livre ni

multipliant par 14 (douze) et ajoutant 13 7.14M-1 1.14+13 = 2147)8 multipliant par 14 et ajoutant 4,

On peu* aussi faire toutes les opérations dans le système décimal. Dans ce dernier exemple, on a

. , °U 13528, nombre qu’on traduit dans

e système dont la base est 8, d’apres la marche tracée dans la première solution : on trouve

ro = 0

et l’expression cherchée est 32330)g, comme plus haut.

PROPOSITION III. PROBLÈME

Connaissant la valeur d’un nombre et ses chiffres dans un certain système de numération, trouver la base de ce système.

Soient e„ , c, , c, . . . . ca les chiffres, N la valeur du nombre, x la base inconnue , on aura l’équation

<Vn+eD— ,x°— '+ .... +c,a?’+c,x+c0=N.

Cette équation déterminera x ; mais pour que le problème soit possible, il faut que x ait une valeur entière positive supé rieure au plus grand des chiffres c„,..c0. Du reste, le problème n admettra jamais plus d’une solution : car si un nombre absolu mis pour x rend le polynôme c„x”+ . . . . +c„ égal à N, tout autre nombre absolu , plus grand ou plus petit que le premier rendra ce polynôme plus grand ou plus petit que N, puisque

iG

ALUÈBRE.

chaque terme cnx", etc., augmentant ou diminuant avec x, il en est de même de leur somme.

Exemple. Quelle est la base du système de numération dans lequel le nombre 957 est représenté par les chiffres (679)?

L’équation est ici 6xJ-f-7x-|-9 = 957

dou X— - —

ainsi x — — — et x— 12. La base est 12. o

PROPOSITION IV. — PROBLÈME

Connaissant les chiffres d’un nombre écrit dans deux systèmes de numération , trouver les bases de ces systèmes et la valeur du nombre.

Soient ca, c, , c, . . . ca les chiffres du nombre dans le premier système; e„, e, , e, .. . em les chiffres du même nombre dans le second ; x, y les bases respectives; la valeur du nombre sera représentée par les expressions

c„a:0+ . . . -t-c,x-K„ et eu,y”-f- . . . -f -e,y-\-ea

et pour déterminer x et y, on aura l’équation unique

Mais pour que x et y conviennent à la question, il faut qu’ils soient entiers positifs; il faut de plus que x surpasse le plus grand des chiffres c„ . . . c„ , et y le plus des chiffres em . . . e0.

Ex. Dans le premier système , les chiffres sont c, — 5, ca — 7 , dans le second e,=3 , e„=)1.

Ainsi on a l’équation 5x+7 =: 3y-+-l 1 d’où 5x — 3y=4.

Appliquant la prop. 23, livre 2, on trouve x—~4-y3t, y=— 8+5/.