Développons cette marche pour le sphéro-nautile

Je commence par rappeler les formules obtenues à son sujet, en me contentant de représenter dans chacune d'elles par des abréviations Ci, Cj, . . ., les diverses constantes dont nous possédons explicitement l'expression en fonction de a et b\ ainsi que par Fi, Fa, . . ., diverses fonctions également connues.

Nous avons trouvé au N° 141

(139 bis) À = rcosrtsin*£ = Cir ,

(140 bis) k = r sin b j/l — cos* a sin 2 b =* C%r ,

(,41 bis) H = r 1-cos« a sin«*

' cos a

(144 bis) ri = r V^sin* a + cos 2 a cos 4 b = C*r ,

/«;tu\ a a • / sin a cos a sin 2 A \

(145 bis) — 0! = arc sin ( — ) = C$

\ /sin t a"+ cos * a cos 4 b)

et enfin (N° 163)

(166 bis) sinMinO = ~-cos(a + 6~6 i ),

= C4 jr c° s (« + C5) = C 6 ^- ,

»« ^ Car

tanff MjnO = — — .-=--.---=, & V/R*-C 6 V 2

(165 bis) tangMi7iMî =

l/it 1 - R 2 tang 2 X \/ Cj V* - R 2 tang 2 X L'équation différentielle devient d'après cela

(164 bis) R ' /w = r ° 3 * /Ri ~ C6V '- C6 /Ci"^- ^tang'X

rf R C 3 C 6 r 2 + v/(K* - C 6 2 r 2 ) (C2V 1 - R 2 long* X) Représentons la en abrégé par R</o>

Fi(r,R,X),

Elle renferme encore par le facteur r, en outre des coordonnées R, (o, X. Mais nous possdéons deux expressions de ce paramètre (N° 138) a savoir

(137 bis) = tanff a Loff \ : —. \ v^sin 2 a cos 2 X 4- cos 2 a cos 2 b

v ° D COS A>COS 2 L

— v/cos 2 a ^ os * X — sin 2 « cos 2 i] > = F* (H , X) ,

ainsi que

(138 bis) - to + arc sin (-^J v/cos 2 X- i:os*â\ = <o + F 3 (X).

\ cos K J

Cette dernière nous permet de chasser transitoircment <« pour conserver seulement X. Elle donne en effet

,/<,) = ,/0 - F' 3 (X) d\ = ( ?*± dR + ^ d}) - F' 3 (X) dX .

Il vient d'après cela, en reportant ces valeurs dans Fj

^.F,[, A ™\ R,X] = f R ?-rfA+[Ç-F'3(X)]rfX ) c'est-à-dire définitivement

équation différentielle du premier ordre et du premier degré entre R, X, rfR, d\.

Si on la suppose intégrée, avec une constante C, et qu'on l'adjoigne a l'équation du sphéro-nautile

qui résulte de (137 bis) et (138 bis), ou possédera les deux équations de la seconde famille de lignes de courbure. Si Ton désire en particulier celle de la projection équatoriale dont nous nous sommes écartés momentanément, elle résulterait de l'élimination de X entre ces deux relations.

La complication des calculs que nous venons d'esquisser semble à bon droit décourageante. Nous pouvons tout au moins présenter la solution complète ponr le cas du sphéro-nautile équiradial. Et cela suffira sans doute; car la netteté des propriétés relatives à ce cas jette une grande clarté sur l'allure de ces courbes dans les conditions générales.

167. Commençons par envisager la question pour des sphérales équiradiales de directrice quelconque.

Il nous suffirait a cet égard de supposer B = 1 dans les résultats précédents, mais nous arriverons plus directement par la considération de la figure 24 spéciale à ce cas.

Fig. 24

Elle nous donne immédiatement

Rrft» „ M,Mî H H

-rfîT =ttang0wM '-lM- = 0«-OM, " R-^rsin*

On a d'ailleurs

h = MMi = r cos a ,

k = OM| = r sin a ,

# sin*« H = -y- = r ,

- a cos a

et par conséquent

ïWa> r sin*

û^K cos a (K — : r sin a) * Nous avons encore (120)

Sin a = — ;:L^ T -^rr . COS :