STRASBOURG

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PRÉFACE

Dans cet ouvrage l’Algèbre se trouve divisée en quatre sections ou livres: 1° Calcul littéral, 2° Résolution généraie des équations (bornée aux deux premiers degrés), 3° Théorie élémentaire des nombres , 4° Résolution des équations numériques. Chaque livre est divisé en propositions. Ce mode de division a reçu la sanction de l’expérience; depuis plusieurs années je l’emploie dans mes cours.

Comme la table des matières donne l’indication de la série des propositions , je me bornerai à quelques observations. On trouvera peut-être un peu longue la démonstration de la règle de la multiplication des polynômes ; mais je ne vois pas moyen de la rendre plus courte , à moins qu’on ne veuille, ainsi que cela se voit quelquefois, faire les raisonnements comme si les termes représentaient des nombres entiers , et cependant appliquer le résultat à tous les cas.

Dans la démonstration des premières propositions, il était indispensable de se restreindre aux cas où les lettres

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et les polynômes représentent des nombres absolus. La division des monômes donne lieu de faire connaître les symboles négatifs et les règles auxquelles les exposants négatifs sont assujettis. Là se présente l’occasion de donner aux mots addition , soustraction et multiplication une signification conventionnelle dont leur sens ordinaire est un cas particulier. Prenant ensuite cette convention pour définition des monômes négatifs, considérés en général , on peut démontrer les règles de l’addition , de la soustraction et de la multiplication des polynômes pour tous les cas.

La division des polynômes conduit à comparer les exposants positifs et négatifs sous un autre point de vue: c’est quand il faut ordonner un polynôme où la lettre d’ordre est affectée de ces deux espèces d’exposants. On montre ici que les exposants négatifs sont traités comme s’ils étaient plus petits que zéro : c’est l’origine d’une extension donnée à la signification des mots \plus grand, plus petit. Plus tard, dans le livre II, on revient là-dessus, à propos des inégalités, et l’on fait voir qu’il fautfaire de deux choses l’une : ou exclure les symboles négatifs des inégalités, ce qui serait possible, mais souvent embarrassant ; ou bien les traiter encore ici comme s’ils étaient plus petits que zéro. Ce langage adopté, on reconnaît que les expressions plus grand que, plus petit que , n’expriment plus des faits , des relations de grandeur absolue , mais simplement la manière dont les symboles négatifs se traitent lorsqu’on les compare entre eux ou aux nombres absolus.

Il y a dans les ouvrages élémentaires un peu de confusion par rapport à la théorie des combinaisons. J’ai employé le mot combinaison comme terme générique. L’usage est d’accord avec moi sur ce point; car on dit

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combiner par addition , soustraction, etc. Ainsi les produits différents , les arrangements , les permutations , sont des combinaisons. Du reste , on ferait bien de supprimer le mot arrangement: permutation de m lettres n à n est aussi clair qu 'arrangement.

Le nombre des termes de la puissance du polynôme est établi (pr. 27) sur un théorème" de combinaisons, déjà connu d’Euler. Ce nombre peut se déterminer par le calcul inverse des différences finies, méthode qui, pour la question dont il s’agit , peut être rendue très-élémentaire. Je fais cette observation , parce qu’il a été question de ce problème dans quelques journaux scientifiques, il n’y a pas longtemps.

"On trouvera , dans l’extraction des racines des nombres , quelques détails intéressants , et un peu plus loin , un théorème sur le calcul approximatif des expressions compliquées de radicaux.

A propos de la théorie des proportions que j’ai tâché d’établir de la manière la plus simple, j’ai discuté les caractères auxquels on reconnaît qu’une question de nombres se résout par une proportion ; les règles de trois , d’intérêt , etc. , ne trouvent place ici qu’à cause de quelques discussions algébriques.

Il était nécessaire de retravailler la discussion des formules générales qui résolvent les équations à plusieurs inconnues , dans le premier degré. Je crois qu’ici celte discussion ne laisse rien à désirer. Il n’y a plus, pour cette question, des règles soi-disant générales absolues, suivies d’exceptions: il y a différents cas distincts, plus ou moins généraux , mais dont les caractères sont certains. Cet avantage tient à ce que cette partie a été placée sur sa véritable base (prop. 9).

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L’analyse indéterminée du premier degré a été traitée avec toute la généralité qu’il m’a été possible d’atteindre.

Les imaginaires se présentent dans l’extraction de la racine carrée ; mais c’est dans la résolution de l’équation du second degré qu’on rencontre les conditions auxquelles ces symboles entrent dans le calcul. Sous ce rapport j’ai pris tous les soins possibles pour faire sentir l’enchaînement des idées et la déduction des conséquences. Les propriétés des modules , d'après M. Cauchy , terminent ce livre.

Les caractères de divisibilité , qui viennent à la suite de la théorie générale de la numération , ont été présentés de manière à en faciliter l’application. La remarque qui termine la prop. 5 est extraite des Annale t de mathématiques de M,, Gergonne; la prop 7 est tirée de la théorie des nombres de Legendre.

