LIVRE III

petit nombre premier qui divise N,, et soit N, N,

11’étant pas divisible par a7; on aura N = a1*,aI“’N,. En continuant ainsi, on décomposera N sous la forme

— a^'a^a*3 ...aa

a,, a,, a3 . ..aB, étant premiers, cela posé pour qu’un nombre divise N, il faut et il suffit que ce nombre soit de la forme a*'aXia?3 ... anXn, xlt xr ... xa étant des nombres entiers positifs qui ne surpassent pas a> , a, , a3 .. . cca, respectivement. Car pour qu’un nombre N' divise N, il faut que chaque facteur premier de N' divise N; or soit b un pareil facteur; b devra diviser un des facteurs ... an“° , ce qui exige qu’il divise

a, ou etc., ou <i„; supposons qu’il divise a, ; comme a, et ôsont premiers absolus , il faut que b=. a,. Ainsi N' ne saurait renfermerd’autres facteurs premiers que a,, a,... Mais si N' renfermait a, avec un exposant a.-f-L plus grand que a,, il faudrait que a."-*-1 divisât N; mais a,a+' étant premier avec chacun des facteurs devrait diviser a*' , ce qui ne se peut. Donc

N' ne saurait renfermer aucun des facteurs premiers de N à une puissance plus élevée que N ne les renferme*.

D’un autre côté si x,, x, ... x„ satisfont aux conditions prescrites, a.x‘ divisera «,“■ et par suite N; a?‘ divisera et N etc.; donc, a,1’, a,1*, ... a„y", étant premiers deux à deux, leur produit divisera N.

Pour former tous les diviseurs de N , il n’y a qu’à faire le produit des polynômes suivants

«.“H-a.H-a.M- • • • • -H*,*1 |- etc. . . -l-a* ’

Tous les termes de ce produit sont compris dans a,x,aS* <?„*",

* Ce qui peut aussi sc conclure de ce qu'un nombre n’adinel qu’un système de facteurs premiers.

9 /, 8 ALCikCKE.

et sont par suite des diviseurs de N. D’ailleurs un diviseur quelconque de N étant compris dans cette même expression , son facteur a,1' se trouve dans le premier polynôme, a,1’ se trouve dans le second; donc a,' 'a** est un terme du produit des deux premiers polynômes. De même a se trouvant dans le troisième, a*'a*'a*3 fera partie du produit des trois premiers, et ainsi de suite. Il est donc évident que tous les diviseurs de N se trouvent au produit final. D’ailleurs le premier et le second polynômes n’ayant aucune lettre commune, deux termes quelconques de leurs produits partiels diffèrent au moins par l’exposant de l’un des facteurs a, , a1; par suite le produit de ces deux premiers polynômes n’aura offert aucune réduction. On reconnaîtra de même que ce produit multiplié par le troisième polynôme ne fournira point de termes semblables, et qu’il en est de même du produit de tous ces polynômes. Par suite , le premier polynôme contenant aH-l termes et le second a,-j-l , leur produit en renfermera (a,+l) (a,-+-t) ; le produit des trois premiers en contiendra (a.-f-l) (a,-f-l) (ce 3— |— 1 ) et le produit des n polynômes en contiendra

(et , — j — 1) («a-f-l) (03-t-l) (ttn+1)*

Tel est donc le nombre des diviseurs de N : c’est le produit des exposants de tous les facteurs premiers exposants augmentés chacun d’une unité.

Corollaire. S’il s’agit de trouver un nombre N qui admette k diviseurs, on supposera ce nombre décomposé sous la forme a*' a*' . . . les facteurs premiers a, , a, ,. . aa restant indé-

terminés , il faudra que

k ~ (et , — | — 1 ) (et,— |— 1) (etn I — 1 )

Pour remplir cette condition on décomposera k en facteurs premiers ; s’il était lui-même un nombre premier , il faudrait faire — k, = 0 , ai =r. 0, etc,, «„ = 0 et N serait de la forme a,1-'.

Si k n’a pas plus de deux fadeurs k \ , k2 , on fera c, + l = A , .