Terminons cette longue étude par la propriété suivante

La surface réciproque d'un sphéro-cêrite vectoriel quelconque par rapport à son pôle est un sphéro-cêrite égal, mais de sens interverti.

Appliquons en effet le théorème fondamental du N° 116. La réciproque de la cônhélice directrice sera une conhélice symétrique, puisque ce mode de transformation conserve les angles. La nouvelle directrice, qui doit lui être semblable, sera donc une conhélice identique à celle-ci, mais déviée sur son cône. Quant au rapport vectoriel, on sait qu'il est conservé sans altération.

Plus généralement, enveloppons le plan d'une spirale logarithmique sur un cône quelconque, (et non plus de révolution), ayant son sommet au pôle de cette courbe. Traçons sur ce cône la transformée par rayons vecteurs réciproques de la ligne gauche ainsi obtenue, puis une ligne homothétique de celle-ci. Enfin développons la surface conique. Cette dernière courbe se transformera en une nouvelle spirale logarithmique égale a la première, mais de sens contraire. En effet l'enroulement, la transformation, l'homothétie, le déroulement constituent quatre opérations qui conservent les angles. Celui de la courbe avec son rayon vecteur doit donc rester constant.

Construisons maintenant, pour les deux lignes coniques comme directrices, avec un même module vectoriel, deux sphérales. Ces deux surfaces, d'après le théorème fondamental (N° 116) seront les transformées Tune de l'autre par rayons vecteurs réciproques. La proposition précédente n'est donc plus qu'un cas particulier de celle-ci, relatif au cône de révolution.

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Mal h 9109,04 Surfaces nautiloides /

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