LIVRE II

N=x.-(-4'x, -\-b''x,-hb‘3X3-\- • • • •

Ou encore N=ar„+é'(ir‘--t-&'x>-i~6',xH- • • •)

Comme x„ est entier positif et <^6', que toutes les lettres représentent ici des nombres entiers positifs , le quotient de la division de N par b' est x, -H&'Xj-f- . . . , et le reste x„» Divisons donc N par b1; soit N, le quotient, r0 le reste; de sorte que N on aura x0 = r0,

et N.=x,

On reconnaît de même que x, est le reste de la division de N, par b‘, division dont lequotientserax,-(-&'x3 + 6/X3-l-etc.Soit r, le reste, N, le quotient. On aura

x, = r, et Ni = xi-4-6/x3H-6',x4 , . . .

Supposons que cette série d’opérations étant continuée , on arrive à une relation telle que

^tt—xCL-\-b,x^i-\-b,'xaÆt

On divisera encore Na par b'; soit r* le reste, N(M 1 lequotient que je suppose <^ô'.

On aura x*=r», N*-*-, = Xx+,-\-b

Or, N*+., étant b\ il faut que xx-h, = x*-+-3 = etc. =0; et x*-t-, = N<m-i 1 pour le chiffre de l’ordre le plus élevé.

Par conséquent , on divisera le nombre donné N par la nouvelle base b', le quotient encore par 6', et on continuera à diviser chaque quotient par b', jusqu’à ce qu’on arrive à un quotient moindre que b‘. Les restes successifs seront les chiffres cherchés, pris à partir de la droite, et le dernier quotient sera le dernier chiffre.

Toutes ces opérations se feront dans le système où le nombre N est écrit, et dont la base est b.

Exemple. Le nombre 45745 étant écrit dans le système décimal , on demande de l’écrire dans le système dont la base est 8. Ici &' = 8,N=45745 45745

ALGÎiBllK.

On divise donc 45645 |>ar 8 ; le reste 1 est le chiffre des unités du premier ordre; le quotient est 67 1 8 , qu’on divise encore par 8 ; le reste 6 est le chiffre des unités du deuxième ordre , etc.

Dans le système dont la base est 8 , le nombre donné est donc représenté par 131261.

Deuxième solution. Soient c„, c,, c, . .... cn les chiffres du

nombre dans le svstème dont la base est b: on a «/ *

N .... | cDbn.

Or, si l’on écrit les nombres c„, c, . . . . c„ , 6 . . . .. 6° dans le système dont la base est 6', et qu’on effectue les opérations indiquées sur ces quantités, on aura l’expression de N dans ce même système.

1er Ex. Etant donné dans le système dont la base est 12 , le nombre d8w5 , l’écrire dans celui dont la base est 10 ?

Ce nombre est égal à 10.123— f— 8.12*— |— 1 1.12-4-5 , tout étant écrit dans le système décimal.

Le calcul se fait ainsi qu’il suit :