F' FH-Ï 7 "* ' V*=U F

Elle aura pour intégrale

Le problème se trouve donc ramené aux quadratures, et il ne restera plus qu'a éliminer dans chaque cas entre les deux équations

(168) j C-fY.--"»*

F % œ-fl + arctang^ — y.

Si cette élimination reste impossible, nous possédons tout au moins les expressions explicites des deux coordonnées R,o) en fonction du paramètre auxiliaire 0.

168. Appliquons cette théorie au sphéro-na utile équiradial, en traitant a comme une constante

F = ^ 6 , F' = A* AÔ ,

F* + F'2 = 4^-; F* + 2F'« — FP" = -r-3-, sin* a sin 2 a

U = A, /U</0 = A0, sina sin*a

sin* a J 2 sin a *

u sin* a J

\ 2 sin a/

-ÎAÔ

2 sin a K j

et enfin

2 sin a

Pour C = 0, l'on retrouve la spirale (147) trace équatoriale de celte sphérale-, et pour C=<x> , le pôle lui-même, auquel se réduit, ainsi que nous l'avons vu (N° 145), la seconde spiraletrace.

Avec toute autre valeur du paramètre C, on voit que R s'annule pour u> = + ao. La ligne de courbure est donc, dans ses deux sens, asymptote au pôle.

Elle comporte d'après cela un maximum d'éloignement de ce point, c'est-à-dire de la valeur de R, ou un minimum de son dénominateur. Et en effet le produit des deux termes qui le. composent étant constant, leur somme atteint ce minimum au moment de leur égalité

Si donc, au lieu de C, nous adoptons pour constituer le paramètre arbitraire de la seconde famille des lignes de courbure, cet azimut a> du sommet de la courbe, l'équation deviendra, en y remplaçant C par sa valeur

2sina.X^ + T +a ) (170) R= , : — r — %r %

v J e a(w - to ) | ^a(u> - o> )

L'expression Ro du rayon maximum est d'après cela (pour

"(171) Ro-Mha.. A ("» + T— ).

Cette équation, si l'on y envisage Ro et a> comme des coordonnées courantes, représente le lieu géométrique des sommets. On y recounait celle de la projection de la ligne de faîte

Supposons que, pour étudier en son particulier chacune des lignes de courbure, on la rapporte à un axe polaire spécial pour elle, et passant par son sommet, il faudra it prendre à cet effet comme coordonnée a zi mu la le

Q = CD — (o ,

en déplaçant de l'angle o> l'ancien axe polaire. L'équation de la projection prend alors cette forme très simple

C'est celle de la spirale de Poinsot, ou de la projection de Vherpolhodie-limite qui correspond au cas où la distance du plan fixe au centre de l'ellipsoïde générateur est égale au demiaxe moyen de ce dernier.

La famille des secondes lignes de courbure du sphéro-nautile équiradial a donc la même projection équatoriale que ces herpolhodies spéciales, de rayons maxima gradués et disposés dans des directions progressivement variables.

La disposition des lignes de courbure elles-mêmes sur la surface devient dès lors très nette. En son point le plus élevé, chaque caractéristique est traversée normalement, et parallèlement à l'équateur par une de ces lignes, qui plonge à partir de là sur les deux versants, pour y serpenter d'une manière spiraloïde, asymptotiquement a l'équateur et au pôle.

169* Prenons comme second exemple la spirale sinusoïde

r n « cos nO ,

F=cos n »Ô, F'= — cos n nÔs'mnd, F" = (sin* »0— n) côs n nO, A-10* X R 4822

- 7 « - cot nd , /F« + F' 2 = cos » nd ,

pa^F'* — FF"*=(n+l)cos > n0,

U = — (n+ I)tangn0, /U</0 = — — Logcosnfl,

^ = cos n rar ,

V=—(w+l)sinn»cos n w0, V* J =— (n+l)siii7i0cos n n0,

/ vr^ Udô </0 = - y cos" 2 ^" nd .

> C + -s-côs n n0 L

— = cos n nO I

et enfin

*±i 2 cos n n0 R =

1 + 2C cos w w0 On a d'autre part (124)

) — o> = — nd ,

F' tang (0 — u>) = -=- = — tang n0 ,

n + 1 et par conséquent l'équation définitive

2cos n { m )

2CcOS 2(tt n 4 )(--^ T Co) + l

Pour C = 0, Ton retrouve la trace horizontale (128) de la spliérale.