Dans les fractions continues j’ai insisté , comme partout ailleurs , sur la mesure de l’approximation.

M’étant fait une loi de ne point parler des séries infinies en algèbre, parce que les moyens par lesquels on les établit ordinairement sont fautifs ; j’ai dû chercher à légitimer , par une voie nouvelle, la proportion qui sert à calculer les logarithmes des nombres non compris dans les tables et réciproquement. Je me suis cependant aidé en partie du travail de M. Vincent; ensuite j’ai montré comment il faut s’y prendre pour obtenir, par le calcul des logarithmes , des résultats d’une approximation certaine.

A ce propos je ne puis m’empêcher d’insister sur l’infériorité de nos tables de logarithmes, par rapport à celles de M. Babbage. Celles-ci indiquent quels sont les logarithmes qui sont en défaut , et par suite , quels sorft ceux

PREFACE

qui sont en excès dans leur dernier chiffre. Cette indication permet, dans beaucoup de cas, d’assigner à l’approximation une mesure plus satisfaisante.

Dans le quatrième, livre, j’ai donné le théorème de M. Cauchy pour prouver que toute équation a une racine; mais en plaçant devant ce théorème quelques autres principes qui sont d’ailleurs nécessaires, je l’ai, je pense, rendu plus facile à comprendre. , '

La seconde partie de la règle des signes de Descartes ; présentée autrefois sous une forme trop générale, l’a été par MM. Mayer et Choquet, sous une forme trop restreinte.

On la trouvera à la proposition 30, ramenée , quant à l’extension , à ses véritables limites. La démonstration est celle de Gauss.

La méthode des racines commensurables a aussi subi quelques modifications que j’ai déduites d’une remarque due à un de mes anciens élèves , M. Teissier , admis à l’Ecole polytechnique en 1837. J’ai prouvé cette remarque , prop. 34 , r. 2. La recherche des racines incommensurables a été, comme de raison, basée sur le beau théo- * rème de M. Sturm ; plus loin on trouvera l’équation aux carrés des différences. Qu’on me permette de faire observer ici, que cette dernière devrait disparaître du programme des examens: La découverte du théorème de M. Sturm est un progrès réel et important. Mais pourquoi les élèves, au lieu d’y gagner, se trouvent-ils avoir perdu à ce progrès ? Car au lieu d’une méthode , ils sont obligés d’en apprendre deux.

Outre les méthodes d’approximation que l’on trouvera ici , il y en a une qui est due à M. Sarrus , doyen de la Faculté des sciences de Strasbourg; elle est développée dans une brochure publiée par ce savant en 1833.

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J’ai donné l’élimination d’après le commandant d’artillerie, M. Labatie; sa première publication est de 1833; déjà en 1827, il a eu l’obligeance de me communiquer sa théorie en manuscrit. Ce qui lui appartient pour le fonds et en plus grande partie pour la forme , comprend la prop. 5 1 , excepté les remarques 1 et 3 , les prop. 53 , 54 et l’énoncé de 55 dont il n’a pas donné la démonstration.

La vraie et bonne théorie de l’élimination est renfermée dans les prop. 53 , 54 ; car l’ancienne méthode , même perfectionnée par M. Labatie, d’après prop. 51, n’est pas complète parce qu’elle ne part point d’une bonne définition de l’équation finale , et en général on n’avait guère su jusqu’ici ce qu’on voulait entendre par équation finale. La définition de M. Labatie précède la prop. 53, et donne à la théorie une précision complètement satisfaisante. J’espère que cette théorie finira par être admise dans l’enseignement.

Le travail de M. Labatie n’est pas borné à ce que l’on trouve ici. Je ne saurais recommander assez vivement sa seconde édition (1835) à l’attention des bons élèves et de MM. les professeurs; qu’ils veuillent bien ne pas se laisser rebuter par la rédaction un peu concise de l’auteur; le résultat de l’étude les dédommagera amplement de la peine.

11 est d’ailleurs entendu , qu’ici comme dans ma Géométrie, j’ai profité des travaux de ceux qui m’ont précédé dans la carrière.

Comme il n’est guère possible d’apprendre toute l’ÀI- - gèbre d’une haleine , je conseille au lecteur de se familiariser d’abord avec le contenu des deux premiers livres ; il pourra , dans une première lecture , passer tout ce qui est marqué d’une astérisque , sauf à le reprendre plus tard. Dans le quatrième livre, les astérisques désignent des parties qui ne sont pas exigées pour l’admission à l’Ecole polytechnique.

Les connaissances nécessaires pour lire cette Algèbre , sont les premiers éléments d’arithmétique , y compris les propriétés fondamentales des nombres premiers , et quelques notions sur l’extraction des racines carrées et cubiques.

Du reste, en donnant ici les propositions d’algèbre dans l’ordre où je les enseigne , je ne prétends pas que MM. les professeurs, qui voudront bien se servir de mon ouvrage, doivent s’astreindre à suivre ce même ordre. Rien de si facile pour eux que d’adopter celui qui leur conviendra le mieux. *