f;i}nérale des surfaces, t. II, p. 365.

( Mu )

M. Darboux qui a caraclérisé la courbure totale de Gauss comme la notion la plus importante pour la courbure en Géométrie. »

GÉOMÉTRIE. ■ — Su/ la représenta lion conforme des variétés à trois dimensions. Note de M. Emile Cottox, présentée par M. Darboux.

« I. Une variété à n dimensions est définie si l'on se donne l'ensemble de n variables Xi et d'une forme quadratique de leurs différentielles, à discriminant différent de zéro (le ds- de la variété). Deux variétés à n àimensions, JT, </5" ; r', (/y -, sont dites applicables s il est possible de déterminer les j:- en fonction des x', de telle sorte que la substitution correspondante transforme ds- en ds'-. Deux variétés sont représentables conformément l'une sur l'autre s'il est possible de déterminer les x en fonction des v', de telle sorte que ds- se transforme en ds"- à un facteur près indépendant des difiérentielles.

» On sait jiar quelle suite d'opérations algébriques et de dérivations on peut reconnaître si deux variétés quelconques sont applicables l'une sur l'autre ('). Je me propose de montrer ici comment le problème de la représentation conforme des variétés à trois dimensions se ramène au précédent. D'une façon plus précise : à toute variété à trois dimensions, il est possible d'en adjoindre une autre, que nous appellerons variété principale, ne différant de la précédente que par le ds-. Si deux variétés sont représentables conformément l'une sur Vautre, leurs variétés principales sont applicables et réciproquement. La détermination de cette variété principale se fait par des opérations toujours effectuables.

» II. Soient ds- =: ^ a,i dx^ dx j un ds- à trois variables, p une fonction

quelconque de ces trois variables, A le discriminant de ds- . Considérons la forme r/c- = f- ds'- , et calculons, pour cette forme d'-r, le covariant que M. Christoffel, dans le Mémoire cité, désigne par T. On peut former six combinaisons A^,, linéaires et homogènes par rapport aux coefficients k^^ de r, et constituées de la façon suivante : Posons R = logi. L'expres-

sion A„„ comprend le terme ^s — , augmenté d'une fonction entière par

rapport aux dérivées du premier ordre de R et aux dérivées des coefficients a^j de ds-, rationnelle par rapport aux «,y.

(') ^ oir CiiRiSTOïFEL, Journal de C relie, l. 70.

» ElTccluons un changement de variables, en désignant par les mêmes notations, suivies d'accents, les éléments construits à partir du second système de variables. L'expression des A' en fonction des A montre que ;

» La forme quadratique de différeiUielles : "ki^dx) = /^ A p^ dx^ dx^ est un covariant de dn'^ .

» III. Les coefficients de 'k(dx) dépendent encore de R, mais on peut former un covariant de d/^^ indépendant de R. Pour cela, rappelons que de tout système de deux formes quadratiques de différentielles covariantes il est possible de déduire un covariant cubique (à trois systèmes différents de différentielles) ('). Appliquons ce résultat à d^- et à 'k(dx). La forme cubique obtenue ne dépend plus de R (ou de p). Je l'ai vérifié en prenant, ce

qui est toujours possible, pour ds^ la forme ^Hj'rf.r]'. Les calculs auxquels

on est conduit sont ceux qui donnent les résultats indiqués dans une Note ])récé(lente (-). En résumé :

» A tout ds' à trois variables est attaché un covariant cubique de différentielles. Ce covariant reste inaltéré si l'on multiplie ds- par une fonction quelconque des trois variables.

» On vérifie aisément que ce covariant est ide/itiquement nul pour toute variété représentable conformément sur l'espace euclidien ordinaire, et réciproquement.

« IV. Dans le cas général, le covariant n'est pas identiquement nul; on peut en grouper les termes de manière à lui donner la forme

C (r/.r , \v, D.r) = ^^ C^ (,-y, Dj-^ (</j:-, %x j — dxj S.r, ).

La sommation s'étend aux valeurs i, 2, 3 de l'indice À' et aux combinaisons différentes (ij) des indices i, 2, 3 pris deux à deux. Ce covariant est donc une forme bilinéaire des variables Dx/, et dx^^Xj — dxj ^x^. (Ces variables s'expriment d'ailleurs linéairement en fonction des expressions correspondantes relatives aux x' .) Mais il est facile de voir que

dXf dx., dx.f

T{dx,^x,'Dx) = p\l ^cc, ^x^ ?>x,

Dx, Dx.^ T)x.j

(') Voir L. BiANCHi, Lezioni di Geomel.ria dillereitziale, j). J3. (-) Comptes ri iidus. 36 juillet 1897.