F2 + 2F' 2 - FF

/Uc/0 = (n+l)Log0-Log(V/0 2 + n 2 ), Jurf6 == 0^ 1

v/ UrfÔ - n (02 + n* + n) 0-* n ~ 3 ,

fl2 + n 2 **- 20*^"* et enfin

Il arrive donc cette circonstance singulière que l'intégration vient de réussir, quelque soit n, tandis que ce n'est que pour un nombre limité de cas spéciaux, bien qu'assez notable, que la résolvante (129) se prête à nous procurer l'équation de la spbérale. Contentons nous de rappeler les deux plus simples.

L'hypothèse n = nous fournit une vérification. En effet elle indique comme directrice le cercle R = 1 . La sphérale est donc un tore équiradial. Ses secondes lignes de courbure sont ses parallèles. Or la résolvante (129) donne ici = 0, ce qui réduit

à R = — l'équation (113), et fournit ainsi en effet la famille des \j

cercles appelés parallèles.

Pour obtenir un résultat nouveau, prenons encore la valeur

n = — 1 , qui correspond a la spirale hyperbolique. Nous avons

déterminé sa sphérale équiradiale (132). L'équation (173) donne

alors

et l'on en déduit la valeur

(174) 0»y/^(2C4-l)±-|\/RJ- 2C '

qu'il suffit de substituer dans la formule (130), pour obtenir, entre K et o>, la projection équatoriale des lignes de courbure.

171. Les sphérales équiradiales jouissent, pour leurs lignes de courbure, d'une importante propriété.

Marquons (fig. 25) en OAC, OA'iC'i, OA" 2 C" 2 , ..., une

suite de caractéristiques infiniment voisines. Ramenons les toutes au moyen de rotations C'iCi, C2C2, . . . , autour de l'axe zénithal, dans un même plan méridien en OAC, OAjQ, OA2C2, .... Traçons dans ce plan la trajectoire orthogonale NNiNaN3 ... de ces nouveaux cercles, et cherchons la relation de cette courbe avec la ligne de courbure NN'iN'^N"^ . . .

Le premier élément NNi est mené de N normalement à OAj, c'est-à-dire suivant le rayon .NN1C1. Le second sera NjN* dirigé suivant le rayon N4N2C2 du cercle consécutif, et ainsi de suite. Envisageons le plan TiNiN'j formé par la tangente N{Ti de la circonférence OQAi et Tare NiN'i de la rotation qui amènerait cette dernière dans sa véritable situation OC'iA'i. Cet arc élémentaire est normal au méridien ZOA, par suite à NN*. D'autre part le rayon NNiCi est perpendiculaire à la tangente NiTj. Donc NN| est abaissé de N perpendiculairement au plan TiNiN'i ; en second lieu, à partir de Ni l'on îuéne dans ce plan NiN'i

normal à la tangente N'jT'i de la ligne de courbure située dans ce même plan. D'après le théorème des trois perpendiculaires, NN'i sera normal à N'iT'i, et devient dès lors l'élément de cette ligne qui doit, sur la surface, couper orthogonalement les caractéristiques. La relation du rayon vecteur de l'espace ON'i avec sa latitude N'iOA'i est donc, pour cette courbe, la même que celle des éléments correspondants ONi etNiOAi de la trajectoire plane, puisqu'ils sont respectivement égaux En d'autres termes, l'équation entre R et X de la ligne de courbure (à joindre a celle de la sphérale pour représenter cette ligne) ne diffère pas de celle de la trajectoire plane qui relie ces mêmes éléments. Or celle-ci' est immuable, et il suffit de la trouver une fois pour toutes; par conséquent elle reste la menu pour toutes las sphêrales équiradiales , quelle que soit leur directrice.

