THÉORIES ARITHMÉTIQUES

Définition 1. La numération a pour but de former, de nommer et d’écrire tous les nombres.

L’ensemble des conventions adoptées à cct effet se nomme un système de numération. Le nombre des caractères ou chiffres que l’on emploie dans un système de numération est appelé la base.

PROPOSITION I. — PROBLÈME

Exposer la théorie générale de la numération, quant aux nom bres entiers.

Soit b la base d’un système. En ajoutant successivement l’unité à elle-même, on formera d’abord 6 — 1 nombres entiers consécutifs, 1,2,3, 6 — 1 , et qu’on nomme unités du premier

ordre ou unités simples. Le nombre b — 1 augmenté d’une unité, donne b , qu’on appelle unité du second ordre : on compte par unités du second ordre comme par unités du premier, ce qui donne 1 unité du second ordre ou b , 2 unités du second ordre ou 26, de même 36, 46 ...., jusqu’à 6 — 1 unités du second ordre ou (6 — 1)6. Mais si l’on considère cette série de nombres 6, 26, 36 ... . (6 — 1)6, on voit que la différence de chacun au suivant est b; pour combler cette lacune, à chacun de ces nom-

ALGEBRE.

bres on ajoute successivement 6 — t unités du premier ordre, ce qui donne

b j 6+*l,6—}—2,.. ,6+6 — 1, 26, 26— {— l,ctc. 6(6 — 1) , 6^6 — 1)— f— t , jusqu’à 6(6 — 1)+6 — 1 ou (6+1) (6 — 1) = 6’ — 1.

On obtient ainsi une série de nombres qui vont en croissant d’une unité du premier ordre, depuis 1 jusqu’à 6’ — 1, qui se compose de 6 — 1 unités du second ordre, et 6 — 1 du premier. Ajoutant encore une unité simple à ce nombre, on a le nombre 6’, que l’on regarde comme une uni té du troisième ordre. On compte depuis une unité de cet ordre jusqu’à 6 — 1 unités de ce même ordre , ce qui donne les nombres 6’, 26’, . . . , (b — 1)6’, et pour combler chacun des intervalles entre ces nombres , on ajoute à chacun les nombres 1 , 2, . . ., 6’— 1. On arriver^ainsi jusqu’à 6’(6 — 1)+6’ — 1 , qui contient 6 — 1 unités du premier, 6 — 1 du second et 6 — 1 du troisième ordre , et se réduit à 63 — 1.

En général 6n— ' représente l’unité de l’ordre n : on compte par unités de. cet ordre comme par unités du premier, et l’on a les nombres.

A chaque terme de cette série on ajoute les 6“— ' — 1 premiers nombres et l’on a une série de nombres croissants par unités simples jusqu’à (6—1)6"—' +6"—' — 1 —b" — 1 ; celui-ci augmenté d’une unité simple donne b", qui est l’unité de l’ordre n + 1.

Les nombres étant ainsi formés et nommés, pour les écrire, on remarquera qu’un nombre quelconque pourra être considéré comme décomposé en unités de divers ordres, de façon qu’il renferme tout au plus 6—1 , unités de chaque ordre. Il suffit donc d’adopter 6—1 caractères ou chiffres pour représenter le nombre des unités de quelque ordre que ce soit, et d’indiquer par une convention quelconque l’ordre des unités que chaque chiffre représente. Or, la convention qu’on a adoptée est d’indiquer cet ordre par le rang du chiffre, de telle sorte que les chiffres étant écrits à côté les uns des autres , purement et simplement, le premier chiffre à droite représente des unités du premier ordre , le deuxième des unités du second ordre, etc., le n° des unités de l’ordre n.

Mais si un nombre renferme des unités de l’ordre n sans en contenir de l’ordre n — 1 , n — 2, etc., il faut une nouvelle convention, sans quoi il y aurait confusion; pour lever cette difficulté, on emploie le zéro qui n’a aucune valeur , mais sert à tenir lieu des chiffres des unités qui peuvent manquer au-dessous de l’ordre le plus élevé. Ainsi b s’écrira 10, 6* sera 100, b3 = 1000; 6° sera 1 unité suivie de n zéros; c’est le plus petit nombre de n-l-1 chiffres.

Remarque 1. La base d’un système est, comme on voit, égale au rapport qui existe entre l’unité d’un ordre et celle de l’ordre immédiatement inférieur. Si c„ est le chiffre des unités du premier ordre c, celui des unités du deuxième ordre, etc., cD celui des unités de l’ordre n-+- 1 , la valeur du nombre sera

Ç«H-c.6+c,6J-f-c363-|- -f- cn6D.

Car chaque unité de l’ordre re-f-1 valant 6”, les cB unités de cet ordre vaudront cj>°.

Si l’on suppose que la base b est un nombre fractionnaire , et que par suite le nombre des chiffres ne surpasse pas la partie entière de 6-f- 1 , il n’est plus possible de représenter tous les nombres entiers avec des chiffres entiers. En effet, supposons que k soit le plus grand nombre entier contenu dans la base; on a toujours 6=10; le nombre 1 1 vaudra 6— (— 1 ; or comme b~^>k, 6-f-l sera k-\- 1 ; donc le nombre k-\- 1 ne pourra pas s’écrire dans ce système sous forme entière, c’est-à-dire au moyen des chiffres 1 , 2 , . . . k, 0 , mis à la suite l’un de l’autre.

Remarque 2. Dans un système dont la base est b, les opérations se font comme dans le système décimal.

1“ Addition. Dans le système dont la base est 8 , faire la somme de. 756

La somme des unités simples est 23 ; mais 8 unités 307 simples font une unité du second ordre; ainsi les 23 2456

unités simples font 2 unités du second ordre qu’on re- 24 tient, et 7 unités du premier ordre qu’on pose. Les 3767

unités du second ordre, y compris les 2 qu’on a retenues , font 14, contenant une unité du troisième ordre qu’on retient, et 6 du deuxième qu’on pose. Cette unité retenue avec la troisième colonne donne 16 unités du troisième ordre, ou une unité du

algèbre.

quatrième à retenir et 7 du troisième à poser. Cette unité retenue et les 2 unités du troisième ordre font 3 à placer.

2 ° Soustraction. Dans le système dont la base est 12 nous représenterons le nombre 10 par d, le nombre 1 1 par tu.

Du nombre 7tu0023 1

ôter 245da>5

On commence par la droite : 6 de 3 ne se peut; au 3 j’ajoute une douzaine, ce qui fait 15, qui diminué de 6 donne 10 ( â ) qu’on écrit.

TJn de retenu et 11 (tu) font 12 qu’on ne peut ôter de 2 : à ce 2 on ajoute 12 , et il restera 2 , et ainsi de suite.

3° Multiplication. Dans le système dont la base est 6, multi-

plier 4532

par 543

3 fois 2 font 6 , c’est-à-dire une unité du deuxième 22440

ordre; je pose 0 et retiens 1. 31412

3x3 = 9 et 1 font 10, je pose 4 et retiens 1. 40344 -

3x5 = 15 et 1 font 16; je pose 4 et retiens 2 , etc. 4415400

4° Division. Dans le système dont la base est 6 , diviser 4415400 par 4532

PROPOSITION II. — PROBLÈME

Un nombre étant écrit dans le système dont la base est b l’écrire dans celui dont la base est b'.

lre Solution. Soit N le nombre, x„, x, , x, .... ses chiffres * inconnus dans le système dont la base est b\ On aura