I.1VRE III

Il faut que x ou —4+3 t ^>7 et y ou — 8+5f 11

d’où t > 3 t > 3.

Posant t — 4 , nous aurons x' — 8 , j=12.

Outre celte solution, il y en a une infinité d’autres. D’ailleurs l’expression du nombre cherché est

6( — 4+3t)+7 ou 15t — 13.

Pour ( = 4 on a 47.

PROPOSITION V. — PROBLÈME

Etablir les caractères de divisibilité d’un nombre N par un diviseur d.

Soient e„, c„— , ... cQ les chiffres du nombre, b la base, on a N = c0+c, 6+0,6’+ . . . +c„6".

Soit d la différence b — d ...; on aura d = b — â; or on peut mettre N sous la forme

— i — — f c Ld — f— c 1 d f— . . . — (— Cuô

La première ligne se compose de multiples de 6 — â ou d (I. 1 , p. 22) ; donc pour que N soit divisible par d, il faut et il suffit que la seconde ligne, c0+c,d+c,d’+. .. +c„d" le soit.

Ex. 1. Reconnaître si N est divisible par 6 — 1.

Puisque d=6,— 1 , on a d= 1. Ainsi pour que N soit divisible par 6 — 1 , il faut et il suffit que c„+c,+c,+ ... +c„, somme des chiffres de N , le soit. En ajoutant les chiffres c„ , c, , . . . c„, on aura soin de rejeter tous ceux qui sont égaux à b — I; de plus, à mesure qu’on obtient une somme égale ou supérieure à 6 — 1 , on la diminue de 6 — 1 , de sorte, que finalement, on trouvera zéro, si N est divisible par 6 — 1. Ce caractère s’applique évidemment aussi aux facteurs de 6 — 1. Si / est un pareil facteur, on pourra parmi les chiffres c0. ... ca négliger tous les multiples de/, diminuer chaque chiffre de /, autant de fois que faire se

ifi.

AI.gLbRE.

peut , et enfin dans la somme supprimer encore/ à mesure qu’elle est égale ou supérieure à f.

Dans le système décimal, b — 1 est 9.

Ex. 2. Reconnaître si N est divisible par 6+1.

Ici â = — 1. Ainsi le polynôme c0+c,(î+ . . . +cnd°, devient c„— c,+ca — c3+c4 — , etc.

ce qui forme la somme des chiffres de rang impair diminuée de celle des chiffres de rang pair. En faisant ces deux sommes, on y supprimera encore 6+1 , à mesure que l’on aura un résultat égal ou supérieur à ce nombre. La règle s’applique aussi aux facteurs de 6+1.

Dans le système décimal 6+1 est 11 : donc, pour que, dans ce système, un nombre soit divisible par 11 , il faut et il suffit que la somme des chiffres de rang impair, diminuée de la somme des chiffres de rang pair, soit 0, 1 1 , ou un multiple de 11.

Soit le nombre 274954856367. Ajoutons les chiffres de rang impair: d’abord 7+3+5 font 15 qui diminué de 11 donne 4; 4+4+9 donne 17, diminué de 11..,., 6; 6+7 = 13, ôtez 11 reste 2. Traitant de même les chiffres de rang pair, on trouve aussi 2. Donc le nombre proposé est divisible par 11.

Ex. 3. Dans le système décimal, reconnaître si 5887045679 est divisible par 7.

Ici ô = 3. Il faut donc multiplier les chiffres successifs, à partir de la droite , par 3°, 3', 3% etc., et si la somme, diminuée de tous les multiples de 13 qu’elle renferme, donne 0, le nombre est divisible par 13. A cet effet on opère comme à la prop. 2; c’està-dire que pour calculer cndn+c„,d'1— ‘+cn 1(î"’— ’+ . .. +, on calcule d’abord Cod+c,,—, ; on multiplie par â et on ajoute c„ , , ce qui donne Cnd’+o,,— ,d+c„,; on multiplie par â et on ajoute cu— 3, etc., ayant soin d’ailleurs de retrancher 7, chaque fois qu’on le peut.

Ici 5x3+8 , se remplace par 5x3+1 , en retranchant 7 ; cette somme est 16; "elle se réduit à 2, par la soustraction des 7 ; 2x3+8 ou 2x3+1 , donne 7 qu’on supprime; le chiffre suivant étant 7 , on le supprime aussi. Le 4x3+6 = 17 , qui donne 3 ; 3x3+6=15, ou 1, 1x3+7 donne 3; 3x3+9 , donne 4. L,e nombre n’est pas divisible par 7.