Rien de plus simple d'ailleurs que de déterminer cette trajectoire orthogonale des cercles qui, dans un même plan, passent par l'origine et ont leurs centres sur l'axe des abscisse. Ce sont les circonférences qui passent à l'origine et ont leurs centres sur l'axe des ordonnées. 'Traçons en effet (fig. 26) deux semblables cercles, ayant leurs centres en P et Q, et se coupant en N. Joignous NP, NQ, PQ. Les triangles PQN, PQO sont égaux comme ayant leurs trois côtés respectivement égaux. L'angle N est donc droit, comme Test l'angle O. Par suite le rayon de l'un des cercles est perpendiculaire à celui F, £* 6

de l'autre, c'est-à-dire tangent à ce dernier. Les deux circonférences sont dès lors orthogonales.

172. Désignons par C le rayon OQ de l'un de ces cercles, on aura pour son rayon vecteur de l'espace

p = ON = 20Q cos QON = 2C sin X .

Mais d'autre part le rayon vecteur horizontal a pour valeur

R = On = p cos X = 2C sin X cos X = C sin 2X .

Telle est l'équation qui, sur une sphérale équiradiale quelconque, relie les coordonnées R, X de la seconde ligne de courbure, et qu'il suffit de joindre à celle de la sphérale pour

représenter celle courbe. Or elle appartient à une sphère de rayon C, tangente a l'équatcur au pôle. On obtient donc, pour une sphérale équiradiale quelconque, toutes les lignes de courbure du second système en la coupant par la famille des sphères qui passent au pôle tangentiellement à l'équateur.

Pour avoir la ligne de courbure qui passe en un point déterminé N de la sphérale, c'est-à-dire le centre de la sphère qui doit la contenir, il suffit de couper Taxe zénithal par le plan normal à cette courbe, à savoir le plan perpendiculaire à la génératrice NMj du cône circonscrit.

On peut d'après cela déduire l'équation de la ligne de courbure de celle de la sphérale, en y remplaçant X par la valeur ci-dessus

(175) sin2X = ^.

D'ailleurs la latitude ne figure dans la formule (123) (d'où découle dans chaque cas l'équation de la sphérale elle-même) que

par le facteur — ^y , qui prend la valeur

JL COS A

(ne) wx R CR

R 1+/Ï — «n'SX C+/C*— R*

De la cette double conclusion:

1° L'on peut, si l'on possède l'équation de la sphérale équiradiale, éviter la double quadrature de la méthode précédente (N° 166), en se bornant a effectuer dans cette équation la substitution (116), qui procurera, entre Retw, l'équation de la projection horizontale de la seconde famille, de paramètre C.

2° On peut inversement, s'il est impossible de déduire des formules (123) par élimination l'équation de la sphérale, ou si elle semble exiger des calculs plus compliqués, employer la méthode de la double quadrature pour obtenir entre R, o>, C l'équation équatoriale des lignes de courbure, puis alors y effectuer la substitution inverse (175)

sin2X pour avoir entre R, a>, X l'équation de la sphérale.

Nous trouvons trois vérifications de ces deux énoncés en/ opérant, dans l'un et l'autre sens, le passage mutuel entre (127) et (172), (132) et (174), (146) et (169).

173. Je tiens a présenter en outre un exemple direct de la recherche des lignes de courbure sans intégration.

Envisageons pour cela comme directrice la spirale de Poinsot (N° 157)

Je saisis auparavant cette occasion pour indiquer d'une manière générale (*) comment l'introduction dans nos formules de l'inverse du rayon vecteur (qui nous a déjà parmis de simplifier la question du cône circonscrit) peut procurer le même avantage dans les formules fondamentales (123) pour la recherche de l'équation d'une sphérale équi radia le.

Si nous prenons l'équation (106) de la directrice sous la forme

en introduisant en outre la quantité auxiliaire

cos*X

les formules (123) deviennent

cos(0-a>)--^-, 8in(9-a>) — -gj-.

En ajoutant les carrés, nous obtenons une relation indépendante de eu

/* + /•'* = 4**, et en divisant membre à membre, une formule indépendante

(i) Voy N° 147, note 1.

de v, c'est-a-dire de R et X

tang(0 — a>) = — ly.